数学理卷·2019届江西省赣州市寻乌中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届江西省赣州市寻乌中学高二上学期期中考试（2017-11）

‎2017届上学期江西省寻乌中学高二期中考试试卷 数学（理工类）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知命题：，使；命题：，都有，给出下列结论：‎ ‎①命题“”是真命题；②命题“”；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题．‎ 其中正确的是（ ）‎ A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③ ‎ ‎3.执行如图程序框图，如果输入的是4，那么输出的是（ ）‎ A．12 B．24 C．32 D．120 ‎ ‎4.设，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）‎ A．16 B．12 C．32 D．6 ‎ ‎6.若四边形满足，，，，则该四边形为（ ）‎ A．空间四边形 B．任意的四边形 C．梯形 D．平行四边形 ‎ ‎7.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎9.函数的单调增区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数在处有极值10，则等于（ ）‎ A．11或18 B．11 C．18 D．17或18 ‎ ‎11.抛物线（）的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.设定义在上的偶函数满足，是的导函数，当 时，；当且时，，则方程的根的个数为（ ）‎ A．12 B．16 C．18 D．20 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.不等式的解集是 ．‎ ‎14.正方体，异面直线与所成的角为 ．‎ ‎15.已知函数，若方程在内有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.已知是函数图象上的点，是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴、轴分别交于点、，另一条直线与轴、轴分别交于点、．‎ 则（1）为坐标原点，三角形的面积为 ．‎ ‎（2）四边形面积的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求学习时间在的学生人数；‎ ‎（2）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人学习时间在第四组的概率．　‎ ‎18.已知在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．‎ ‎（1）求的值和切线的方程；‎ ‎（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围．‎ ‎19.数列（）的首项为1，且前项和满足（）．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？‎ ‎20.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当的长为何值时，二面角的大小为．‎ ‎21.设直线：（）与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的面积取得最大值时的椭圆方程．‎ ‎22.设函数，． ‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ ‎2017届上学期江西省寻乌中学高二期中考试试卷数学（理工类）试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.（1）12；（2）48‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由频率分布直方图可知：，‎ 解得，所以学习时间在的学生人数为．‎ ‎（2）第三组的学生人数为，第三、四组共有人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：‎ 第三组的人数为人，第四组人数为人．‎ 设第三组的四位同学为，，，，第四组的2位同学为，，‎ 则从这六位同学中抽取2位同学有，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，‎ 其中2人学习时间都不在第四组的有，，，，，共6种可能，‎ 所以这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率为．‎ ‎18.解：（1），由题意知，方程有两个相等的根，‎ ‎∴，∴．‎ 此时方程化为，得，‎ 解得切点的纵坐标为，‎ ‎∴切线的方程为，即．‎ ‎（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），‎ 则由（1）知，‎ ‎∴由正切函数的单调性可得的取值范围为或．‎ ‎19.解：（1）∵（），‎ 又，，∴；‎ 数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，，‎ 当，；‎ ‎∴（）．‎ ‎（2）‎ ‎；‎ 由，得，满足的最小正整数为112．‎ ‎20.解：（1）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设设，，，‎ 则，，，，，‎ ‎∵，，，∴平面，‎ ‎∵，∴，又，，∴平面，‎ ‎∴平面平面，故平面．‎ ‎（2）因为，，且，，‎ 所以解得，，所以，，‎ 设与平面垂直，则，，‎ 解得，‎ 又因为平面，，‎ 所以，‎ 得到，当时，二面角的大小为．‎ ‎21.（1）证明：由得．‎ 将代入消去得，．①‎ 由直线与椭圆相交于两个不同的点得，‎ 整理得，即．‎ ‎（2）解：设，，由①，得，‎ ‎∵，而点，∴，‎ 得代入上式，得，‎ 于是的面积，‎ 其中，上式取等号的条件是，即，‎ 由，可得，‎ 将，及，这两组值分别代入①，均可解出．‎ ‎∴的面积取得最大值的椭圆方程是．‎ ‎22.解：（1）当时，则，‎ 则．‎ 令，得，‎ 所以当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，．‎ ‎（2）因为，‎ 所以恒成立，等价于恒成立，‎ 设，，‎ 得，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以时，，‎ 因为恒成立，‎ 所以．‎ ‎（3）当时，，等价于，‎ 设，，‎ 求导，得，‎ 由（1）可知，时，恒成立，‎ 所以时，，有，‎ 所以，‎ 所以在上单调递增，当时，．‎ 因此当时，．‎