2017-2018学年江苏省清江中学高二下学期期中考试数学理试题（解析版）

2017-2018学年江苏省清江中学高二下学期期中考试数学理试题（解析版）

江苏省清江中学2017-2018学年第二学期期中考试 高二理科数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎1. 设全集U＝{3，4，5，6}，A＝{3，5}，则∁UA＝________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 由集合补集的定义求解即可；‎ 详解：‎ 全集U＝{3，4，5，6}，A＝{3，5}，所以∁UA＝.‎ 点睛：本题主要考查了集合的列举法和补集的运算，属于基础题.‎ ‎2. 函数的定义域为___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 只需函数中的分母不为0，根号下的数大于等于0即可.‎ 详解：‎ 由函数，可得，解得且.‎ 所以定义域为：.‎ 故答案为;.‎ 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎3. ‎ 若p：(x－3)(x－4)＝0，q：x－3＝0，则p是q的__________________条件(填“充分不必要”,“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中一个)‎ ‎【答案】必要不充分条件 ‎【解析】分析：‎ 利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ 详解：‎ 若：(x−3)(x−4)=0，则x=3或x=4，此时x−3=0不一定成立，充分性不成立.‎ 若x−3=0，则x=3，此时(x−3)(x−4)=0成立，必要性成立，‎ 即p是q必要不充分条件，‎ 故答案为：必要不充分条件.‎ 点睛：本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎4. 已知函数，则＝___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 结合自变量的范围，对于在分段函数中取值即可.‎ 详解：‎ 由，可得.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查分段函数和复合函数的取值，属于基础题.‎ ‎5. 口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知第一次 取得红球，则第二次取得白球的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】袋中有2个红球，3个白球，1个黄球，在第一次取出红球的条件下，还剩下1个红球，3个白球，1个黄球，故第二次取出的情况共有5种其中第二次取出的是白球有3种 ‎ 故第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为.‎ 故答案为.‎ ‎6. 曲线在（0，1）处的切线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 求出导数，求得切线的斜率，由直线的斜截式方程即可得到所求切线方程．‎ 详解：‎ 的导数为，‎ 可得在点(0,1)处的切线斜率为−3，‎ 即有在点(0,1)处的切线方程为y=−3x+1.‎ 故答案为：.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎7. 已知随机变量X～B(5，)，则P(X≥4)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎8. 函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 由已知f（x）•f（x+2）=13得f（x+4）=f（x），根据周期函数的定义判断出函数的周期，可得f（99）=f（-1），再利用已知条件求出即可．‎ 详解：‎ 由f(x)⋅f(x+2)=13得,f(x+2)f(x+4)=13，‎ 即f(x)=f(x+4)，‎ 所以函数f(x)是周期为4的周期函数。‎ 所以f(99)=f(25×4−1)=f(−1).‎ 由f(−1)⋅f(1)=13,f(1)=2,得f(−1)=，‎ 所以f(99)=132，‎ 故答案为：.‎ 点睛：抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；‎ ‎（2）若，则函数周期为 ‎（3）若，则函数的周期为；‎ ‎（4）若，则函数的周期为.‎ ‎9. 设函数的导数为，且，则__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以，令，得，解得，则，所以．‎ 考点：导数的运算；函数值的求解．‎ ‎10. 方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：方程有两个不相等的实数根，函数与图像有两个不同的交点，函数图像如下：‎ 所以的取值范围是或．‎ 考点：函数图像的应用．‎ ‎11. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】前两个不是红灯，第三个是红灯，所以概率为 ‎ ‎12. 由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：‎ ‎“”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4-4m<0，所以m>1，则a=1．‎ 详解：‎ 存在是假命题，‎ ‎∴其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有”，‎ ‎∴△=4−4m<0，‎ ‎∴m>1,m的取值范围为(1,+∞).‎ 则a=1‎ 点睛：（1）原命题为真则，命题的否定为真；‎ ‎（2）全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎13. 恩来中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张源、高铭和刘恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同。三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张源研究的是莎士比亚；②刘恒研究的肯定不是曹雪芹；③高铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句．据此可以推知张源、高铭和刘恒分别研究的是__________．（A莎士比亚、B雨果、C曹雪芹，按顺序填写字母即可．）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：若刘老师猜对的是①，则：‎ ‎①张博源研究的是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹；‎ ‎③高家铭研究的是莎士比亚．‎ ‎①③矛盾，假设错误；‎ 若刘老师猜对的是②，则：‎ ‎①张博源研究的不是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；‎ ‎③高家铭研究的是莎士比亚．‎ 则张博源研究的不是曹雪芹，刘雨恒研究的是雨果，高家铭研究的是莎士比亚．‎ 符合题意；‎ 若刘老师猜对的是③，则：‎ ‎①张博源研究的不是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹；‎ ‎③高家铭自然不会研究莎士比亚．‎ 据此可知，刘雨恒研究的是莎士比亚，其余两人研究的是谁无法确定，‎ 排除这种可能.‎ 据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是.‎ ‎14. 已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到结论．‎ 解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，‎ ‎∴函数的定义域为（0，+∞），‎ 函数的导数为f′（x）=1﹣=，‎ 由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此时函数单调递减，‎ 在x=e﹣1时，函数取得极小值，‎ ‎∵f（1）=0，f（e）=0，‎ ‎∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，‎ 则f（ex）＜0等价为1＜ex＜e，‎ 即0＜x＜1，‎ 故答案为：（0，1）‎ 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. 已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题。‎ ‎（1）求实数m的取值集合M； ‎ ‎（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由二次方程有解可得，从而可得解；‎ ‎（2）由x∈N是x∈M的充分条件，可得，从而可得解.‎ 详解：‎ ‎(1) 命题：方程有两个不相等的实根，‎ ‎，解得，或．‎ M={m|，或}．‎ ‎(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以 N=‎ ‎ ‎ 综上，或 点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎16. 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝.‎ ‎(1)求文娱队的队员人数；‎ ‎(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．‎ ‎【答案】（1）5；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，只会一项的人数是(7－2x)人．‎ ‎(1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，∴P(ξ＝0)＝，即＝.‎ ‎∴＝，解得x＝2)( 故文娱队共有5人．‎ ‎(2)P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，‎ ξ的概率分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝‎ ‎17. 已知函数f(x)＝ x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图像上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求点P处的切线方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得 ，解得 ；再根据 得 ，（2）根据点斜式可得点P处的切线方程 试题解析：（1）∵f(x)＝x3－2ax2－3x，∴f′(x)＝2x2－4ax－3，∴过点P(1，m)的切线斜率 k＝f′(1)＝－1－4a.又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，‎ ‎∴－1－4a＝3，∴a＝－1，‎ ‎∴f(x)＝x3＋2x2－3x.又点P在函数f(x)的图像上，∴m＝f(1)＝－.‎ ‎（2）‎ ‎18. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.‎ ‎（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；‎ ‎（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）将对应的声音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根据满足D1+2D2=3D3建立等量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求； （2）根据声音能量为10-13W/cm2时，声音强度为30分贝，声音能量为10-12W/cm2时，声音强度为40分贝，建立关于a，b的方程组，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根据一般人在100分贝～120分贝的空间内建立不等式，解之即可．‎ 详解：‎ ‎（1） ‎ ‎， ‎ ‎（2）由题意得 .解得： ‎ ‎ ， ‎ 答：当声音能量时，人会暂时性失聪.‎ 点睛：该题属于应用函数去解决实际问题，体现了数学来源于生活且服务于生活，在做题的过程中，找准关键点，从而得知往哪个方向思考，本题的关键是利用题中的解析式建立关系.‎ ‎19. 已知函数，‎ ‎（1）若是常数，问当满足什么条件时，函数有最大值，并求出取最大值时的值；‎ ‎（2）是否存在实数对同时满足条件：①取最大值时的值与取最小值的值相同，②？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在实数对满足条件 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由题意函数F（x）有最大值，应满足，即二次函数有最大值，解得k、m、x的取值； （2）由函数F（x）有最大值，G（x）有最小值；得m、k的值，求出满足条件的实数对（m，k）.‎ 详解：‎ ‎（1）当时，解得且； ‎ 当时有最大值. ‎ ‎（2）函数，当时，‎ 时有最大值.‎ 函数，时有最小值.‎ 由得，‎ 所以，其中为负整数，‎ 当时，或者，‎ 所以存在实数对满足条件.‎ 点睛：本题主要考查了二次函数的最值，当二次函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值，当次函数图象开口向下时，在对称轴处取得最大值.‎ ‎20. 已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数 ‎，其中．‎ ‎（1）求函数f (x)的解析式；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由导函数可设，结合条件可得；‎ ‎（2）由，讨论，和导数的正负，从而得函数的单调性；‎ ‎（3）结合（2）中函数的单调性，考虑极值点和端点处的函数值讨论最值即可.‎ 详解：‎ ‎(1)因为f (x)的导函数，所以，‎ 又函数f (x)有一个零点为1，所以，‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎①时在上单调递减，在上单调递增 ‎②时的单调递增区间单调递减区间 ‎③时的单调递增区间，单调递减区间 ‎（3）①由（2）时不符合题意 ‎②时在上递减，在上递增，‎ 则当 ‎ 当时，, 故 ‎ 则解得 ‎③时在上递增，在上递减 则且时 则解得 ‎ 综上：或.‎ 点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值．对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏．‎ ‎（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断.‎