数学理卷·2018届辽宁省葫芦岛市第一高级中高二下学期期中考试（2017-05）

数学理卷·2018届辽宁省葫芦岛市第一高级中高二下学期期中考试（2017-05）

‎2016-2017学年度第二学期期中考试 高二年级数学(理科)试题 命题人：张磊 审题人： 柳悦 满分：150分 考试时间： 120分钟 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数z满足z(1-2i)=3+4i复数z的共轭复数所对应的复点在第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 ‎2．下列函数中x=0是极值点的函数是（　　）‎ A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=﹣cosx C．f（x）=sinx﹣x D．f（x）= ‎3.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A．[0,p] B．[0,)∪[p,p) C．(,p] D．[,p]‎ ‎4．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（　　）‎ A．自然数a，b，c都是奇数 B．自然数a，b，c都是偶数 C．自然数a，b，c中至少有两个偶数 D．自然数 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 ‎5．我们用圆的性质类比球的性质如下:‎ ‎①p:圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦; q:球心与小圆截面圆心的连线垂直于截面.‎ ‎ ②p:与圆心距离相等的两条弦长相等; q:与球心距离相等的两个截面圆的面积相等.‎ ‎ ③p:圆的周长为C=πd(d是圆的直径); q:球的表面积为S=πd2(d是球的直径).‎ ‎ ④p:圆的面积为S=R·πd(R,d是圆的半径与直径); q:球的体积为V=R·πd2(R,d是球的半径与直径).‎ ‎ 则上面的四组命题中,其中类比得到的q是真命题的有( )个【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为( )‎ O x x x x y y y y O O O A. B. C. D.‎ ‎7．已知函数f(x)=f´()cosx+sinx,则f() =‎ A. B.-1 C.1 D.0 ‎ ‎8.已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线y=x2与y=围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎9．以圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（　　）‎ A．76 B．78 C．81 D．84‎ ‎10.从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（　　）‎ A．180 B．362 C．378 D．432‎ ‎11.点P是曲线x2﹣y﹣2ln=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（　　）‎ A．(1-ln2) B．(+ln2) C．(1+ln2) D．(1+ln2)‎ ‎12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的横线上.‎ ‎13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有______种不同的种法（用数字作答）． ‎14.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：‎ ‎①C135﹣C71C64；②C72C63+C73C62+C74C61+C75； ‎ ‎ ③C135﹣C71C64﹣C65； ④C72C113；‎ 其中能成为N的算式是______．‎ ‎15.在( -2x)9的展开式中的常数项是 .‎ ‎16.四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17.（本小题10分）已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|.‎ ‎ （1）求|z|；‎ ‎（2）是否存在实数，是为实数，若存在，求出值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数.‎ ‎18．（本小题12分）(1)用适当方法证明：如果那么 ‎(2)若下列三个方程：中至少有一个方程有实根，试求的取值范围.‎ ‎19．（本小题12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人.（以下问题用数字作答）‎ ‎（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？‎ ‎（2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？‎ ‎（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．‎ ‎20.（本小题12分）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．‎ ‎（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；‎ ‎（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎21.（本小题12分）已知，（其中）.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程.‎ ‎22.（本小题12分）已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；‎ ‎（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．‎ ‎2016-2017下学期期中高二年级数学理科参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B B D D A B D A C C A ‎12.A解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），‎ 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，‎ ‎∴y=g（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，‎ 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．‎ 二、填空题 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎72‎ ‎②③‎ ‎-672‎ ‎12600‎ 三、 解答题 ‎17.（1）设，由得：‎ 化简得:,所以.…………2分 ‎（2），‎ ‎，又且， 解得.……6分 ‎(3)由及已知得：‎ ‎，即，代入解得：‎ 或，故 或.………10分 ‎　18.证明(1)：（用综合法）‎ ‎.‎ ‎∵‎ ‎∴ ∴. 6分 ‎(2)‎ ‎12分 ‎19.（1）故共有63种不同的去法 ……4分 ‎（2）故共有504种不同的安排方法 ……… 8分 ‎（3）‎ ‎ 故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为…… 12分 ‎20.解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，‎ x ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎↘‎ ‎2﹣2ln2‎ ‎↗‎ ‎3﹣2ln3‎ 从上表可知，∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），‎ 函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2； ……… 6分 （2） f′(x)=1+ - ==，‎ ‎①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；‎ ‎②当a=2时，∵f′(x)=>0(x≠2)，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ ‎③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；‎ 综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；‎ 当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；‎ 当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．…12分 ‎21解：（1）取x=1，则a0=2n；…………………………2分 取x=2，则a0+a1+a2+a3++an=3n，∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n；………………………………4分 ‎（2）要比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n-1）2n+2n2的大小， 当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n2； 当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n2； 当n=4，5时，3n＞（n-1）2n+2n2 猜想：当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2，………………………………6分 下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，n=4时结论成立，………………………………7分 假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2， 两边同乘以3得：3k+1＞3 [（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2] 而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0 ∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2 即n=k+1时结论也成立，…………………………11分 ∴当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．………………12分 ‎22解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，‎ ‎ 解得：a=1，b=e﹣2；………2分 （2）由（1）得：f（x）=ex﹣x2，f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，‎ ‎∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，‎ ‎∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=e﹣1； …6分 ‎（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），‎ 且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，‎ 故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，‎ 下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，‎ 设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，‎ g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，‎ 由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，‎ ‎∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，‎ ‎∴g′（ln2）＜0，‎ ‎∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，‎ ‎∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，‎ x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，‎ 故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ 又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，故≥x，x＞0，‎ 由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），‎ ‎∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，‎ ‎∴≥x≥lnx+1，即≥lnx+1，‎ ‎∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，‎ 即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，当且仅当x=1时“=”成立．……12分