2009年高考试题—数学（江苏卷）解析版

2009年高考试题—数学（江苏卷）解析版

绝密★启用前 ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） ‎ 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。‎ ‎5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ ‎6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。‎ 参考公式： ‎ 样本数据的方差 ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. ‎ ‎1.若复数其中是虚数单位，则复数的实部为 ▲ 。‎ ‎【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20‎ ‎2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= ▲。‎ ‎【解析】 考查数量积的运算。 ‎ ‎3.函数的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎4.函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= ▲ . ‎ ‎【解析】 考查三角函数的周期知识。‎ ‎ ，，所以， ‎ ‎5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差‎0.3m的概率为 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查等可能事件的概率知识。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差‎0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。‎ ‎6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： ‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为= ▲ . ‎ ‎【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。‎ 甲班的方差较小，数据的平均值为7，‎ 故方差 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。‎ ‎22‎ ‎8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）‎ ‎10.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 ▲ . ‎ ‎【解析】考查指数函数的单调性。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，函数在R上递减。由得：m0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 参考公式：‎ ‎21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A.选修4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.‎ 求证：AB∥CD.‎ ‎【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。‎ 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。‎ B. 选修4 - 2：矩阵与变换 求矩阵的逆矩阵.‎ ‎【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：设矩阵A的逆矩阵为则 即故 解得：，‎ 从而A的逆矩阵为.‎ C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为（为参数，）.‎ 求曲线C的普通方程。‎ ‎【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：因为所以 故曲线C的普通方程为：.‎ D. 选修4 - 5：不等式选讲 ‎ 设≥＞0,求证：≥.‎ ‎【解析】 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。‎ 证明：‎ 因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，‎ 即≥.‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22.（本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；‎ ‎（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。‎ ‎【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎ ‎ ‎23. （本题满分10分）‎ 对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求证：对任意正整数≥2，有.‎ ‎【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。‎