【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系学案
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
[学生用书P166]
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C1的交点
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
无公共点
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)
一个交点
a≠0
Δ＞0
两个不相等的解
两个交点
Δ＝0
两个相等的解
一个交点
Δ＜0
无实数解
无交点
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．( )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．( )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．( )
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.( )
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B.相切
C．相离 D．不确定
解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
解析：选C.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B.2条
C．3条 D．4条
解析：选C.过(0，1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为( )
A．－ B.－
C．－4 D．无法确定
解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为
y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，
由此得所以·＝
x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝
(k2＋1)·x1x2－k(x1＋x2)＋＝
－(k2＋1)－k·(－k)＋＝－.故选B.
过点A(1，0)作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________．
解析：过A(1，0)且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，
代入y2＝2x得x2－4x＋1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x2＝4，x1x2＝1，
所以|MN|＝|x1－x2|＝
·＝·＝2.
答案：2
直线与圆锥曲线的位置关系
[学生用书P167]
[典例引领]
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
(3)没有公共点．
【解】 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3
3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．
这时直线l与椭圆C没有公共点．
直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．
[通关练习]
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )
A．1 B.1或3
C．0 D．1或0
解析：选D.由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，
即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围为( )
A. B.
C. D．
解析：选D.由消去y，
得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
因为直线与双曲线右支交于不同的两点，
所以
解得－b>0)，
则＝1，＋＝1，
解得a＝2，b＝，
所以C1的标准方程为＋＝1.
设抛物线C2的方程为y2＝2px(p>0)，
则(－4)2＝2p×4，
解得p＝2，
所以C2的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，设l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
D(x4，y4)，将l：y＝k(x－1)代入抛物线方程y2＝4x，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
当k≠0时，Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2>0恒成立，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝1.
所以|AB|＝＝，
将l：y＝k(x－1)代入椭圆方程＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0
Δ＝(－8k2)2－4(3＋4k2)(4k2－12)>0恒成立，
所以x3＋x4＝，x3·x4＝，
所以|CD|＝＝，
因为＝，
所以＝＝＋＝，
所以k2＝3，
即k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x－1)．
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
[通关练习]
设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，
x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，因为0＜b＜1.所以b＝.
中点弦问题(高频考点)
[学生用书P168]
中点弦问题是每年高考的重点，既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等及以上．主要命题角度有：
(1)利用中点弦确定直线或曲线方程；
(2)由中点弦解决对称问题．
[典例引领]
角度一 利用中点弦确定直线或曲线方程
(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
(2)已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．
【解析】 (1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.
(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
【答案】 (1)D (2)x＋2y－8＝0
角度二 由中点弦解决对称问题
如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
【解】 由题易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则
x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，
y0＝k(x0＋1)＝，
所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.
因为k≠0，所以－0.①
将线段AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②
由①②得m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d
＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
有关弦的三个问题
(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；
(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
[学生用书P323(单独成册)]
1．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．± B.±
C．± D．±2
解析：选A.将直线与椭圆方程联立，
化简整理得(3＋4k2)x2＝12，(*)
因为分别过A，B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，
故方程的两个根为±1，
代入方程(*)，得k＝±，故选A.
2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1 B.2
C．1或2 D．0
解析：选A.因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于( )
A. B.
C. D．4
解析：选C.由
消去y得ax2－x＋1＝0，
所以解得a＝.
4．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m等于( )
A. B.
C. D．0
解析：选B.由题意可得
8x2－20x＋8＝0，
解得x＝2或x＝，
则A(2，2)，B(，－)．
点M(－1，m)，
由·＝0，
可得(3，2－m)·＝0.
化简2m2－2m＋1＝0，
解得m＝.故选B.
5．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x2 B.y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.
6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝________．
解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，
所以·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
答案：－
7．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________．
解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立
，解得x＝±2，则A(－2，1)，
D(2，1)，因为B(－1，1)，C(1，1)，
所以＝(1，0)，＝(－1，0)，所以·＝－1.
答案：－1
8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x
＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．
解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，则a2－b2＝4，所以可设椭圆方程为＋＝1，
联立得
(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由一元二次方程根与系数的关系得：
y1＋y2＝＝2.
解得：b2＝8.所以a2＝12.
则椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围．
解：(1)由题意知e＝＝，
所以e2＝＝＝，所以a2＝b2.
因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)，
所以b＝，所以a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则·＝－4；
当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，
由⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，
由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，
设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．
因为y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4，
因为m2>4，所以·∈.
综上所述，·的取值范围为.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，
所以＋＝1.①
又因为离心率为，所以＝，
所以＝.②
解①②得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线的倾斜角为时，
不妨取A，B，
S△ABF2＝|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3≠.
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，
代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以S△ABF2＝|y1－y2|×|F1F2|
＝|k|
＝|k|
＝＝，
所以17k4＋k2－18＝0，
解得k2＝1，
所以k＝±1，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
1．过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则＋等于( )
A．2 B.4
C. D．
解析：选D.抛物线y2＝4x，可知2p＝4，设直线l1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l2的倾斜角为＋θ，AB，CD为过焦点的弦，|AB|＝，|CD|＝＝，
所以＋＝＋＝＝.故选D.
2．(2018·石家庄第一次模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选C.把点A(，)代入抛物线的方程，
得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1，0)，设M(，yM)，则＝(－，－)，＝(－1－，－yM)．由＝λ，得，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.
3．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.
所以·＝3，即kMN·＝3，
因为M，N关于直线y＝x＋m对称，
所以kMN＝－1，
因为y0＝－3x0.
又因为y0＝x0＋m，
所以P，
代入抛物线方程得m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合．
答案：0或－8
4．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有三条，则λ＝________．
解析：因为使得|AB|＝λ的直线l恰有三条．
所以根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．
此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y＝±2，故|AB|＝4.
因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
所以过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，
综上可知，|AB|＝4时，有三条直线满足题意．
所以λ＝4.
答案：4
5．(2017·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝.
所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝
＝0，
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点．
6．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．
解：(1)设F的坐标为(－c，0)．
依题意，＝，＝a，a－c＝，
解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.
所以，椭圆的方程为x2＋＝1，
抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，
故Q.将x＝my＋1与x2＋＝1联立，
消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，
解得y＝0或y＝.由点B异于点A，
可得点B.由Q，
可得直线BQ的方程为
(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D.
所以|AD|＝1－＝.
又因为△APD的面积为，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，
解得|m|＝，所以m＝±.
所以，直线AP的方程为
3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.
