新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-1　平面向量的概念

新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-1　平面向量的概念

教材过关 第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课 标 解 读 课标要求 核心素养 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平 面向量的实际背景. 2.理解平面向量的意义和两个向量相等的 含义. 3.理解平面向量的几何表示和基本要 素.(重点) 1.通过具体实例理解向量的概念,培养数学抽象 核心素养. 2.通过向量的表示和关系逐步形成直观想象核 心素养. 某航空母舰导弹发射处接到命令:向 1200km 处发射两枚巡航导弹(精度 10m 左 右,射程超过 2000km). 问题 1:导弹能否击中军事目标? 答案 导弹不一定击中军事目标. 问题 2:要使导弹击中目标,还需要知道什么条件? 答案 需要知道目标位于什么方向. 1.向量的概念 既有大小又有①方向的量叫做向量. 2.向量的表示 (1)几何表示:用②有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的③大小,有 向线段的方向表示向量的④方向. (2)代数表示:用小写字母 a,b,c,…表示向量. 特别提醒 (1)小写字母表示向量的注意点:印刷时用黑体,手写时必须加箭头. (2)有向线段可以表示向量,但是向量不能说成有向线段. (3)向量可以自由平移,即具有平移性,而有向线段是固定不动的. (4)一条有向线段对应着一个向量,但一个向量可以对应着无数条有向线段. 3.与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量 AB 的 长度(或称 模) 向量 AB 的大小 | AB | 零向量 长度为⑤0 的向量 0 单位向量 长度等于⑥1 个单位长度的向量 相等向量 长度⑦相等且方向⑧相同的向量 a=b 平行向量 (或共线 向量) 方向⑨相同或相反的非零向量 a∥b 规定:零向量与任意向量 平行 0∥a 思考:向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗? 提示 不一样,向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行,而平面几何中 的“平行”指两条直线平行. 探究一 向量的有关概念 例 1 (1)(易错题)下列说法中正确的是( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 (2)(多选题)下列说法中正确的是( ) A.若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b B.单位向量的模都相等 C.对于任意向量|a|=|b|,若 a 与 b 的方向相同,则 a=b D.向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 方向相同或相反 答案 (1)D (2)BC 解析 (1)向量不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即向量的模,指的是 有向线段的长度,与方向无关,故 C 不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故 D 正确. (2)因为向量是由大小和方向两个因素来确定的,所以两个向量不能比较大小, 故 A 不正确; 单位向量的模都是 1,故 B 正确; 因为|a|=|b|,且 a 与 b 同向,由两向量相等的条件,可得 a=b,故 C 正确; 若向量 a 与向量 b 中有一个是零向量,则其方向不定,故 D 不正确. 易错点拨 1.判断一个量是不是向量的两个关键条件: (1)大小;(2)方向.这两个条件缺一不可. 2.特殊向量的特殊性: (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等; (2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向; (3)向量的模是长度,指的是大小,是数量. 3.常因零向量的方向不确定而判断失误. 1-1 下列说法中正确的是( ) A.零向量的长度为 0 B.单位向量都相等 C.向量就是有向线段 D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案 A 零向量的长度等于 0,故 A 正确; 因为单位向量的方向不一定相同,所以不一定相等,故 B 错误; 向量有两个要素:大小与方向,向量可以平移,而有向线段还有起点和终点,不可以 平移,故 C 错误; 共线向量包括两向量所在直线平行和两向量在同一条直线上,故 D 错误. 1-2 下列说法中正确的有( ) ①单位向量的长度大于零向量的长度; ②零向量与任一单位向量平行; ③因为相等向量的相等关系具有传递性,所以平行向量的平行关系也具有传递性; ④因为相等向量一定是平行向量,所以平行向量也一定是相等向量. A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 答案 A ①正确;②正确,零向量与任一向量平行;③错误,平行向量的平行关系 不具有传递性;④错误,平行向量不一定是相等向量. 探究二 向量的表示 例 2 在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长为 1)上,用直尺和圆规画出下 列向量: (1)画向量 ,使| |=4 2 ,点 A 在点 O 北偏东 45°方向; (2)画向量 ,使| |=4,点 B 在点 A 的正东方向; (3)画向量 ,使| |=6,点 C 在点 B 北偏东 30°方向. 解析 (1)因为点 A 在点 O 北偏东 45°方向,所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横 向小方格数与纵向小方格数相等.又| |=4 2 ,小方格边长为 1,所以点 A 距点 O 的 横向小方格数与纵向小方格数都为 4,于是点 A 的位置可以确定,画出向量 ,如图 所示. (2)因为点 B 在点 A 的正东方向,且| |=4,所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向 小方格数为 4,纵向小方格数为 0,于是点 B 的位置可以确定,画出向量 ,如图所 示. (3)因为点 C 在点 B 北偏东 30°方向,且| |=6,依据勾股定理可得,在坐标纸 上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 3 3 ≈5.2,于是点 C 的位置可以 确定,画出向量 ,如图所示. 思维突破 用有向线段表示向量的步骤 2-1 已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2000km 到达 B 地,再从 B 地按南偏 东 30°的方向飞行 2000km 到达 C 地,再从 C 地按西南方向飞行 1000 2 km 到达 D 地. (1)作出向量 , , , ; (2)问:D 地在 A 地的什么方向?D 地距 A 地多远? 解析 (1)由题意,作出向量 , , , ,如图所示. (2) 依题意知,△ABC为正三角形,所以 AC=2000km.又因为∠ACD=45°,CD=1000 2 km, 所以△ACD 为等腰直角三角形,所以 AD=1000 2 km,∠CAD=45°,所以 D 地在 A 地的东 南方向,距 A 地 1000 2 km. 探究三 相等向量与平行向量 例 3 如图,△ABC 和△A'B'C'是在各边的 1 3 处相交的两个全等的等边三角形,设 △ABC 的边长为 a,图中画出了长度均为 3 的若干个向量,则 (1)与向量 相等的向量有 ; (2)与向量 平行,且模相等的向量有 ; (3)与向量 平行,且模相等的向量有 . 答案 (1) ' , (2) ' , , ' , , (3) , , ' , , ' 思维突破 寻找平行向量或相等向量的方法 (1)平行向量:看方向,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再 构造同向与反向的向量. 提醒:不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向 量. (2)相等向量:先看大小再看方向,先找与表示已知向量的有向线段长度相等 的向量,再确定哪些是同向共线. 3-1 如图所示,△ABC 中,三边长均不相等,E,F,D 分别是 AC,AB,BC 的中点. (1)写出与 共线的向量; (2)写出与 长度相等的向量; (3)写出与 相等的向量. 解析 (1)∵E,F 分别是 AC,AB 的中点, ∴EF∥BC, ∴与 共线的向量有 , , , , , , . (2)∵E,F,D 分别是 AC,AB,BC 的中点, ∴EF= 1 2 BC,BD=DC= 1 2 BC, ∴EF=BD=DC. ∵AB,BC,AC 均不相等, ∴与 长度相等的向量有 , , , , . (3)与 相等的向量有 , . 1.若 a 为任一非零向量,b 为单位向量,则下列正确的是( ) A.|a|>|b| B.a∥b C.|a|>0D. || ∥b 答案 C |a|不一定大于 1,|b|=1,∴A 不正确;a 与 b 不一定平行,故 B 不正确; 易知 C 正确; || 是 a 方向上的单位向量,不一定平行于 b,故 D 不正确. 2.下列结论中正确的是( ) ①若 a∥b 且|a|=|b|,则 a=b; ②若 a=b,则 a∥b 且|a|=|b|; ③若 a 与 b 方向相同且|a|=|b|,则 a=b; ④若 a≠b,则 a 与 b 方向相反且|a|≠|b|. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④ 答案 B 两个向量相等需同向等长,反之也成立,故①错误,②③正确;两向量不 相等,可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等,故④错误. 3.如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,图中与 平行的向量的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 题图中与 平行的向量为 , , ,共 3 个. 4.在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组 成 . 答案 一个圆 解析 在平面上把所有模长相等的向量的起点平移到同一点P,各向量的终点到P 点的距离都相等,所以它们的终点组成一个圆. 5.如图所示的是中国象棋的半个棋盘,“马走日(两个有公共边的小方格)”是象棋中 马的走法.此图中,马可以从 A 处跳到 A1 处,用向量 1 表示马走了“一步”,也可以从 A 处跳到 A2 处,用向量 2 表示马走了“一步”.请在图中画出马在 B,C 处走了“一步” 的所有情况. 解析 如图,马在 B 处只有 3 种走法,马在 C 处有 8 种走法. 直观想象——图形与向量的关系转化 如图所示,已知在四边形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,AD 的中点,又 = .求 证:CNMA. 审: = ⇒▱ABCD⇒ = ⇒▱AMCN⇒CN MA. 联:利用平行四边形的判定与性质证明. 证明:由 = 可知 AB=DC 且① , 所以四边形 ABCD 为平行四边形,从而② . 又 M,N 分别是 BC,AD 的中点,所以③ , 所以 AN=MC 且④ , 所以四边形 AMCN 是平行四边形, 所以 CN=MA 且 CN∥MA,即 CN MA. 思:利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法: (1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(或模)相等. (2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线. 答案 ①AB∥DC ② = ③ = ④AN∥MC 如图,在等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 P,点 E,F 分别在两腰 AD,BC 上,EF 过点 P,且 EF∥AB,则( ) A. = B. = C. = D. = 答案 D 由平面几何知识知, 与 方向不同,故 ≠ ; 与 方向不同, 故 ≠ ; 与 的模相等而方向相反,故 ≠ ; 与 的模相等且方向相同, 所以 = . 1.(2020 山东泰安高一同步练习)下列说法正确的是( ) A.若 a 与 b 平行,b 与 c 平行,则 a 与 c 一定平行 B.终点相同的两个向量不共线 C.若|a|>|b|,则 a>b D.单位向量的长度为 1 答案 D 2.如图,在正方形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,则图中与 相等的向量是( ) A. B. C. D. 答案 D 3.在四边形 ABCD 中, ∥ ,| |≠| |,则四边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 答案 A 4.设 O 是△ABC 的外心,则 , , 是( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 答案 B 因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以点 O 到三个顶点 A,B,C 的距离相等,所以 , , 是模相等的向量. 5.(2020 广东广州高一期末)已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,则 | |=( ) A.1 B. 3C.2 D.2 3答案 D 易知 AC⊥BD,且∠ABD=30°,设 AC 与 BD 交于点 O,则 AO= 1 2 AB=1.在 Rt△ABO 中,易得| |= 3 ,则| |=2| |=2 3 . 6.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,O 为其中心,则| |= . 答案 2解析 因为正方形的对角线长为 2 2 ,所以| |= 2 . 7.如果在一个边长为 5 的正三角形 ABC 中,一个向量所对应的有向线段为 (其中 D 在边 BC 上运动),则向量 长度的最小值为 . 答案 5 3 2 解析 在正三角形 ABC 中,有向线段 的长度最小时, 应与边 BC 垂直,则 长度的最小值为正三角形 ABC 的高,为 5 3 2 . 8.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量 是平行向量,与 是共线向量,则 m= . 答案 0 解析 因为 A,B,C 不共线,所以 与 不共线.又 m 与 , 都共线,所以 m=0. 9.如图所示的是4×3的矩形(每个小方格的边长都是 1),在起点和终点都在小方格 的顶点处的向量中,与向量 平行且模为 2 的向量共有几个?与向量 方向相同 且模为 3 2 的向量共有几个? 解析 依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反 方向的向量都和 平行且模为 2 .因为共有 12 个小方格,所以满足条件的向量共 有 24 个.易知与向量 方向相同且模为 3 2 的向量共有 2 个. 10.已知 D 为平行四边形 ABPC 的两条对角线的交点,则 | | | | 的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C.1 D.2 答案 C 因为四边形 ABPC 是平行四边形,D 为对角线 BC 与 AP 的交点,所以 D 为 PA 的中点,所以 | | | | 的值为 1. 11.(多选题)下列说法中正确的是( ) A.若 a≠b,则 a 一定不与 b 共线 B.若 = ,则 A,B,C,D 四点是平行四边形的四个顶点 C.在▱ABCD 中,一定有 = D.若 a=b,b=c,则 a=c 答案 CD 两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以 a 与 b 有 共线的可能,故 A 不正确;A,B,C,D 四点可能在同一条直线上,故 B 不正确;在▱ABCD 中,| |=| |, 与 平行且方向相同,所以 = ,故 C 正确;若 a=b,则 |a|=|b|,且 a 与 b 方向相同,若 b=c,则|b|=|c|,且 b 与 c 方向相同,所以 a 与 c 方向 相同且模相等,故 a=c,故 D 正确. 12.如图,在△ABC 中,∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D.若 的模为 2, 的模为 3, 的模为 1,则 的模为 . 答案 3 2解析 如图,延长 CD,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于点 E. 因为∠ACD=∠BCD=∠AED,所以| |=| |. 易知△ADE∽△BDC, 则 | | | | = | | | | = | | | | , 故| |= 3 2 . 13.如图,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. (1)与向量 相等的向量有 ; (2)若| |=3,则| |= . 答案 (1) , (2)6 解析 (1)根据向量相等的定义以及四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形,可知与 向量 相等的向量有 , . (2)因为| |=3,| |=2| |, 所以| |=6. 14.在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AD,BC 的中点,如图. (1)在每两点所确定的向量中,写出与向量 共线的向量; (2)求证: = . 解析 (1)由共线向量的定义得与向量 共线的向量有 , , , , , , , , , , . (2)证明:在▱ABCD 中,ADBC. 又 E,F 分别为 AD,BC 的中点, 所以 ED BF, 所以四边形 BFDE 是平行四边形, 所以 BE FD, 所以 = . 15.如图,A1,A2,…,A8 是☉O 上的八个等分点,则在以 A1,A2,…,A8 及圆心 O 九个点中 任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径的 2 倍 的向量有多少个? 解析 模等于半径的向量只有两类,一类是 (i=1,2,…,8),共 8 个;另一类是 O (i=1,2,…,8),也有 8 个.两类共计有 16 个. 以 A1,A2,…,A8 中四点为顶点的☉O 的内接正方形有两个,一个是正方形 A1A3A5A7,另 一个是正方形 A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线 段,每一边对应两个向量)的长度为半径的 2 倍,故模等于半径的 2 倍的向量共有 4×2×2=16(个).