2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第五章　1 第1讲　平面向量的概念及线性运算

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第五章　1 第1讲　平面向量的概念及线性运算

知识点 最新考纲 平面向量的几何 意义及基本概念 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、 向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 向量的线性运算 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义. 平面向量的基本 定理及坐标表示 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解 决简单问题． 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算. 平面向量的数量 积及向量的应用 理解平面向量数量积的概念及其几何意义． 掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹 角之间的关系． 会用坐标表示平面向量的平行与垂直． 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 复　数 了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念． 了解复数的加、减运算的几何意义． 理解复数代数形式的四则运算. 第 1 讲　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共 线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算 a－b＝a＋(－b) 续　表 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当 λ>0 时， λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ__a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa． [说明]　三点共线的等价关系 A，P，B 三点共线⇔AP→ ＝λAB→ (λ≠0)⇔OP→ ＝(1－t)·OA→ ＋tOB→ (O 为平面内异于 A，P，B 的任 一点，t∈R)⇔OP→ ＝xOA → ＋yOB→ (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝ 1)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(　　) (2)AB→ ＋BC→ ＋CD→ ＝AD→ .(　　) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　) (4)若向量AB→ 与向量CD→ 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．(　　) (5)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(　　) (6)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ [教材衍化] (必修 4P108B 组 T5 改编)在平行四边形 ABCD 中，若| AB→ ＋AD→ |＝|AB→ －AD→ |，则四边形 ABCD 的形状为________． 解析：如图，因为AB→ ＋AD→ ＝AC→ ，AB→ －AD→ ＝DB→ ，所以|AC→ |＝|DB→ |.由对角 线相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形． 答案：矩形 [易错纠偏] (1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量线性运算不熟致错； (3)向量三角不等式认识不清致错． 1．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立，故前 者是后者的充分不必要条件． 2．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝ 1 2AB，BE＝ 2 3BC.若DE→ ＝λ1AB → ＋λ2AC→ (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＝________，λ2＝________． 解析：DE→ ＝DB→ ＋BE→ ＝ 1 2AB→ ＋ 2 3BC→ ＝ 1 2AB→ ＋ 2 3(BA→ ＋AC→ )＝－ 1 6AB→ ＋ 2 3AC→ ，所以 λ1＝－ 1 6，λ2＝ 2 3. 答案：－1 6　 2 3 3．已知向量 a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________． 解析：当 a 与 b 方向相同时，|a－b|＝2，当 a 与 b 方向相反时，|a－b|＝6，当 a 与 b 不 共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视 a 与 b 方向相同和 a 与 b 方向相反两种情况． 答案：[2，6] 　　　　　　平面向量的有关概念 给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB→ ＝DC → ，则 ABCD 为平行四边形； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； 其中真命题的序号是________． 【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量 相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB→ ＝DC→ ，所以|AB→ |＝|DC→ |且AB→ ∥DC→ ；又 A，B，C，D 是不共线的四点， 所以四边形 ABCD 为平行四边形． ④是错误的，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件． 【答案】　③ 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象 的移动混淆． (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量．　 　给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若 λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零； ④已知 λ，μ为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选 A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量 既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错 误．当 a＝0 时，无论 λ 为何值，λa＝0.④错误．当 λ＝μ＝0 时，λa＝μb，此时，a 与 b 可 以是任意向量． 　　　　　　平面向量的线性运算(高频考点) 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择 题、填空题的形式出现．主要命题角度有： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值． 角度一　用已知向量表示未知向量 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个 靠近 B 点的三等分点，那么EF→ 等于(　　) A. 1 2AB→ － 1 3AD→ B. 1 4AB→ ＋ 1 2AD→ C. 1 3AB→ ＋ 1 2DA→ D. 1 2AB→ － 2 3AD→ 【解析】　在△CEF 中，有EF→ ＝EC→ ＋CF→ . 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC→ ＝ 1 2DC → . 因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点， 所以CF→ ＝ 2 3CB→ . 所以EF→ ＝ 1 2DC→ ＋ 2 3CB→ ＝ 1 2AB→ ＋ 2 3DA→ ＝1 2AB→ － 2 3AD→ ，故选 D. 【答案】　D 角度二　求参数的值 如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥ BC 于 点 H ， M 为 AH 的 中 点 ． 若 AM→ ＝ λAB→ ＋ μ BC→ ， 则 λ ＋ μ ＝ ________． 【解析】　因为 AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以 BH＝1. 因为点 M 为 AH 的中点， 所以AM→ ＝ 1 2AH→ ＝ 1 2(AB→ ＋BH→ ) ＝ 1 2(AB→ ＋1 3BC → )＝ 1 2AB→ ＋ 1 6BC→ ， 又AM→ ＝λAB→ ＋μBC→ ， 所以 λ＝ 1 2，μ＝ 1 6， 所以 λ＋μ＝ 2 3. 【答案】　 2 3 向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用 平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边 形或三角形中求解．　 1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形 ABCD，点 M 1，M2，M3，…，Mn－1 和 N1，N2， N3，…，Nn－1 分别将线段 BC 和 DC 进行 n 等分(n∈N*，n≥2)，如图，若AM1→ ＋AM2→ ＋…＋AMn －1＋AN1→ ＋AN2→ ＋…＋ANn－1＝45AC→ ，则 n＝(　　) A．29 B．30 C．31 D．32 解析：选 C.由题图知，因为AM1→ ＝AB→ ＋ 1 nBC→ ，AM2→ ＝AB→ ＋ 2 nBC→ ，…，AMn－1＝AB→ ＋ n－1 n BC→ ， AN1→ ＝AD→ ＋ 1 nDC→ ，AN2→ ＝AD→ ＋ 2 nDC→ ，…，ANn－1＝AD→ ＋ n－1 n DC→ .AB→ ＝DC→ ，AD→ ＝BC→ . 所以AM1→ ＋AM2→ ＋…＋AMn－1＋AN1→ ＋AN2→ ＋…＋ANn－1＝(n－1＋1 n＋2 n＋…＋n－1 n )· (AD→ ＋AB→ )＝ 3（n－1） 2 AC→ ， 所以 3（n－1） 2 ＝45，解得 n＝31.故选 C. 2．(2019·高考浙江卷)已知正方形 ABCD 的边长为 1.当每个 λ i(i＝1，2，3，4，5，6)取 遍 ±1 时 ， | λ 1AB→ ＋ λ2BC→ ＋ λ3CD→ ＋ λ4DA→ ＋ λ5AC→ ＋ λ6BD→ | 的 最 小 值 是 ________ ， 最 大 值 是 ________． 解析：以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴 建立平面直角坐标系，如图，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以 λ1 AB→ ＋λ2BC→ ＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ ＝(λ1 －λ3 ＋λ5 －λ6 ，λ2 －λ4 ＋λ5 ＋λ6) ， 所以当{λ1－λ3＋λ5－λ6＝0 λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0 时，可取 λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB→ ＋λ 2BC→ ＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ |取得最小值 0；取 λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－ 1，则|λ1AB→ ＋λ2BC→ ＋λ3CD→ ＋λ4DA→ ＋λ5AC→ ＋λ6BD→ |取得最大值 22＋42＝2 5. 答案：0　2 5 　　　　　　平面向量共线定理的应用 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB→ ＝a＋b，BC→ ＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 【解】　(1)证明：因为AB→ ＝a＋b，BC→ ＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)， 所以BD→ ＝BC→ ＋CD→ ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→ ，所以AB→ ，BD→ 共线， 又它们有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线． (2)因为 ka＋b 与 a＋kb 共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， 所以 k－λ＝λk－1＝0.所以 k2－1＝0.所以 k＝±1. 　 1．设 e1，e2 是两个不共线的向量，则向量 a＝2e1－e2 与向量 b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充 要条件是(　　) A．λ＝0 B．λ＝－1 C．λ＝－2 D．λ＝－ 1 2 解析：选 D.因为 a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2 不共线， 因为 a，b 共线⇔b＝ 1 2a⇔b＝e1－1 2e2⇔λ＝－ 1 2. 2.如图，在△ABC 中，D 为 BC 的四等分点，且靠近点 B，E，F 分 别为 AC，AD 的三等分点，且分别靠近 A，D 两点，设AB→ ＝a，AC→ ＝b. (1)试用 a，b 表示BC→ ，AD→ ，BE→ ； (2)证明：B，E，F 三点共线． 解：(1)△ABC 中，AB→ ＝a，AC→ ＝b， 所以BC→ ＝AC→ －AB→ ＝b－a， AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋ 1 4BC→ ＝a＋ 1 4(b－a)＝ 3 4a＋ 1 4b， BE→ ＝BA→ ＋AE→ ＝－AB→ ＋1 3AC → ＝－a＋ 1 3b. (2)证明：BE→ ＝－a＋ 1 3b， BF→ ＝BA→ ＋AF→ ＝－AB→ ＋ 2 3AD→ ＝－a＋ 2 3(3 4a＋1 4b)＝－ 1 2a＋ 1 6b＝ 1 2(－a＋1 3b)， 所以BF→ ＝ 1 2BE→ ， 所以BF→ 与BE→ 共线，且有公共点 B， 所以 B，E，F 三点共线． 核心素养系列 10　数学运算——共线定理的推广与应用 [共线定理]　已知PA→ ，PB→ 为平面内两个不共线的向量，设PC→ ＝xPA→ ＋yPB→ ，则 A，B，C 三 点共线的充要条件为 x＋y＝1. [推广形式]　如图所示，直线 DE∥AB，C 为直线 DE 上任一点，设PC→ ＝ xPA→ ＋yPB→ (x，y∈R)． 当直线 DE 不过点 P 时，直线 PC 与直线 AB 的交点记为 F，因为点 F 在直线 AB 上， 所以由三点共线结论可知，若PF→ ＝λPA→ ＋μPB→ (λ，μ∈R)，则 λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似， 知必存在一个常数 m∈R，使得PC→ ＝m PF→ ，则PC→ ＝mPF→ ＝mλPA→ ＋mμPB→ . 又PC→ ＝xPA→ ＋yPB→ (x，y∈R)，所以 x＋y＝mλ＋mμ＝m. 以上过程可逆． 因此得到结论：PC→ ＝xPA→ ＋yPB→ ， 则 x＋y＝m(定值)，反之亦成立． (应用实例) 如图，在正六边形 ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动 点，设AP→ ＝αAB→ ＋βAF→ (α，β∈R)，则 α＋β 的取值范围是________． 【解析】　当 P 在△CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点 的平行线是最远的，所以 α＋β∈[AN AM， AD AM]＝[3，4]． 【答案】　[3，4] 如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D，若OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，则 m＋n 的取值范 围是________． 【解析】　由点 D 是圆 O 外的一点，可设BD→ ＝λBA→ (λ＞1)，则OD→ ＝OB→ ＋BD→ ＝OB→ ＋λBA→ ＝λ OA→ ＋(1－λ)OB→ .因为 C，O，D 三点共线，令OD→ ＝－μOC→ (μ＞1)，所以OC→ ＝ － λ μOA→ － 1－λ μ ·OB→ (λ＞1，μ＞1)．因为OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，所以 m＝－ λ μ，n＝－ 1－λ μ ，则 m＋n＝－ λ μ－1－λ μ ＝－ 1 μ∈(－1，0)． 【答案】　(－1，0) 如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝ π 3 ，C 为弧 AB 上的动点， 若OC→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，则 x＋3y 的取值范围是________． 【解析】　 OC→ ＝xOA→ ＋3y(OB→ 3 )，如图，作OB′→ ＝ OB → 3 ，则考虑以向量OA→ ，OB′→ 为基 底．显然，当 C 在 A 点时，经过 m＝1 的平行线，当 C 在 B 点时，经过 m＝3 的平行线，这 两条线分别是最近与最远的平行线，所以 x＋3y 的取值范围是[1，3]． 【答案】　[1，3] [基础题组练] 1．下列各式中不能化简为PQ→ 的是(　　) A.AB→ ＋(PA→ ＋BQ→ )　 　　 B．(AB → ＋PC→ )＋(BA→ －QC→ ) C.QC→ －QP→ ＋CQ→ D.PA→ ＋AB→ －BQ→ 解析：选 D.AB→ ＋(PA→ ＋BQ→ )＝AB→ ＋BQ→ ＋PA→ ＝PA→ ＋AQ→ ＝PQ→ ；(AB→ ＋PC → )＋(BA→ －QC→ )＝(AB→ ＋BA→ )＋ (PC→ －QC→ )＝PC→ ＋CQ→ ＝PQ→ ；QC→ －QP→ ＋CQ→ ＝PC→ ＋CQ→ ＝PQ→ ； PA→ ＋AB→ －BQ→ ＝PB→ －BQ→ ， 显然由PB→ －BQ→ 得不出PQ→ ， 所以不能化简为PQ→ 的式子是 D. 2．设 a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a 与 λa 的方向相反 B．a 与 λ2a 的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 解析：选 B.对于 A，当 λ>0 时，a 与 λa 的方向相同，当λ<0 时，a 与 λa 的方向相反； B 正确；对于 C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定； 对于 D，|λ|a 是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 3．(2020·浙江省新高考学科基础测试)设点 M 是线段 AB 的中点，点 C 在直线 AB 外，| AB→ |＝6，|CA→ ＋CB→ |＝|CA→ －CB→ |，则|CM→ |＝(　　) A．12　　　　　　　　　　 B．6 C．3 D. 3 2 解析：选 C.因为|CA→ ＋CB→ |＝2|CM→ |，|CA→ －CB→ |＝|BA→ |，所以 2|CM → |＝|BA→ |＝6， 所以|CM→ |＝3，故选 C. 4．已知 a，b 是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是(　　) A．|a|＋|b|≥|a－b| B．|a·b|≤|a|·|b| C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3 解析：选 D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以 A 正确； 因为|a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1， 所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B 正确； 由向量数量积的运算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C 正确；根据排除法，故选 D. 5．已知 a，b 是非零向量，命题 p：a＝b，命题 q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.若 a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即 p⇒q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共线， 即 a＝λb，且 λ＞0，故 q ⇒/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A. 6．(2020·温州市普通高中模考)已知 A，B，C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若OC→ ＝λOA→ ＋μOB→ (λ＞0，μ＞0)，则 λ＋μ 的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1， 2 ] D．(0， 2 ) 解析：选 B.由题意可得OD→ ＝kOC→ ＝kλOA→ ＋kμOB→ (0＜k＜1)，又 A，D，B 三点共线，所以 kλ ＋kμ＝1，则 λ＋μ＝ 1 k＞1，即 λ＋μ 的取值范围是(1，＋∞)，选项 B 正确． 7．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA → ＝a，OB→ ＝b，则DC→ ＝________，BC→ ＝________(用 a，b 表示)． 解析：如图，DC→ ＝AB→ ＝OB→ －OA→ ＝b－a， BC→ ＝OC→ －OB→ ＝－OA→ －OB → ＝ －a－b. 答案：b－a　－a－b 8．(2020·温州质检)如图所示，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG→ ＝2GO→ ，设CD→ ∥ AG→ ，若AD→ ＝ 1 5AB→ ＋λAC→ (λ∈R)，则 λ 的值为 ________． 解析：因为BG→ ＝2GO→ ，所以AG→ ＝ 1 3AB→ ＋ 2 3AO→ ＝ 1 3AB→ ＋ 1 3AC→ ，又CD→ ∥AG→ ，可设CD→ ＝mAG→ ，从而AD→ ＝AC→ ＋CD→ ＝AC→ ＋ m 3AB→ ＋ m 3AC→ ＝(1＋m 3 )AC → ＋ m 3AB→ .因为AD→ ＝ 1 5AB→ ＋λAC→ ，所以 m 3＝ 1 5，λ＝1＋ m 3＝ 6 5. 答案： 6 5 9．若|AB→ |＝8，|AC→ |＝5，则|BC→ |的取值范围是________． 解析：BC→ ＝AC→ －AB→ ，当AB→ ，AC→ 同向时，|BC → |＝8－5＝3；当AB→ ，AC→ 反向时，|BC→ |＝8＋5＝ 13；当AB→ ，AC→ 不共线时，3＜|BC→ |＜13.综上可知 3≤|BC→ |≤13. 答案：[3，13] 10．(2020·杭州中学高三月考)已知 P 为△ABC 内一点，且 5AP→ －2AB→ －AC→ ＝0，则△PAC 的面积与△ABC 的面积之比等于________． 解析：因为 5AP→ －2AB→ －AC→ ＝0， 所以AP→ ＝ 2 5AB→ ＋ 1 5AC→ ， 延长 AP 交 BC 于 D，则 5 3AP→ ＝ 2 3AB→ ＋ 1 3AC→ ＝AD→ ， 从而可以得到 D 是 BC 边的三等分点，且 CD＝ 2 3CB， 设点 B 到边 AC 的距离为 d，则点 P 到边 AC 的距离为 2 3× 3 5d＝ 2 5d， 所以△PAC 的面积与△ABC 的面积之比为 2 5. 答案： 2 5 11.在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点， 且 GB＝2GE，设AB→ ＝a，AC→ ＝b，试用 a，b 表示AD→ ，AG→ . 解：AD → ＝ 1 2(AB→ ＋AC→ )＝ 1 2a＋ 1 2b. AG→ ＝AB→ ＋BG→ ＝AB→ ＋ 2 3BE→ ＝AB→ ＋ 1 3(BA→ ＋BC→ ) ＝ 2 3AB→ ＋ 1 3(AC→ －AB→ )＝ 1 3AB→ ＋ 1 3AC→ ＝ 1 3a＋ 1 3b. 12．经过△OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP→ ＝mOA→ ，OQ→ ＝nOB→ ， m，n∈R，求 1 n＋ 1 m的值． 解：设OA→ ＝a，OB→ ＝b，则OG→ ＝ 1 3(a＋b)，PQ→ ＝OQ→ －OP→ ＝nb－ma，PG→ ＝OG→ －OP→ ＝ 1 3(a＋b)－ ma＝(1 3－m )a＋ 1 3b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数 λ 使得PQ→ ＝λPG→ ， 即 nb－ma＝λ(1 3－m )a＋1 3λb， 从而{－m＝λ(1 3－m )， n＝1 3λ， 消去 λ，得 1 n＋ 1 m＝3. [综合题组练] 1．设 P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP → ＝2PA → ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是 (　　) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 解析：选 B.因为CP→ ＝2PA→ ，所以 |CP→ | |PA → | ＝ 2 1，又△PAB 在边 PA 上的高与△PBC 在边 PC 上的高相等，所以 S △ PAB S △ PBC＝ |PA→ | |CP→ | ＝ 1 2. 2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知 D，E 是△ABC 边 BC 的三等分点，点 P 在线 段 DE 上，若AP→ ＝xAB→ ＋yAC→ ，则 xy 的取值范围是(　　) A.[1 9， 4 9 ] B.[1 9， 1 4 ] C.[2 9， 1 2 ] D.[2 9， 1 4 ] 解 析 ： 选 D. 由 题 意 ， 知 P ， B ， C 三 点 共 线 ， 则 存 在 实 数 λ 使 PB→ ＝ λBC→ (－2 3 ≤ λ ≤ －1 3)，所以AB→ －AP→ ＝λ(AC→ －AB→ )，所以AP→ ＝－λAC→ ＋(λ＋1)AB→ ，则{y＝－λ x＝λ＋1，所以 x ＋y＝1 且 1 3≤x≤ 2 3，于是 xy＝x(1－x)＝－(x－1 2 )2 ＋ 1 4，所以当 x＝ 1 2时，xy 取得最大值 1 4；当 x＝ 1 3或 x＝ 2 3时，xy 取得最小值 2 9，所以 xy 的取值范围为[2 9， 1 4 ]，故选 D. 3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的 直线分别交直线 AB 的延长线，AC 于不同的两点 M，N，若AB→ ＝mAM→ ，AC→ ＝nAN→ ，则 m＋n＝ ________． 解析：作 BG∥AC，则 BG∥NC， |BG| |AN|＝ |BM| |AM|. 因为 O 是 BC 的中点，所以△NOC≌△GOB， 所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|， 所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以 |BG| |AN|＝n－1. 因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， 所以 |BM| |AM|＝1－m，所以 n－1＝1－m，m＋n＝2. 答案：2 4.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4， M，N 分别为线段 BC ，CD 上的点，且满足 1 CM2＋ 1 CN2＝1 ，若AC→ ＝xAM→ ＋ yAN→ ，则 x ＋y 的最小值为________． 解析：连接 MN 交 AC 于点 G，由勾股定理，知 MN2＝CM2＋CN2，所以 1＝ 1 CM2＋ 1 CN2＝ MN2 CM2·CN2， 即 MN＝CM·CN，所以 C 到直线 MN 的距离为定值 1，此时 MN 是以 C 为圆心，1 为半 径的圆的一条切线．因为AC→ ＝xAM→ ＋yAN→ ＝(x＋y)·( x x＋yAM → ＋ y x＋yAN → )， 所以由共线定理知，AC→ ＝(x＋y)AG→ ， 所以 x＋y＝ |AC→ | |AG→ | ＝ 5 |AG→ | ， 又因为|AG→ |max＝5－1＝4， 所以 x＋y 的最小值为 5 4. 答案： 5 4 5．如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N 是 EF 上的两个三等分点，若AB→ ＝a， BC→ ＝b，AB→ ＝2DC→ . (1)用 a，b 表示AM → ； (2)证明 A，M，C 三点共线． 解：(1)AD→ ＝AB→ ＋BC→ ＋CD→ ＝a＋b＋(－1 2a )＝ 1 2a＋b， 又 E 为 AD 中点， 所以AE→ ＝ 1 2AD→ ＝ 1 4a＋ 1 2b， 因为 EF 是梯形的中位线，且AB → ＝2DC→ ， 所以EF→ ＝ 1 2(AB→ ＋DC→ )＝ 1 2(a＋1 2a)＝ 3 4a， 又 M，N 是 EF 的三等分点，所以EM→ ＝ 1 3EF→ ＝ 1 4a， 所以AM→ ＝AE→ ＋EM→ ＝ 1 4a＋ 1 2b＋ 1 4a＝ 1 2a＋ 1 2b. (2)证明：由(1)知MF→ ＝ 2 3EF→ ＝ 1 2a， 所以MC→ ＝MF→ ＋FC → ＝ 1 2a＋ 1 2b＝AM→ ， 又MC→ 与AM→ 有公共点 M，所以 A，M，C 三点共线． 6．已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP → ＝mOA→ ＋nOB→ (m，n∈R)．求证：A，P，B 三 点共线的充要条件是 m＋n＝1. 证明：充分性：若 m＋n＝1，则OP→ ＝mOA→ ＋(1－m)OB→ ＝OB→ ＋m(OA→ －OB→ )， 所以OP→ －OB→ ＝m(OA→ －OB→ )， 即BP→ ＝mBA→ ， 所以BP→ 与BA→ 共线． 又因为BP → 与BA→ 有公共点 B，则 A，P，B 三点共线． 必要性：若 A，P，B 三点共线， 则存在实数 λ，使BP→ ＝λBA→ ， 所以OP→ －OB→ ＝λ(OA→ －OB→ )． 又OP→ ＝mOA→ ＋nOB→ . 故有 mOA→ ＋(n－1)OB→ ＝λOA→ －λOB→ ， 即(m－λ)OA→ ＋(n＋λ－1)OB→ ＝0. 因为 O，A，B 不共线，所以OA→ ，OB→ 不共线， 所以{m－λ＝0， n＋λ－1＝0.所以 m＋n＝1. 所以 A，P，B 三点共线的充要条件是 m＋n＝1.