高中数学必修2第四章 章末检测

高中数学必修2第四章 章末检测

章末检测 一、选择题 ‎1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是(　　)‎ A．2 B．2 C．9 D. 答案　D 解析　由空间直角坐标系中两点间距离公式得：‎ ‎|AB|＝＝.‎ ‎2．点A(2a，a－1)在以点C(0,1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为(　　)‎ A．±1 B．0或1‎ C．－1或 D．－或1‎ 答案　D 解析　由题意，得圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，将点A的坐标代入圆的方程可得a＝1或a＝－.‎ ‎3．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案　B 解析　由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．‎ ‎4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　直线方程为y＝x，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝x的距离为d＝1，∴半弦长为＝，∴弦长为2.‎ ‎5．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1‎ 答案　A 解析　设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是 ‎(x－2)2＋y2＝1.‎ ‎6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．‎ ‎7．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1‎ 答案　A 解析　方法一　因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，所以圆C为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，‎ 即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ 方法二　已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，‎ 所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.‎ 所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎8．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　)‎ A．4 B．2 C. D. 答案　A 解析　P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.‎ ‎9．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有(　　)‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．0条 答案　B 解析　由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1(－2，2)，r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r2＝4.‎ 因为d＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3‎ 条公切线．‎ ‎10．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是(　　)‎ A．2x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0‎ 答案　C 解析　设圆心为C，则C点坐标为(1,0)且AB⊥CP，kCP＝＝－1，∴kAB＝1，直线AB的方程为y＋1＝x－2即x－y－3＝0.‎ 二、填空题 ‎11．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．‎ 答案　(x－2)2＋2＝ 解析　因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋2＝.‎ ‎12．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　1≤m≤121‎ 解析　由x2＋y2＋6x－8y－11＝0得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以两圆的圆心距d＝＝5，当两圆有公共点时，它们只能是内切、外切或相交，因此圆心距d应满足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，即|－6|≤5≤＋6，从而1≤≤11，即1≤m≤121.‎ ‎13．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．‎ 答案　x2＋y2＝25‎ 解析　原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.‎ ‎14．过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________．‎ 答案　y＝2或5x－12y＋9＝0‎ 解析　由圆的方程可知，圆心为(－2,1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y－2＝k(x－3)，‎ 即kx－y－3k＋2＝0，由＝1，‎ 解得k＝0或k＝，所以所求直线的方程为y＝2和5x－12y＋9＝0.‎ 三、解答题 ‎15．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，‎ ‎(1)直线平分圆；‎ ‎(2)直线与圆相切．‎ 解　(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.‎ ‎(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，‎ ‎∴d＝＝＝2，m＝±2.‎ 即m＝±2时，直线l与圆相切．‎ ‎16．已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．‎ 解　如图：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x，y)，BC的中点为D(x0，y0)则x0＝，y0＝，①‎ ‎∵|AD|＝m，∴|x0＋a|2＋y＝m2，②‎ 将①代入②并整理，得(x＋3a)2＋y2＝4m2，‎ ‎∵点C不能在x轴上，∴y≠0.‎ 综上，点C的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m为半径的圆，挖去(－3a＋2m,0)和(－3a－2m,0)两点．‎ ‎17．在三棱柱ABOA′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．‎ 解　如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．‎ 由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，‎ 设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得 ‎|EC|＝ ‎＝，‎ 故当z＝1时，|EC|取得最小值为，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．‎ ‎18．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．‎ ‎(1)判断直线l与圆C的位置关系；‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．‎ 解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，‎ 因此直线l过定点D(1,1)，‎ 又＝1<，‎ 所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．‎ ‎(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，‎ 又k＝tan 120°＝－，即m＝－.‎ 此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，‎ 又圆C的半径r＝，‎ 所以|AB|＝2＝2＝.‎