2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（3分）“m=1”是“双曲线 的离心率为2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（　　）‎ A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1‎ ‎4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x ‎5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2 的方向向量，若l1∥l2，则（　　）‎ A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y= D．x=6，y=‎ ‎7．（3分）如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0‎ ‎8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．（6分）若双曲线 （p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=　 　．‎ ‎10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆 的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为　 　．‎ ‎11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=　 　．‎ ‎12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为　 　．‎ ‎13．（6分）设椭圆与双曲线 有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2 等于　 　．‎ ‎14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．‎ ‎（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．‎ ‎16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积．‎ ‎17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．‎ ‎18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．‎ ‎（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1‎ ‎（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；‎ ‎（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（3分）“m=1”是“双曲线 的离心率为2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由双曲线 的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，‎ 则c2=3+m，‎ ‎∵双曲线的离心率e=2，‎ ‎∴e2===4，‎ 即3+m=4m，即3m=3，‎ m=1，‎ 则“m=1”是“双曲线 的离心率为2”的充要条件，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|‎ ‎=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），‎ 则|AB|==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（　　）‎ A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），‎ ‎∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），‎ ‎∴，‎ ‎∴a=，b=1，‎ ‎∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x ‎【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，‎ 则离心率e===2，‎ 解得，a=．‎ 则双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 即为y=x．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，‎ 故c=，b=，a==；‎ 故e===；‎ 故该椭圆的离心率为：；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2 的方向向量，若l1∥l2，则（　　）‎ A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y= D．x=6，y=‎ ‎【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，‎ ‎∴，解得x=6，y=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0‎ ‎【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程，得：‎ ‎9x12+36y12=36×9①，‎ ‎9x22+36y22=36×9②；‎ ‎①﹣②得：‎ ‎9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；‎ 由中点坐标 =4，=2，‎ 代入上式，得 ‎36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴直线斜率为k==﹣，‎ 所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），‎ 即x+2y﹣8=0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设H（x0，y0），则=．可得kMHkNH==∈，即可得出．‎ ‎【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．‎ 设H（x0，y0），则=．‎ ‎∴kMHkNH====∈，‎ 可得：=e2﹣1∈，‎ ‎∴e∈．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．（6分）若双曲线 （p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=　4　．‎ ‎【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．‎ ‎【解答】解：双曲线 （p＞0）的左焦点（﹣，0），‎ 双曲线 （p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，‎ 可得：﹣=，解得p=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆 的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为　　．‎ ‎【分析】‎ 求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．‎ ‎【解答】解：椭圆 的a=，b=2，‎ c==1，右焦点为（1，0），‎ 直线的方程为y=2（x﹣1），‎ 代入椭圆方程，可得 ‎6x2﹣10x=0，‎ 解得x=0或x=，‎ 即有交点为A（0，﹣2），B（，），‎ 则弦长为|AB|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=　　．‎ ‎【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得kl=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得yE．由于PE⊥l于E，可得yP=yE，代入抛物线的方程可解得xP．再利用|PF|=|PE|=xP+1即可得出．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．‎ ‎∵直线EF的倾斜角为150°，∴kl=tan150°=．‎ ‎∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．‎ ‎∴E．‎ ‎∵PE⊥l于E，‎ ‎∴yP=，代入抛物线的方程可得，解得xP=．‎ ‎∴|PF|=|PE|=xP+1=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为　0　．‎ ‎【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，OB=OC，‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=﹣‎ ‎=0，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（6分）设椭圆与双曲线 有公共焦点F1，F2‎ ‎，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2 等于　　．‎ ‎【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出 和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．‎ ‎【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ 解方程组，得取P点坐标为（，），‎ ‎=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）‎ cos∠F1PF2==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，‎ 由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，‎ 在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，‎ 由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，‎ 由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，‎ 即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，‎ ‎∴（1﹣+）|PF1|=4a，‎ 解得|PF1|=．‎ ‎∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，‎ 由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，‎ 则e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．‎ ‎（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．‎ ‎（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 ‎（a＞b＞0），‎ 其半焦距c=6‎ ‎∴，b2=a2﹣c2=9．‎ 所以所求椭圆的标准方程为 ‎（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）‎ 关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．‎ 设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6，‎ ‎，‎ b12=c12﹣a12=36﹣20=16．‎ 所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；‎ ‎（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3‎ 由抛物线定义得，∴p=2‎ 故抛物线的方程为y2=4x；‎ ‎（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；‎ ‎∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，‎ ‎∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8‎ 又O到直线y=x﹣1的距离，‎ ‎∴△ABO的面积．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．‎ ‎　‎ ‎17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；‎ ‎（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，‎ 在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，‎ 可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，‎ 则MN∥平面BCC1B1；‎ ‎（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，‎ 可得四边形BCC1B1为正方形，‎ 即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，‎ 连接A1M，CM，‎ 由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，‎ 可得△AMA1≌△BMC，‎ 可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，‎ B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，‎ MN⊂平面AMN，‎ 则平面AMN⊥平面A1B1C．‎ ‎【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．‎ ‎（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．‎ ‎【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；‎ ‎（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；‎ 方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①‎ 由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②‎ 解得：a2=9，b2=5，‎ ‎∴椭圆E的标准方程为+=1；‎ ‎（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，‎ 设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），‎ ‎，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，‎ ‎∴y2=，由y2＞0，则y2=，‎ 由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，‎ 则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，‎ 由y=0，或y1=，‎ 由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），‎ 则y2=2y1，‎ 则=2×，（m＞0），‎ 解得：m=，‎ 则直线AB的斜率=；‎ 方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），‎ B（x1，y1），C（x2，y2），‎ 由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，‎ 由B，C在椭圆上，‎ ‎∴，‎ 解得：x2=，y2=‎ 则直线直线AB的斜率k==；‎ 直线AB的斜率=‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1‎ ‎（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；‎ ‎（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．‎ ‎【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．‎ ‎【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）‎ ‎∴，，‎ 设面SBC的法向量为 由可取 ‎∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为 ‎|cos|=，‎ ‎∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．‎ 二面角S﹣BC﹣A的余弦值为 ‎（2）由（1）知E（1，0，1），则，，‎ 设，（0≤λ≤1）．则，‎ 易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取 ‎|cos|=，‎ 解得λ=或λ=（舍去）．‎ 此时，∴||=，‎ ‎∴线段CP的长为 ‎【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．‎ ‎　‎