高考数学 17-18版 第10章 第55课 课时分层训练55

高考数学 17-18版 第10章 第55课 课时分层训练55

课时分层训练(五十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2017·镇江期中)从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为________．‎ 　[从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名共有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)三种情况，甲被选中的概率P＝.]‎ ‎2．(2017·无锡期中)某人抛掷质地均匀的骰子，其抛掷两次的数字之和为7的概率是________．‎ 　[抛掷两次骰子共有36种不同的结果，其中数字之和为1的共有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，6种不同的结果，故所求事件的概率P＝＝.]‎ ‎3．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【导学号：62172305】‎ 　[设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a‎1a2b，a1ba2，a‎2a1b，a2ba1，ba‎1a2，ba‎2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．‎ 因此2本数学书相邻的概率P＝＝.]‎ ‎4．(2017·扬州模拟)从1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是________．‎ 　[从5个数中随机抽取2个不同的数，共有10种不同的结果，其中2个数的和为偶数，共有(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)4种不同的结果，故所求事件的概率 P＝＝.]‎ ‎5．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为________．‎ 　[所有可能的试验结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(下，下，下)，(下，下，上)，(下，上，下)，(上，下， 下)共8种．只有一枚正面向上的试验结果只有3种，全部向下的1种，故所求事件的概率P＝1－＝.]‎ ‎6．(2015·全国卷Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．‎ 　[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.]‎ ‎7．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．‎ 　[记“两人都中奖”为事件A，‎ 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝＝.]‎ ‎8．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________. ‎ ‎【导学号：62172306】‎ 　[点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.]‎ ‎9．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．‎ 　[基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.]‎ ‎10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为________. ‎ ‎【导学号：62172307】‎ 　[由题意知，向量m共有4×3＝12个，‎ 由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P＝＝.]‎ 二、解答题 ‎11．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎[解]　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.‎ ‎(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．‎ ‎②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，‎ A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ ‎12．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎[解]　(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为 ‎(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．‎ 所以P(A)＝＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同“为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．‎ 　[对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2‎ ‎＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝＝.]‎ ‎2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．‎ 　[由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．‎ 故所求事件的概率P＝＝.]‎ ‎3．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎(1)求此人被评为优秀的概率；‎ ‎(2)求此人被评为良好及以上的概率．‎ ‎[解]　将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种．‎ 令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则 ‎(1)P(D)＝，即此人被评为优秀的概率为.‎ ‎(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.‎ ‎∴此人被评为良好及以上的概率为.‎ ‎4．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．‎ ‎(1)求连续取两次都是白球的概率；‎ ‎(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？‎ ‎[解]　(1)连续取两次的基本事件有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．‎ 连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个．‎ 故所求概率为＝.‎ ‎(2)连续取三次的基本事件有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．‎ 因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件有：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个．‎ 故所求概率为.‎