2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全集和补集的概念得到，再由交集的概念得到结果.‎ ‎【详解】‎ 集合，,,根据集合的交集的概念得到.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．‎ ‎2．若集合M={x|x≤6}，，则下面结论中正确的是（　　）‎ A．a⊂M B．a⊄M C．a∈M D．a∉M ‎【答案】C ‎【解析】根据集合与元素的关系得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 集合M={x|x≤6}，,a满足集合M的不等式，故得到a∈M.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是集合与元素的关系，是属于的关系，集合间的关系是包含关系.较为基础.‎ ‎3．定义在上的函数满足，则的值为（ ） ‎ A.-1 B. -2 C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题，得：‎ ‎， ‎ ‎【考点】分段函数及函数符号的准确理解.‎ ‎4．下面的函数中是幂函数的是( )‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤‎ ‎【答案】C ‎【解析】这三个函数不是幂函数；是幂函数.故选C ‎5．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1+1的图象一定过点（　　）‎ A．（0，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（0，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得到只需要ax﹣1为定值即可，因此次数为0即可.‎ ‎【详解】‎ 当指数函数的次数为0时，这个指数的值一定为1，故函数y=ax﹣1+1的图象一定过点(1,2)‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是指数函数的性质，指数函数过定点的性质，只需要使得指数函数的次数等于0即可.‎ ‎6．已知在上单调递减，则的取值范围是 （ ）‎ A、 B、 C、 D、以上答案都不对 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为二次函数开口向上，对称轴为，要使得在上单调递减，满足解得，故选择A ‎【考点】二次函数的单调性 ‎7．已知，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合指数函数的对数函数的性质可知：‎ ‎,‎ 据此可得： .‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． ‎ ‎8．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的奇偶性得到AC其中一个是正确的，再代入特殊点x=0得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=2|x|﹣x2,故函数为偶函数，排除选项B，D，再代入特殊点x=0得到函数值为1，故排除C选项，得到A正确.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了已知函数解析式选择函数图像的问题，一般先由函数解析式得到函数的定义域，进行选项的排除，之后可以考虑函数的对称性，值域等进行排除，也可以代入函数的特殊点，考虑函数的极限进行排除，进而得到函数的解析式.‎ ‎9．函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以零点区间上，故选C。‎ ‎【考点】函数零点的判断定理 ‎10．f(x)是定义域在R上的奇函数。若时，则等于（ ）‎ A．8 B．4 C．0 D．-8‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数是奇函数得到,再将2代入函数解析式得到函数值.‎ ‎【详解】‎ 根据函数是奇函数得到，由时可得到 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是函数奇偶性的应用，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系.‎ ‎11．已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件得到不等式化为=，由函数的单调性得到变形为：，解出不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得到函数是定义在R上的奇函数，且为减函数，‎ 故原不等式化为=，‎ 由函数的单调性得到变形为：解得a的范围是：.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ ‎12．若定义运算ab为：ab=如12=1，则函数f（x）=2x2﹣x的值域为（　）‎ A．R B．（0，1] C．（0，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意作出f（x）=2x2﹣x的图象，结合图象能求出函数f（x）=2x2﹣x的值域．‎ ‎【详解】‎ 根据题意知f（x）=2x2﹣x 表示取2x和2﹣x 中较小者，‎ 如图为f（x）=2x2﹣x的图象（实线部分），‎ 由图可知f（x）的值域为（0，1]．‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的性质和应用以及分段函数的性质和应用，解题时作出图象，数形结合，是解决分段函数的问题的重要手段，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则 ____________ .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据对数运算得到m，n，然后求解表达式的值．‎ ‎【详解】‎ ‎2m=5n=10，‎ 可得=lg2，=lg5，‎ ‎=lg2+lg5=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．对数的运算性质如果，那么：（1） ；（2） ；（3） ．‎ ‎14．函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，解得．‎ 故答案为：.‎ 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎15．若，，那么__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】令，解得，当时，，所以．‎ 故答案为：15.‎ ‎16．函数递增区间 ______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用复合函数的单调性求解，先将函数转化为两个基本函数t=x2﹣2x+3，t＞0，y=log0.5t，由同增异减的结论求解．‎ ‎【详解】‎ 令t=x2﹣2x+3，t＞0‎ ‎∴t在（﹣∝，1）上是减函数,且在这个区间上真数大于0.‎ 又∵y=log0.2t在（﹣∝，1）是减函数 根据复合函数的单调性可知：‎ 函数y=log0.2（x2﹣2x+3）的单调递增区间为（﹣∝，1）‎ 故答案为：（﹣∞，1）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，这类题，弹性空间大，可难可易．‎ 三、解答题 ‎17．已知全集U=R，集合 求：（1）；‎ ‎(2) .‎ ‎【答案】(1) ； (2).‎ ‎【解析】（1）绘制数轴，结合题意利用交集的运算计算即可；（2）首先求解补集，然后利用交集的定义进行集合的混合运算即可；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在数轴上画出集合A和B，可知A∩B={x|1＜x≤2}．‎ ‎（2）∁UA={x|x≤0或x＞2}，∁UB={x|﹣3≤x≤1}．‎ 在数轴上画出集合∁UA和∁UB，可知∁UA∩∁UB={x|﹣3≤x≤0}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集、并集、补集等集合的混合运算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎18．已知 ‎（1）求函数的定义域;‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并予以证明。‎ ‎【答案】（1）（-1，1）（2）奇函数 ‎【解析】（1）由题意可得f（x）﹣g（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）=，由 求得函数的定义域；‎ ‎（2）由于f（x）﹣g（x）=，它的定义域为（﹣1，1），令h（x）=f（x）﹣g（x），可得h（﹣x）=﹣h（x），从而得到函数h（x）=f（x）﹣g（x）为奇函数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），故f（x）﹣g（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）=，‎ 由 ，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．‎ ‎（2）由于f（x）﹣g（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）=，它的定义域为（﹣1，1），令h（x）=f（x）﹣g（x），‎ 可得h（﹣x）==﹣=﹣h（x），故函数h（x）=f（x）﹣g（x）为奇函数．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数的定义域与奇偶性问题，紧扣定义是解题的关键，属于中档题.‎ ‎19．（1）化简并求值：‎ ‎ （2）化简并求值：‎ ‎【答案】（1）-18；（2）.‎ ‎【解析】根据对数的元算公式化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式==-5+-=-18.‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了对数的运算，较为简单。化简原则（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．‎ ‎20．已知函数的定义域为集合，集合，.‎ ‎（1）求集合和；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）, （2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数 的定义域 ，结合集合 ，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案． ‎ ‎（2）若 ，则 ，分 和 ，两种情况讨论满足条件的实数的取值，最后综合讨论结果，可得答案．‎ 试题解析：（1）由，得：，∴，‎ ‎ ‎ ‎（2）由已知得：，‎ ‎①若，则，∴，符合题意；‎ ‎②若，则，解得：‎ 综上，实数的取值范围为或.‎ ‎21．已知幂函数的图象经过点.‎ ‎（1）求实数 的值；‎ ‎（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】(1)代入已知点 得到参数值即可；（2）根据定义法，任取自变量，函数值做差和0比即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵的图象经过点，‎ ‎∴，即，解得.‎ ‎（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，‎ ‎∴ ，‎ 即.∴ 在区间（0，+∞）上是减函数.‎ ‎【点睛】‎ 幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准;在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎22．某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t（t∈N）的关系如图所示．‎ ‎（1）请确定销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；‎ ‎（2）该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；‎ ‎（3）求该商品的日销售金额y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？‎ ‎【答案】（1）；（2）； ‎ ‎（3）第25天，日销售金额有最大值1125元.‎ ‎【解析】（1）根据已知中的图象可得函数是一个分段函数，分0≤t＜25和25≤t≤30，t∈N两种情况，利用待定系数法可分别求出两段的解析式，最后综合讨论结果可得答案;（2）根据商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），结合（1）中销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式，根据：日销售金额=销售价格×销售量得到答案;（3）根据（2）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最大值点及最大值，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当0≤t＜25，t∈N，‎ 设P=at+b，将（0，19），（25，44）代入得 ，解之得，‎ ‎∴P=t+19（0≤t＜25，t∈N），‎ 当25≤t≤30，t∈N，‎ 同理可得P=﹣t+100，‎ 综上所述：销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式为 .‎ ‎（2）由题意得，y=P•Q，由（1）得 ,‎ 即：.‎ ‎（3）由,‎ 当0≤t＜25，t∈N，由二次函数的图象和性质知 t=10，或t=11时，y取最大值870元 当25≤t≤30，t∈N，由二次函数的图象和性质知 t=25时，y取最大值1125元 综上所述，在第25天，日销售金额有最大值1125元 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据已知中函数的图象利用待定系数法，求出函数的解析式是解答的关键．‎