重庆市区县2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

重庆市区县2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

‎2019年春高二（下）期末测试卷 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.己知复数z满足，则 A. B. C. 5 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算复数再计算.‎ ‎【详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.‎ ‎2.若集合，则（ ）‎ A. （－3，0） B. （－3，1） C. （0，1） D. （0，3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合中元素，然后根据交集运算计算．‎ ‎【详解】由题意，∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．‎ ‎3.命题“”的否定为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的否定的定义写出结论，注意存在量词与全称量词的互换．‎ ‎【详解】命题“”的否定为“”．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，解题时一定注意存在量词与全称量词的互换．‎ ‎4.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. （－∞，2） B. （0，2） C. （0，+∞） D. （2，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，由确定减区间．‎ ‎【详解】由已知，‎ 定义域为，由得．‎ ‎∴的减区间为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的单调性，属于基础题．‎ ‎5.己知变量x，y的取值如下表：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，据此预测：当时，y的值约为 A. 5.95 B. 6.65 C. 7.35 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算数据的中心点，代入回归方程得到，再代入计算对应值.‎ ‎【详解】 ‎ 数据中心点为代入回归方程 当时，y的值为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.己知命题P：单位向量的方向均相同，命题q：实数a的平方为负数。则下列说法正确的是 A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是假命题 D. 是假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题P，命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.‎ ‎【详解】命题P：单位向量的方向可以是任意的，假命题 命题q：实数a的平方为非负数，假命题 为假命题，A错误 为假命题，B错误 是真命题，C错误 是假命题，D正确 故答案选D ‎【点睛】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）‎ A. －58 B. －59 C. －179 D. －180‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运行，观察变量的变化情况．‎ ‎【详解】程序运行时，变量值变化：‎ ‎，满足条件；‎ ‎，，满足条件；‎ ‎，，满足条件；‎ ‎，，满足条件；‎ ‎，，不满足条件；‎ 退出循环，输出．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时只要模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件．‎ ‎8.在一次随机试验中，已知A， B， C三个事件发生的概率分别为0.2， 0.3， 0.5，则下列说法一定正确的是（ ）‎ A. B与C是互斥事件 B. A＋B与C是对立事件 C. A＋B＋C是必然事件 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三个事件之间没有任何关系．根据事件和的概率性质可判断D正确．‎ ‎【详解】A,B， C三个事件发生的概率分别为0.2， 0.3， 0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A、B、C均错，而，，D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查事件之间的关系，要注意事件的关系与它们的概率之间没有必然的联系，掌握互斥事件与对立事件的定义是解题基础．‎ ‎9.规定，设函数，若存在实数x0，对任意实数x都满足，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义求出函数，然后确定函数的单调性，求得最小值点．‎ ‎【详解】据题意时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，所以．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为我们熟悉的函数的最值．‎ ‎10.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在上单调递增，等价与导函数在大于等于0恒成立，即.‎ ‎【详解】函数在上单调递增 故答案选B ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，转化为导数大于等于0是解题的关键，忽略掉等号是容易犯的错误.‎ ‎11.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+ f(x+1)=0，且在[－1， 0]上单调递减，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知确定函数是周期函数且确定出周期，然后结合偶函数性质化函数值为变量在已知区间上的函数值，再比较大小．‎ ‎【详解】由题意知:,结合图像知，在[0, 1]上单增，[1, 2]上单减, :‎ 又 而.所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数的周期性与单调性、奇偶性，解题时注意已知条件与周期的关系：函数满足戒，则是周期函数，且是它的一个周期．‎ ‎12.己知，c，d为实数，若函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. （0，） B. （0，+∞） C. （，+∞） D. （6，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，题意说明在上恒成立，由此可得的一个不等关系，，这样，再化为的代数式，结合二次函数和反比例函数性质可得取值范围.‎ ‎【详解】,‎ 所以 因为,所以分母可以趋于，故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系，考查不等式的性质.解题中注意对齐次公式的处理方法.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.复数（i为虚数单位）的共扼复数是________________‎ ‎【答案】i ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算复数 ，再计算其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了共轭复数，属于基础题型.‎ ‎14.数据3，4，3，2，1，5的标准差为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求均值，再求方差，从而得标准差.‎ ‎【详解】由题意均值为，‎ 方差为，‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查标准差的概念，可先计算均值，再计算方差，然后得标准差，属于基础题.‎ ‎15.己知函数，其是的导函数，则＝ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，令后可解得，然后代入计算出 ‎【详解】‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题型.‎ ‎16.数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n的有n个，则该数列第2019项是 。‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，然后计算原第2019项在这个数列的第几项，再根据题意可得.‎ ‎【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，‎ 因为，‎ 则2019项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项 故2019项为第64组第3个数字，由奇偶交替规则，其为64.‎ 故答案为64.‎ ‎【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成,本题考查了转化思想.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.己知函数有唯一零点。‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)当时，求函数值域。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类时为一次函数，只有一个零点，时，为二次函数，；‎ ‎（2）按（1）的结果分类求值域.‎ ‎【详解】(1)当时:， 符合题意:当时:；‎ ‎(2)当时:单调递增， 值域为;‎ 当时:, 值域为.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是对最高次项系数按是否为0分类讨论.‎ ‎18.己知函数 ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）求在区间[1，4]上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导取导数大于零解不等式得到答案.‎ ‎（2）根据（1）得到在[1,2)上单减，(2,4]上单增，得到函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以的单调递增区间为:‎ ‎(2)由(1)知:在[1,2)上单减，(2,4]上单增，又 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和最值，忽略边界值的大小比较是容易犯的错误.‎ ‎19.近年来，某市为响应国家号召，大力推行全民健身运动，加强对市内各公共体育运动设施的维护，几年来，经统计，运动设施的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y对x呈线性相关关系。‎ ‎（1）求出y关于x的回归直线方程少 ‎（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过100万元？‎ 参考公式：对于一组数据（x1，yl），（x2，y2），…，（xn，Yn），其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】（1）；（2）10年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给公式计算回归方程的系数；‎ ‎（2）解不等式可得.‎ ‎【详解】(1)，所以，，‎ ‎，所以回归直线方程为.‎ ‎(2)，所以预测至少为10年.‎ 点睛】本题考查线性回归直线方程，属于基础题.‎ ‎20.为了解本届高二学生对文理科的选择与性别是否有关，现随机从高二的全体学生中抽取了若干名学生，据统计，男生35人，理科生40人，理科男生30人，文科女生15人。‎ ‎(1)完成如下2×2列联表，判断是否有99.9%的把握认为本届高二学生“对文理科的选择与性别有关”？‎ 男生 女生 合计 文科 理科 合计 ‎(2)已采用分层抽样的方式从样本的所有女生中抽取了5人，现从这5人中随机抽取2人参加座谈会，求抽到的2人恰好一文一理的概率。‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式，其中为样本容量）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把数据填入列联表，计算可得结论；‎ ‎（2）抽取的5人中，文科女3人，理科女2人，　5人编号后用列举法列出任取2人的所有基本事件，并计算出抽到的2人恰好一文一理的事件数，然后由古典概型概率公式计算概率.‎ ‎【详解】(1)列联表如下表:‎ 男生 女生 合计 文科 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 理科 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 合计 ‎35‎ ‎25‎ ‎60‎ ‎.所以有99.9%的把握认为二者有关；‎ ‎ (2)由题意知:抽取的5人中，文科女3人，理科女2人，分别设为 随机抽取2人，则共有: 10种情况 其中，有6种情况符合题意，所以. .‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，考查古典概型，考查学生的运算求解能力，属于基础题。‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）存在两个零点的极值点为t，是否存在a使得？若存在，求出所有满足条件的a的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）(0,)上单减，(, +∞)上单增；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，由得增区间，由得减区间；‎ ‎（2）由于存在两个零点，且有一个极值点，因此时，从而可得，接着由极值点与的大小分类讨论.‎ ‎【详解】(1)，所以在(0,)上单减，(, +∞)上单增；‎ ‎(2)由题意知:时，且，，‎ ‎①当时，,所以所以,该方程无解、‎ ‎②当时，在(0, 1)上单减，上单增，只有唯一-零点,故不成立 ‎③当时:,则有 令，所以单增，又，‎ 所以，不符合题意 综上所述，不存在满足条件的.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，研究函数的零点．难点在于分类讨论，在研究函数存在两个零点问题时，要根据极值点与已知零点1的大小关系分类讨论，从而确定较大的零点是哪一个，是否满足.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系，己知直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求的面积。‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.‎ ‎（2），联立方程得到代入式子得到答案.‎ ‎【详解】直线l的参数方程为 ‎（2） ‎ 设直线l与轴的交点为 ，则 ‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，将面积分为可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎23.己知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意成立，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数去掉绝对值符号，化简为分段函数，分别解不等式得到答案.‎ ‎（2）分别画出的图像，得到且，解得答案.‎ ‎【详解】解:(1)‎ 当时，,即 当时，,即;‎ 当时，，即;‎ 综上，;‎ ‎(2)与的图像如下:‎ 由图知，要使恒成立，‎ 只需且，‎ 即且 即且 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式，恒成立问题，利用函数图像解题可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生对于绝对值不等式和绝对值函数的灵活运用.‎ ‎ ‎ ‎ ‎