【数学】2018届一轮复习人教A版第一章第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第一章第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第3讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P7])‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件 ‎(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．‎ ‎(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．‎ ‎2．充要条件常用的三种判断方法 ‎(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．‎ ‎(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎1. 命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m≤0‎ ‎　B　[解析] 根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，故选B.‎ ‎2. “x>4”是“x2－2x－3>0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　B　[解析] 因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，‎ 所以x>4⇒x2－2x－3>0.‎ 但x2－2x－3>0x>4，‎ 所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．‎ ‎3. 命题p的逆命题为“奇函数的图象关于原点对称”，则p为(　　)‎ A．奇函数的图象不关于原点对称 B．若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称 C．若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数 D．若一个函数的图象不关于原点对称，则它不是奇函数 ‎　C　[解析] 命题p为：若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数，故选C.‎ ‎4. 命题：“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是____________．‎ ‎[答案] “若一个三角形的两条边相等，则这两条边所对的角也相等”‎ ‎5. 命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝，则p是q的________条件．‎ ‎[解析] 当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝不成立，即pq.‎ 当x＝时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，‎ 所以p是q的必要不充分条件．‎ ‎[答案] 必要不充分 ‎　四种命题的相互关系及真假判断[学生用书P8]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)原命题为“若1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；‎ ‎②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；‎ ‎③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；‎ ‎④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎【解析】　(1)若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③‎ 不正确；对于④，由题意得＝＝，若B＝60°，则sin A＝，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)①④‎ 充要条件问题的常见类型及解题策略 ‎(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．‎ ‎(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．　 ‎ ‎(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　判断指定条件与结论之间的关系 ‎1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　C　[解析] 由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．‎ ‎ 角度二　探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件 ‎2．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A．a≥1　　　　　　　　　 B．a>1‎ C．a≥4 D．a>4‎ ‎　D　[解析] 命题可化为∀x∈[1，2)，a≥x2恒成立．因为x∈[1，2)，所以x2∈[1，4)．‎ 所以命题为真命题的充要条件为a≥4.所以命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.‎ ‎ 角度三　与命题的真假性相交汇命题 ‎3．下列命题中真命题的个数是(　　)‎ ‎①x＝2是x2－4x＋4＝0的充要条件；‎ ‎②α＝β是sin α＝sin β的充分条件；‎ ‎③a>b既不是a2>b2的充分条件也不是必要条件．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎　D　[解析] ①真，②真，③真．故选D.‎ ‎　充分条件、必要条件的应用[学生用书P9]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ ‎【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ 所以P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则所以0≤m≤3.‎ 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，‎ 即所求m的取值范围是[0，3]．‎ 若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎[解] 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ 所以所以 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ 根据充要条件求解参数范围的方法 ‎(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．　 ‎ ‎(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎　(2017·常德一中月考)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．‎ ‎[解析] 由x2－x－6>0，‎ 解得x<－2或x>3.‎ 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，‎ 所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，‎ 即a≥3，‎ 故a的最小值为3.‎ ‎[答案] 3‎ ‎,　　　　　　　　[学生用书P10])‎ ‎——等价转化思想在充要条件中的应用 ‎　已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，1]‎ C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]‎ ‎【解析】　由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，‎ 可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．‎ 所以{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.‎ ‎【答案】　A ‎　本题将“¬q的一个充分不必要条件是¬p”转化为“q是p的充分不必要条件”；将p与q之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．‎ ‎　1.给定两个命题p、q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　[解析] 由q⇒¬p且¬pq可得p⇒¬q且¬qp，所以p是¬q的充分而不必要条件．‎ ‎2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　[解析] (等价法)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，‎ 所以¬p：x＋y＝－2，¬q：x＝－1，且y＝－1，‎ 因为¬q⇒¬p但¬p¬q，所以¬q是¬p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P237(独立成册)])‎ ‎1．下列命题中的真命题为(　　)‎ A．若＝，则x＝y　　　　‎ B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝ ‎ D．若xb，则a－1>b－1”的否命题是(　　)‎ A．若a>b，则a－1≤b－1‎ B．若a>b，则a－1b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．‎ ‎3．(2017·陕西五校模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)‎ A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 ‎　B　[解析] 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．‎ ‎4．(2017·合肥模拟)“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　C　[解析] 由x2＋2x－8>0，可解得x<－4或x>2，所以“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的充分不必要条件，故选C.‎ ‎5．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)‎ A．a＋b<0 B．a－b>0‎ C．>1 D．<－1‎ ‎　A　[解析] 若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A.‎ ‎6．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 ‎　C　[解析] 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x ‎＝－4或1，故选C.‎ ‎7．下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题 ‎　B　[解析] 对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．‎ ‎8．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　B　[解析] 当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　[解析] 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．‎ ‎10．(2017·太原模拟)已知命题p：cos α≠，命题q：α≠，则命题p是命题q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　A　[解析] 法一：若cos α≠，则α≠2kπ±(k∈Z)，则α也必然不等于，故p⇒q；若α≠，但α＝－时，依然有cos α＝，故q p.‎ 所以p是q的充分不必要条件．‎ 法二：¬p：cos α＝，¬q：α＝，则有¬p ¬q，¬q⇒¬p，即¬q是¬p的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p是q的充分不必要条件．‎ ‎11．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是(　　)‎ A．p：x＝1，q：x2＝x B．p：|a|>|b|，q：a2>b2‎ C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d ‎　D　[解析] A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D 中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.‎ ‎12．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞)　　　　　　　 B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ ‎　B　[解析] 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.‎ ‎13．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．‎ ‎[解析] 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．‎ ‎[答案] 1‎ ‎14．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①若A是B的必要不充分条件，则¬B也是¬A的必要不充分条件；‎ ‎②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；‎ ‎③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．‎ ‎[解析] 易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误．‎ ‎[答案] ①②‎ ‎15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[解析] 由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.‎ ‎[答案] [－3，0]‎ ‎16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．‎ ‎[解析] α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，‎ 因为β：|x－1|<1，所以03，即m>2.‎ ‎[答案] m＞2‎ ‎18．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且¬p是¬q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎[解] 因为¬p是¬q的必要而不充分条件，‎ 所以p是q的充分而不必要条件，‎ 由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，‎ 得1－m≤x≤1＋m，‎ 设q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，‎ p：P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ，‎ 所以或 即m≥9或m>9.所以m≥9.‎ ‎19．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．‎ ‎[解] 因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，‎ 所以m≠0.‎ 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，‎ 所以 解得m∈.‎ 因为两方程的根都是整数，‎ 故其根的和与积也为整数，‎ 所以 所以m为4的约数．‎ 又因为m∈，‎ 所以m＝－1或1.‎ 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；‎ 而当m＝1时，两方程的根均为整数，‎ 所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.‎