2020届二轮复习(文)第1部分主题3不等式、推理与证明学案

2020届二轮复习(文)第1部分主题3不等式、推理与证明学案

1．不等式的性质及解法 求解不等式问题的 2 个易错点 (1)解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解 或错解，要注意分 a＞0，a＜0 进行讨论． (2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是 参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分 离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等． 1．已知 a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A．a＋1 b ＞b＋1 a B．a＋1 a ＞b＋1 b C.b a ＞b＋1 a＋1 D.a＋b 2 ＞ab A [因为 a＞b＞0，所以1 a ＜1 b ，根据不等式的性质可得 a＋1 b ＞b＋1 a ，故 A 正确；对于选项 B，取 a＝1，b＝1 2 ，则 a＋1 a ＝1＋1 1 ＝2，b＋1 b ＝1 2 ＋2＝5 2 ，故 a ＋1 a ＞b＋1 b 不成立；根据不等式的性质可得b a ＜b＋1 a＋1 ，故 C 错误；取 a＝2，b＝1， 可知 D 错误．] 2．若关于 x 的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0 对一切实数 x 恒成立，则实 数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．(－∞，－2) C．(－2,2) D．(－2,2] D [不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0 恒成立的条件：当 a＝2 时，－4＜0 恒成立；当 a≠2 时， a＜2， 4a－22－4a－2×－4＜0， 解得－2＜a＜2.故－2＜ a≤2，选 D.] 3．若关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0 的解集中只有一个整数，且该整数为 1， 则 a 的取值范围为( ) A. 2，5 2 B. 2，5 2 C. 2，5 2 D. 2，5 2 A [令 f(x)＝x2－ax＋1，由题意可得 f1≤0， f2＞0， 解得 2≤a＜5 2.] 4．若关于 x 的不等式 ax＞b 的解集为 －∞，1 5 ，则关于 x 的不等式 ax2＋bx －4 5a＞0 的解集为________． x|－1＜x＜4 5 [由 ax＞b 的解集为 －∞，1 5 ，可知 a＜0，且b a ＝1 5.将不等 式 ax2＋bx－4 5a＞0 两边同时除以 a，得 x2＋b ax－4 5 ＜0，所以 x2＋1 5x－4 5 ＜0，即 5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜4 5 ，故不等式 ax2＋bx－4 5a＞0 的解集为 x|－1＜x＜4 5 .] 5．若不等式 x2＋ax＋4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立，则 a 的取值范围是 ________． [－5，＋∞) [由题意得，a≥－ x＋4 x ，设 f(x)＝－ x＋4 x ，x∈(0,1]，则只 要 a≥f(x)max，由于函数 f(x)在(0,1]上单调递增，所以 f(x)max＝f(1)＝－5，故 a≥ －5.] 2．简单的线性规划问题 解决线性规划问题的 2 个易错点 (1)忽视目标函数中 y 的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最 值．如 T1，T4. (2)求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情 况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求 最优解，从而确定参数的值．如 T2. 1．已知 x，y 满足 2x－y≤0， x－3y＋5≥0， x≥0， y≥0， 则 z＝8－ x· 1 2 y 的最小值为( ) A．1 B. 3 2 4 C. 1 16 D. 1 32 D [可行域如图中阴影部分所示，而 z＝8－x· 1 2 y＝2－3x－y， 欲使 z 最小，只需使－3x－y 最小即可．由图知当 x＝1，y＝2 时，－3x－y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时 2－3x－y 最小， 最小值为 1 32.故选 D.] 2．实数 x，y 满足 x≥2， x－2y＋4≥0， 2x－y－4≤0， 若 z＝kx－y 的最大值为 13，则实数 k ＝( ) A.13 2 或 8 B.13 2 或17 4 C.17 4 D．8 C [由不等式组可得可行域为由点 A(2,0)，B(2,3)，C(4,4)构成的三角形内部 及其边界，如图所示．若 k≥2，可得当 x＝4，y＝4 时，z 有最大值，得 4k－4 ＝13，解得 k＝17 4 ；若 0＜k＜2，可得当 x＝2，y＝0 时，z 有最大值，得 2k＝13， 不合题意；若 k≤0，可得当 x＝2，y＝0 时，z 有最大值，得 2k＝13，不合题意．故 k＝17 4 ，选 C.] 3．某中学生在制作纸模过程中需要 A，B 两种规格的小卡纸，现有甲、乙 两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得 A，B 两种规格的小卡纸的 块数如下表，现需 A，B 两种规格的小卡纸分别为 4 块、7 块，所需甲、乙两种 大小不同的卡纸的张数分别为 m，n(m，n 为整数)，则 m＋n 的最小值为( ) A 规格 B 规格 甲种卡纸 2 1 乙种卡纸 1 3 A.2 B．3 C．4 D．5 B [由题意知 2m＋n≥4， m＋3n≥7， m≥0，n≥0，m，n∈N， 又不等式组 2m＋n≥4， m＋3n≥7， m≥0，n≥0 表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数 z＝m＋n 在点(1,2)处取得最 小值 3，故选 B. ] 4．(2019·全国卷Ⅱ)若变量 x，y 满足约束条件 2x＋3y－6≥0， x＋y－3≤0， y－2≤0， 则 z＝3x －y 的最大值是________． 9 [作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部 分)，由图易知，当直线 y＝3x－z 过点 C 时，－z 最小， 即 z 最大． 由 x＋y－3＝0， 2x＋3y－6＝0， 解得 x＝3， y＝0， 即 C 点坐标为(3,0)， 故 zmax＝3×3－0＝9.] 5．若实数 x，y 满足 x＋2y－4≤0， x≥0， y≥0， 则 z＝y＋2 x－1 的取值范围为________． (－∞，－2]∪ 2 3 ，＋∞ [点(x，y)表示的是以点 O(0,0)，A(4,0)，B(0,2)为 顶点的三角形的内部及其边界，如图所示．目标函数 z＝y＋2 x－1 是区域内的点(x，y) 与点 Q(1，－2)连线的斜率．易知 kQA＝－2－0 1－4 ＝2 3 ，kQO＝－2 1 ＝－2，kQB＝－2－2 1 ＝－4，分析可知，z＝y＋2 x－1 的取值范围为(－∞，－2]∪ 2 3 ，＋∞ .] 3．基本不等式 应用基本不等式的 2 个易错点 (1)运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相 等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或 积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致， 否则最值取不到．如 T1. 1．已知正数 a，b 的等比中项是 2，且 m＝b＋1 a ，n＝a＋1 b ，则 m＋n 的最小 值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 C [由正数 a，b 的等比中项是 2，可得 ab＝4，又 m＝b＋1 a ，n＝a＋1 b ，所 以 m＋n＝a＋b＋1 a ＋1 b ≥2 ab＋ 2 ab ＝5，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故 m＋ n 的最小值为 5.] 2．已知 P(a，b)为圆 x2＋y2＝4 上任意一点，则当 1 a2 ＋ 4 b2 取最小值时，a2 的 值为( ) A.4 5 B．2 C.4 3 D．3 C [∵P(a，b)为圆 x2＋y2＝4 上任意一点，∴a2＋b2＝4.又 a≠0，b≠0，∴ 1 a2 ＋ 4 b2 ＝1 4 1 a2 ＋ 4 b2 (a2＋b2)＝1 4 5＋b2 a2 ＋4a2 b2 ≥1 4 5＋2 b2 a2·4a2 b2 ＝9 4 ，当且仅当 b2＝2a2 ＝8 3 时取等号，故 a2＝4 3 ，选 C.] 3．已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C.9 2 D.11 2 B [由题意得 x＋2y＝8－x·2y≥8－ x＋2y 2 2，当且仅当 x＝2y 时，等号成立， 整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又 x＋2y＞0， 所以 x＋2y≥4，故选 B.] 4．设 x＞0，则函数 y＝x＋ 2 2x＋1 －3 2 的最小值为________． 0 [y＝x＋ 2 2x＋1 －3 2 ＝ x＋1 2 ＋ 1 x＋1 2 －2≥2－2＝0.当且仅当 x＋1 2 ＝ 1 x＋1 2 ，即 x＝1 2 时等号成立．] 5．(2019·天津高考)设 x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则x＋12y＋1 xy 的最小值为 ________． 9 2 [x＋12y＋1 xy ＝2xy＋x＋2y＋1 xy ＝2xy＋5 xy ＝2＋ 5 xy. ∵x＞0，y＞0 且 x＋2y＝4， ∴4≥2 2xy(当且仅当 x＝2，y＝1 时取等号)， ∴2xy≤4，∴ 1 xy ≥1 2 ， ∴2＋ 5 xy ≥2＋5 2 ＝9 2.] 4．推理与证明 1．破解归纳推理题的思维 3 步骤 (1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性； (2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题； (3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验． 2．破解类比推理题的 3 个关键 (1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确 的猜想； (3)会检验，即检验猜想的正确性． 3．逻辑推理常考题型——假言判断 此类问题一般涉及的是人与物及某事件，其判断方法为：假设一种情况成立 或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合． 1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进 行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由 高到低的次序为( ) A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 A [由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、 丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则 甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由 高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从 而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综 上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选 A.] 2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得 诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿 墙术”：2 2 3 ＝ 22 3 ，3 3 8 ＝ 33 8 ，4 4 15 ＝ 4 4 15 ，5 5 24 ＝ 5 5 24 ，按照 以上规律，若 8 8 n ＝ 88 n 具有“穿墙术”，则 n＝( ) A．7 B．35 C．48 D．63 D [由 2 2 3 ＝ 22 3 ，3 3 8 ＝ 33 8 ，4 4 15 ＝ 4 4 15 ，5 5 24 ＝ 5 5 24 ， 归纳猜想出一般规律为 n n n2－1 ＝ n＋ n n2－1(n∈N*，n≥2)．下面证明： n＋ n n2－1 ＝ nn2－1＋n n2－1 ＝ n3 n2－1 ＝n n n2－1 ，故猜想正确．所以 n＝82 －1＝63，故选 D.] 3．[新题型：多选题]2019 年全国两会之后，某地区为改善民生，调研了甲、 乙、丙、丁、戊 5 个民生项目，得到如下信息：①若该地区引进甲项目，就必须 引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要 引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个；④丙、丁两 个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两 个项目也必须引进．则该地区应引进的项目为( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 CD [由②知丁、戊两个项目至少要引进一个，若引进戊项目，则由⑤可知 甲、丁两个项目也必须引进；由①④可知必须引进乙、丙两个项目，与③矛盾； 因此必须引进丁项目．由④可知必须引进丙项目；由③可知不能引进乙项目；由 ①可知不能引进甲项目，故该地区只能引进丙、丁两个项目．故选 CD.] 4．在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 r＝2S C . 在空间中，三棱锥的体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥 的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R＝________. 3V S [若三棱锥表面积为 S，体积为 V，则其内切球半径 R＝3V S .理由如下： 设三棱锥的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，由于内切球的球心到各面 的距离等于内切球的半径，所以 V＝1 3S1R＋1 3S2R＋1 3S3R＋1 3S4R＝1 3SR， 所以内切球的半径 R＝3V S .] 5．如图，一个质点在坐标系内运动，在第一秒钟它由原点 运动到点(0,1)，而后按图所示在与 x 轴、y 轴平行的方向运动， 且每秒移动一个单位长度，那么经过 2 000 秒，这个质点所处的位置的坐标是 _______． (24,44) [质点运动 3 秒时建构出第一个正方形，8 秒时建构出第二个正方 形，15 秒时建构出第三个正方形，24 秒时建构出第四个正方形，所以，建构出 第 n 个正方形需要的时间为(n2＋2n)秒，所以，当第四十三个正方形完成时需要 1 935 秒，结合走向可得质点在 2 000 秒时的坐标为(24,44)．]