2017-2018学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

‎ 2017-2018学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期中考试 ‎ 数学试卷（理科）‎ 时量：120分钟 总分150分 命题人：‎ 班级：__________ 姓名__________ 考号：____________‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1、已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2、若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　)‎ A．0 B．e C．2e D．e2‎ ‎3、抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、若命题，方程有解；命题使直线与直线平行，则下列命题为真的有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0‎ ‎6、已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于(　　)‎ A．9 B．－9 C．－3 D．3‎ ‎7、如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)‎ A ＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎8、已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)‎ A．e B．－e C. D．－ ‎9、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B. C. D. －1‎ ‎10、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)‎ A．斜交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内 ‎11、设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)‎ A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎12、已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13、已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．‎ ‎14、以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是________‎ ‎15、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.‎ 其中正确的是________．‎ ‎16、设集合A＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}．若(A∪B)∩C≠，则实数λ的取值范围是________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17、已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18、已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ ‎19、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．‎ ‎(1)证明：B1C1⊥CE；‎ ‎(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；‎ ‎20、已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ ‎21、如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．‎ ‎22、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2017年下学期醴陵一中高二年级期中考试 数学试卷（理科）‎ 时量：120分钟 总分150分 命题人：‎ 班级：__________ 姓名__________ 考号：____________‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1、已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2、若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　)‎ A．0 B．e C．2e D．e2‎ 答案　C ‎3、抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B．C． D．‎ ‎【答案】C ‎4、若命题，方程有解；命题使直线与直线平行，则下列命题为真的有（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎5、命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0‎ ‎【答案】D ‎6、已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于(　　)‎ A．9 B．－9 C．－3 D．3‎ 答案　B ‎7、如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　B ‎8、已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)‎ A．e B．－e C. D．－ 答案　C ‎9、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B. C. D.－1‎ 答案　D ‎10、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)‎ A．斜交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内 答案　B ‎11、设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)‎ A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 答案　B ‎12、已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13、已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(0,1]‎ ‎14、以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是________‎ 答案 ‎15、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．‎ 答案　①②③‎ ‎16、设集合A＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}．若(A∪B)∩C≠，则实数λ的取值范围是________．‎ 答案　[，4]‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17、已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解　y＝x2－x＋1‎ ‎＝(x－)2＋，‎ ‎∵x∈[，2]，∴≤y≤2.‎ ‎∴A＝{y|≤y≤2}．‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，‎ ‎∴B＝{x|x≥1－m2}．‎ ‎∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ ‎∴A⊆B，∴1－m2≤，‎ 解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．‎ ‎18、已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q.‎ 由已知，有－＝，‎ 解得q＝2或q＝－1.‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，‎ 所以a1·＝63，得a1＝1.‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)‎ ‎＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎＝＝2n2.‎ ‎19、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．‎ ‎(1)证明：B1C1⊥CE；‎ ‎(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；‎ ‎ (1)证明　如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．‎ 易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.‎ ‎(2)解　＝(1，－2，－1)．‎ 设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，‎ 则即 消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．‎ 由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，CC1∩CE＝C，可得B1C1⊥平面CEC1，‎ 故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．‎ 于是cos〈m，〉＝ ‎＝＝－，从而sin〈m，〉＝，‎ 所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.‎ ‎20、已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ 解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则a2＝4－1＝3，c2＝4，‎ 再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.‎ 故C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，‎ 解得0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，‎ ‎①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)解　由题意知F(，0)．‎ 设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为(，0)．‎ 因为|FA|＝|FD|，‎ 由抛物线的定义知3＋＝，‎ 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．‎ 由＝3，解得p＝2.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)①证明　由 (1)知F(1,0)．‎ 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)．‎ 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，‎ 由xD>0，得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)，‎ 故直线AB的斜率kAB＝－.‎ 因为直线l1和直线AB平行，‎ 设直线l1的方程为y＝－x＋b，‎ 代入抛物线方程得y2＋y－＝0，‎ 由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.‎ 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.‎ 当y≠4时，kAE＝＝＝，‎ 可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)．‎ 由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，‎ 直线AE恒过点F(1,0)．‎ 当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，‎ 所以直线AE过定点F(1,0)．‎ ‎②解　由①知直线AE过焦点F(1,0)，‎ 所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1.‎ 因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.‎ 设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，‎ 由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，‎ 代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，‎ 所以y0＋y1＝－，‎ 可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.‎ 所以点B到直线AE的距离为 d＝ ‎＝＝4.‎ 则△ABE的面积 S＝×4≥16，‎ 当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．‎ 所以△ABE的面积的最小值为16.‎