湖南省长沙麓山国际学校2019-2020学年高二寒假网上检测试卷（二）数学试题

湖南省长沙麓山国际学校2019-2020学年高二寒假网上检测试卷（二）数学试题

麓山国际学校2019-2020学年高二寒假网上检测试卷（二）‎ 数 学 ‎ 总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（共12小题，每小题5分；共60分）‎ ‎1. 从 个同类产品（其中 个是正品， 个是次品）中任意抽取 个，下列选项是必然事件的是 ‎ ‎ A. 个都是正品 B. 至少有 个是次品 ‎ C. 个都是次品 D. 至少有 个是正品 ‎ ‎ ‎2. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 组：，，，，， 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 分的学生人数为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 函数 的定义域为 ，其导函数 在 内的图象如图，则函数 在开区间 内有极小值点 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎ ‎ ‎4. 设复数 ，，则复数 的虚部是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎5. 给出下列函数：① ，② ，③ ，④ ，其中值域不是 的函数个数为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6. 已知点P，Q为圆C：x2+y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 椭圆 上一点 到其一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知：，，，点 在 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 下列四个结论中正确的个数是 ‎ ‎ ①若 ，则 ；‎ ‎ ②已知变量 和 满足关系 ，若变量 与 正相关，则 与 负相关．‎ ‎ ③“已知直线 ， 和平面 ，，若 ，，，则 ”为真命题；‎ ‎ ④ 是直线 与直线 互相垂直的充要条件．‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知“若点 在双曲线 上，则 在点 处的切线方程为 ”，现已知双曲线 和点 ，过点 作双曲线 的两条切线，切点分别为 ，，则直线 过定点 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）＝1，且‎2f'（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式的解集为（　　）‎ A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，） ‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分；共20分）‎ ‎ ‎ 13. 已知P，Q为抛物线f（x）＝上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为　 　．‎ ‎14. 已知复数 （， 为虚数单位），若 ，则实数 的值为  ．‎ ‎ ‎ ‎15. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数．若 ．则实数 的取值范围是  ．‎ ‎ ‎ ‎16. 已知斜率为 的直线 与抛物线 交于位于 轴上方的不同两点 ， ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的取值范围是  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题12分；共70分）‎ ‎ ‎ ‎17. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示开业第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：‎ 经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系．‎ ‎ 参考公式：，，，．‎ ‎（1）若从这 天随机抽取两天，求至少有 天参加抽奖人数超过 的概率；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ，并估计若该活动持续 天，共有多少名顾客参加抽奖．‎ ‎18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，AA‎1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA‎1C1C，AB＝3，BC＝5．‎ ‎（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．‎ 19. 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|＝|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．‎ ‎20. 设函数f（x）＝x2﹣2x+1+alnx（a∈R）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，证明：f（x2）＞．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 ．‎ ‎（1）求椭圆 的方程；‎ ‎（2）设 为原点，直线 ： 与椭圆 交于两个不同点 ，，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点．‎ ‎22. 已知函数 ，，．‎ ‎（1）当 时，求函数 单调区间；‎ ‎（2）若曲线 点 处的切线 与曲线 切于点 ，求 ，， 的值；‎ ‎（3）若 恒成立，求 的最大值．‎ ‎2020年高二（上）寒假数学测试卷2参考答案 第一部分 ‎1. D 【解析】D 解析：因为有正品，个次品，所以任意抽取个，有中情况：个都是正品；个正品，个次品；个正品，个次品．只有D包含了这种情况．‎ ‎2. B ‎ ‎3. A 【解析】设 的图象与工轴的交点（除原点外）依次为 、 、 ，则当 时，，函数 是增函数；当 时，，函数 是减函数；当 时，，函数 是增函数；当 时，，函数 是减函数．所以当 时，取得极小值，再无其他极小值点．‎ ‎4. A ‎ ‎5. C ‎ ‎6解：当|PQ|＝6时，圆心到线段PQ的距离d＝，‎ 此时M位于半径是4的圆上，‎ ‎∴若|PQ|＜6，‎ 则PQ中点组成的区域为M为半径为4的圆与半径为5的圆组成的圆环，即16＜x2+y2＜25，‎ PQ中点组成的区域为M如图所示，‎ 那么在C内部任取一点落在M内的概率为，‎ 故选：B．‎ ‎7. C 【解析】因为函数 ，‎ 所以函数 恒成立，‎ 故函数 为增函数，‎ 又由 ，‎ 故函数 为奇函数，‎ 若 ，‎ 则 ，‎ 解得： .‎ ‎8. D ‎ ‎9. C 【解析】提示：设 ，则 ，，，当 时， 取得最小值．‎ ‎10. B ‎ ‎【解析】对于①，若 ，可知，，则 ，故正确；‎ 对于②，因为变量 和 满足关系 ，一次项系数为 ，所以 与 负相关；‎ 变量 与 正相关，设 ，‎ 所以 ，得到 ，一次项系数小于 ，所以 与 负相关，故正确；‎ 对于③，若 ，，，则 ， 的位置关系不定，故错；‎ 对于④，当 时，直线 与直线 也互相垂直，故错．‎ ‎11. C 设 ，，则切点分别为 ， 的切线方程为 ，．‎ 因为点 在两条切线上，所以 ，．所以 ， 两点均在直线 上，‎ 即直线 的方程为 ，显然直线过点 ．‎ 12. D 解：令g（x）＝f（x）﹣，则g′（x）＝f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）＝f（1）＝0，∴g（2cosx）＝f（2cosx）﹣cosx＝f（2cosx）﹣cosx，‎ 令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1‎ ‎∴x∈（﹣，），故选：D．‎ 第二部分 ‎13.﹣4 解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．‎ 由x2＝2y，则y＝x2，所以y′＝x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，‎ 所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y＝4x﹣8，y＝﹣2x﹣2 联立方程组解得x＝1，y＝﹣4 ‎ 故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．‎ ‎14. ‎ ‎【解析】因为 ，且 ，所以 ，解得 ．又因为 ，所以 ．‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎【解析】设直线 ： ， ， ， ，则：‎ 得：‎ ‎ ，所以 . ， . .‎ 第三部分 ‎17. （1） 若从这 天随机抽取两天，有 种情况，两天人数均少于 ，有 种情况，所以至少有 天参加抽奖人数超过 的概率为 ．‎ ‎      （2） ，，，，‎ 所以 ，所以估计若该活动持续 天，共有 名顾客参加抽奖．‎ ‎18.（I）证明：∵AA‎1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．‎ 又∵平面ABC⊥平面AA‎1C1C，平面ABC∩平面AA‎1C1C＝AC，∴AA1⊥平面ABC．‎ ‎（II）解：由AC＝4，BC＝5，AB＝3．∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．‎ 设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为＝（x2，y2，z2）．‎ 则，令y1＝4，解得x1＝0，z1＝3，∴．‎ ‎，令x2＝3，解得y2＝4，z2＝0，∴．‎ ‎＝＝＝．‎ ‎∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．‎ ‎（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴＝，＝（0，3，﹣4），‎ ‎∵，∴，∴，解得t＝．∴．‎ ‎19.解：（1）F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x＝﹣的距离为，所以C：y2＝4x．‎ ‎（2）设，①‎ 设直线l：x＝my﹣1代入到y2＝4x中得y2﹣4my+4＝0，所以y1+y2＝‎4m，y1y2＝4，②‎ 由①②可得‎4m2‎＝＝λ++2，‎ 由2≤λ≤3可得y＝λ++2递增，即有‎4m2‎∈[，]，‎ 又AB中点（‎2m2‎﹣1，‎2m），‎ 所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣‎2m＝﹣m（x﹣‎2m2‎+1），令y＝0，‎ 可得．‎ ‎20.解：（1）∵f′（x）＝，（x＞0），∴△＝4﹣‎8a＝4（1﹣‎2a），‎ ‎①a≥时，有△≤0，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递增，‎ ‎②0＜a＜时，有△＞0，令f′（x）＝0，解得：x1＝（x1＞0），x2＝，‎ 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞，‎ 令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，），（，+∞）递增，在（，）递减；‎ ‎③a≤0时，有△＞0，且②中的x1＝≤0，令f′（x）＞0，解得：x＞，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，‎ ‎∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；‎ ‎（2）∵x2 为极值点，∴f′（x2 ）＝0，即2﹣2x2+a＝0，解得：a＝2x2﹣2，‎ 由（1）中②可知＜x2＜1，∴f（x2 ）＝﹣2x2+1+（2x2﹣2）lnx2，（＜x2＜1），‎ 令g（t）＝t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），∴g′（t）＝2（1﹣2t）lnt，‎ 当t∈（，1）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（，1）上递增，∴g（t）＞g（）＝，‎ ‎∴f（x2 ）＝g（x2 ）＞．‎ ‎21. （1） 由题意得，，．所以 ．所以椭圆 的方程为 ．‎ ‎      （2） 设 ，，则直线 的方程为 ．‎ 令 ，得点 的横坐标 ．又 ，从而 ．‎ 同理，．由 得 ．‎ 则 ，．所以 ‎ 又 ，所以 ．解得 ，所以直线 经过定点 ．‎ ‎22. （1） ，则 ，令 ，得 ，‎ 所以 在 上单调递增．令 ，得 ，‎ 所以 在 上单调递减．‎ ‎      （2） 因为 ，所以 ，所以 的方程为 ．依题意，，．‎ 于是 与抛物线 切于点 ，由 得 ．所以 ，，．‎ ‎      （3） 设 ，则 恒成立．易得 ．‎ ‎（）当 时，因为 ，所以此时 在 上单调递增．‎ ‎①若 ，则当 时满足条件，此时 ；‎ ‎②若 ，取 且 ，此时 ，‎ 所以 不恒成立，不满足条件；‎ ‎（）当 时，令 ，得 ．由 ，得 ；‎ 由 ，得 ．‎ 所以 在 上单调递减，在 上单调递增．‎ 要使得“ 恒成立”，必须有“当 时，”成立．所以 ．‎ 则 ．令 ，，则 ．‎ 令 ，得 ．由 ，得 ；由 ，得 ．‎ 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，当 时，．‎ 从而，当 ， 时， 的最大值为 ．综上， 的最大值为 ．‎