数学文卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第二次质检（2017

数学文卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第二次质检（2017

衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷 文科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则 M∩N=（　　）‎ A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}‎ ‎2.已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎3.要得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎4.已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎5.如图给出的计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i≤2014 B．i＞2014 C．i≤2013 D．i＞2013‎ ‎6.已知张卡片上分别写着数字，甲、乙两人等可能地从这张卡片中选择张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是 A．　　　　 　B．－　　　 　　C．－2　　　 　　D．4‎ ‎8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（　　）‎ A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）‎ ‎9.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（　　） ‎ ‎ ‎ A． B． C．π D．‎ ‎10.函数的图象大致为（　　）‎ A． B． C．D．‎ ‎11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）‎ ‎12.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为　 　．‎ ‎14.已知抛物线方程为y2=﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4=0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为　　．‎ ‎15.正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为　 　．‎ ‎16.设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为　 　．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣7，S8=0．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn}满足b1=，bnbn+1=2an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 ‎11.6‎ ‎12.2‎ ‎13.2‎ ‎13.9‎ ‎14.0‎ ‎11．5‎ ‎13．1‎ ‎14．5‎ ‎11.7‎ ‎14.3‎ 乙 ‎12.3‎ ‎13.3‎ ‎14.3‎ ‎11.7‎ ‎12.0‎ ‎12.8‎ ‎13.2‎ ‎13.8‎ ‎14.1‎ ‎12.5‎ ‎（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；‎ ‎（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；‎ ‎（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．‎ ‎（Ⅰ）若，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ 选做题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆．射线与曲线C2交于点D（，）．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．‎ ‎23.已知函数f（x）=|x﹣a|．‎ ‎（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为，求实数a，m的值；‎ ‎（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．‎ 衡阳八中2017届高三年级第二次质检参考答案文科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A B A C D A C D D B ‎13.‎ ‎14.﹣1‎ ‎15.36π ‎16.8‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ）由S8=0得a1+a8=﹣7+a8=0，‎ ‎∴a8=7，d==2，‎ 所以{an}的前n项和：‎ Sn=na1+d ‎=﹣7n+n（n﹣1）=n2﹣8n，‎ an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9．‎ ‎（Ⅱ）由题设得bnbn+1=2，bn+1bn+2=2，‎ 两式相除得bn+2=4bn，‎ 又∵b1b2=2=，b1=，‎ ‎∴b2==2b1，‎ ‎∴bn+1=2bn，‎ 即{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，‎ 故bn=2n﹣5．‎ ‎18.‎ ‎（3）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，如图阴影部分面积即为……………………………………………………10分 所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为…………12分 ‎19.‎ ‎（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，‎ 所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，‎ 所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．‎ 因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，‎ 所以OM∥平面ABD．‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，‎ 因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．‎ 又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．‎ 因为OM∩AC=O，‎ 所以OD⊥平面ABC，‎ 因为OD⊂平面MDO，‎ 所以平面ABC⊥平面MDO．‎ ‎（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．‎ 由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，‎ 所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．‎ ‎△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，‎ 所求体积等于．‎ ‎20.‎ ‎（Ⅰ）由题意得，得．‎ 结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 所以，‎ 依题意，OM⊥ON，‎ 易知，四边形OMF2N为平行四边形，‎ 所以AF2⊥BF2，‎ 因为，，‎ 所以．‎ 即，‎ 将其整理为k2=﹣=﹣1﹣‎ 因为，所以，12≤a2＜18．‎ 所以，即．‎ ‎21.‎ ‎（1）∵f（x）=x+alnx，‎ ‎∴f′（x）=1+，‎ ‎∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，‎ ‎∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，‎ 解得a=1．‎ ‎（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）=，x＞0，‎ 由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，‎ 即x++1﹣b＜0有解，‎ ‎∵定义域x＞0，‎ ‎∴x+≥2，‎ x+＜b﹣1有解，‎ 只需要x+的最小值小于b﹣1，‎ ‎∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．‎ ‎（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1‎ ‎∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）‎ ‎∵0＜x1＜x2，‎ ‎∴设t=，0＜t＜1，‎ 令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，‎ 则h′（t）=﹣＜0，‎ ‎∴h（t）在（0，1）上单调递减，‎ 又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，‎ ‎∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，‎ ‎∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，‎ 故所求的最小值为﹣2ln2．‎ ‎        ‎ ‎22.‎ ‎（1）点M（2，）对应的参数φ=代入（a＞b＞0，φ为参数），可得，‎ 解得：a=4，b=2．‎ ‎∴曲线C1的普通方程为=1．‎ 设圆C2的半径为R，则曲线C2的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D代入得R=1．．‎ ‎∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（2）曲线C1的极坐标方程为=+，‎ 将A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入可得：=+，=+．‎ ‎∴+=+=．‎ ‎23.‎ ‎（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，‎ 当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．‎ 当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．‎ 当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．‎ 由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎ ‎23.‎ ‎（Ⅰ）∵f（x）≤m，‎ ‎∴|x﹣a|≤m，‎ 即a﹣m≤x≤a+m，‎ ‎∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，‎ ‎∴，解得a=2，m=3．‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，‎ 则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．‎ 当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．‎ 当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．‎ 当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．‎ 综上不等式的解集为（﹣∞，]．‎