2021高考数学一轮复习课时作业44空间向量及其运算理

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2021高考数学一轮复习课时作业44空间向量及其运算理

课时作业44 空间向量及其运算 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x=(  )‎ A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)‎ C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)‎ 解析:由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).‎ 答案:B ‎2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6=+2+3,则(  )‎ A.O,A,B,C四点共面 B.P,A,B,C四点共面 C.O,P,B,C四点共面 D.O,P,A,B,C五点共面 解析:由6=+2+3,‎ 得-=2(-)+3(-),即=2+3,故,,共面,又它们有公共点P,因此,P,A,B,C四点共面,故选B.‎ 答案:B ‎3.已知空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=(  )‎ A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 解析:显然=-=(+)-.‎ 答案:B ‎4.已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,·>0,·>0,则该四边形为(  )‎ A.平行四边形 B.梯形 5‎ C.长方形 D.空间四边形 解析:由·>0,·>0,·>0,·>0,知该四边形一定不是平面图形.‎ 答案:D ‎5.[2020·日照调研]已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=,则C点的坐标为(  )‎ A.(,-,) B.(,-3,2)‎ C.(,-1,) D.(,-,)‎ 解析:由题意知2=,设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),‎ ‎∴∴即C(,-1,)‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=________.‎ 解析:如图所示,‎ =(+)=[(-)+(-)]=(+-2)=(+-)=(b+c-a).‎ 答案:(b+c-a)‎ ‎7.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为________.‎ 解析:因为(a+λb)⊥a,‎ 所以(a+λb)·a=a2+λb·a=()2+λ×(0+1+0)=0,解得λ=-2.‎ 答案:-2‎ ‎8.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为________.‎ 5‎ 解析:cos〈a,b〉==-.‎ 答案:- 三、解答题 ‎9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).‎ ‎(1)求以,为边的平行四边形的面积;‎ ‎(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.‎ 解析:(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),‎ 所以cos〈,〉====,‎ 所以sin〈,〉=,‎ 所以以,为边的平行四边形的面积:‎ S=2×||||sin〈,〉=14×=7.‎ ‎(2)设a=(x,y,z),‎ 由题意得解得或 所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).‎ ‎10.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:‎ ‎(1)·;‎ ‎(2)·;‎ ‎(3)EG的长.‎ 解析:设=a,=b,=c.‎ 则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,‎ 5‎ ==c-a,=-a,=b-c,‎ ‎(1)·=·(-a)‎ ‎=a2-a·c=.‎ ‎(2)·=(c-a)·(b-c)‎ ‎=(b·c-a·b-c2+a·c)=-.‎ ‎(3)=++=a+b-a+c-b ‎=-a+b+c,‎ ‎||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:‎ ‎(1)CM∥平面PAD;‎ ‎(2)平面PAB⊥平面PAD.‎ 证明:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,‎ CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.‎ ‎∵PC⊥平面ABCD,‎ ‎∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,‎ ‎∴∠PBC=30°,‎ ‎∵PC=2,∴BC=2,PB=4,‎ ‎∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,‎ 5‎ ‎∴=(0,-1,2),=(2,3,0),=.‎ ‎(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,‎ 由即 令y=2,得n=(-,2,1).‎ ‎∵n·=-×+2×0+1×=0,‎ ‎∴n⊥.又CM⊄平面PAD,‎ ‎∴CM∥平面PAD.‎ ‎(2)解法一 由(1)知=(0,4,0),=(2,0,-2),‎ 设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),‎ 由即 令x0=1,得m=(1,0,),‎ 又∵平面PAD的一个法向量n=(-,2,1),‎ ‎∴m·n=1×(-)+0×2+×1=0,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ 解法二 取AP的中点E,连接BE,‎ 则E(,2,1),=(-,2,1).‎ ‎∵PB=AB,∴BE⊥PA.‎ 又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,‎ ‎∴⊥.∴BE⊥DA.‎ 又PA∩DA=A,‎ ‎∴BE⊥平面PAD.‎ 又∵BE⊂平面PAB,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ 5‎
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