2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）‎ ‎1．（5分）双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B． C． D．8‎ ‎2．（5分）以下四组向量中，互相平行的有（　　）组．‎ ‎（1），‎ ‎（2），‎ ‎（3），‎ ‎（4），．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎3．（5分）已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．（5分）已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（　　）‎ A．1 B． C．3 D．9‎ ‎5．（5分）已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎6．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、‎ 三向量共面，则实数λ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎8．（5分）若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（　　）‎ A．4 B．15 C．7 D．3‎ ‎9．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎10．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或﹣‎ ‎11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）若向量，（其中i、j、k是两两互相垂直的单位向量）则这两个向量的位置关系是　 　．‎ ‎14．（5分）若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为　 　．‎ ‎15．（5分）给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．‎ 其中真命题的是　 　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎16．（5分）给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知椭圆C的焦点，长轴长6．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．‎ ‎18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．‎ ‎20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．‎ ‎（1）证明：D1E⊥A1D；‎ ‎（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；‎ ‎（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省衡水市安平中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）‎ ‎1．（5分）双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B． C． D．8‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得b的值，进而由虚轴长为2b，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，‎ 则其中b==2，‎ 则虚轴的长2b=4；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意虚轴的长是2b．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）以下四组向量中，互相平行的有（　　）组．‎ ‎（1），‎ ‎（2），‎ ‎（3），‎ ‎（4），．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎【分析】利用向量共线定理即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：对于（1）（4），不存在实数λ，使得=，或=λ．‎ 对于（2）中满足向量共线定理：，因此．‎ 对于（3）中满足向量共线定理：，因此．‎ 因此互相平行的有两组．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理即，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c=2b，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．‎ ‎【解答】解：设焦距为2c，‎ 则有，解得b2=16，‎ ‎∴椭圆．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（　　）‎ A．1 B． C．3 D．9‎ ‎【分析】先根据空间向量的减法运算法则求出﹣，然后利用向量模的公式求出所求即可．‎ ‎【解答】解：∵=（2，3，1），=（1，2，0），‎ ‎∴﹣=（1，1，1）‎ ‎∴|﹣|==‎ ‎【点评】本题主要考查了空间向量坐标的减法运算，以及向量模的计算，着重基本运算的考查，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则代入双曲线方程，相减可得﹣，‎ ‎∵点P（6，2）是AB的中点，‎ ‎∴x1+x2=12，y1+y2=4，‎ ‎∵直线l的斜率为3，∴=3，‎ ‎∴a2=b2，c2=2a2，‎ ‎∴e=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知中=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．‎ ‎【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2）‎ ‎∴与不平行，‎ 又∵、、三向量共面，‎ 则存在实数X，Y使 ‎=X+Y 即 解得λ=‎ 故选D ‎【点评】本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理，其中根据、、三向量共面，与不共线，则可用向量、作基底表示向量，造关于λ的方程，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎【分析】由椭圆方程求得a，再由椭圆定义结合已知求得|PQ|．‎ ‎【解答】解：∵直线PQ过椭圆的右焦点F2，‎ 由椭圆的定义，在△F1PQ中，有|F1P|+|F1Q|+|PQ|=4a=16．‎ 又|F1P|+|F1Q|=10，∴|PQ|=6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（　　）‎ A．4 B．15 C．7 D．3‎ ‎【分析】先求出 +，再利用空间向量的数量积公式 ，求出•（+）．‎ ‎【解答】解：∵=（2，0，3），=（0，2，2），‎ ‎∴+=（2，2，5），‎ ‎∴•（+）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的基本运算，以及空间向量的数量积，属于基本运算．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用F1关于渐近线的对称点恰落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 设一条渐近线方程为y=﹣x，则F1到渐近线的距离为=b．‎ 设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，‎ 又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形，‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ ‎∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，‎ ‎∴c=2a，∴e=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或﹣‎ ‎【分析】用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．‎ ‎【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，‎ 故有cos＜，＞===，‎ 解得：λ=﹣2或．‎ 故应选C．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积公式，属于基本知识应用题，难度一般较低．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为 ‎，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．‎ ‎【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；‎ 由得，y2﹣2py﹣p2=0；‎ ‎∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；‎ ‎∴弦AB的中点坐标为；‎ 弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及根据直线的倾斜角求斜率，直线的点斜式方程，韦达定理．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【分析】‎ 分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值．‎ ‎【解答】解：解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则 由于|BC|=3|BF|=3|BN|，则直线l的斜率为2，‎ ‎∵|AF|=4，‎ ‎∴AM=4，‎ 故|AC|=3|AM|=12，从而|CF|=8，|CB|=6．‎ 故，即p=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）‎ ‎13．（5分）若向量，（其中i、j、k是两两互相垂直的单位向量）则这两个向量的位置关系是　垂直　．‎ ‎【分析】推导出=（2）•（）=0，从而这两个向量的位置关系是垂直．‎ ‎【解答】解：∵向量，（其中i、j、k是两两互相垂直的单位向量），‎ ‎∴=（2）•（）‎ ‎=+4+18﹣9+9+2﹣+‎ ‎=8﹣9+1=0，‎ ‎∴这两个向量的位置关系是垂直．‎ 故答案为：垂直．‎ ‎【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断，考查向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为　　．‎ ‎【分析】设l与α所成角为θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l与α所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），‎ 设l与α所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜＞|===．‎ ‎∴l与α所成角的正弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．‎ 其中真命题的是　①④　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；‎ ‎②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；‎ ‎③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；‎ ‎④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．‎ ‎【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），‎ ‎∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴直线l与m垂直，①正确；‎ 对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），‎ ‎∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，‎ ‎∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；‎ 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），‎ ‎∴与不共线，‎ ‎∴α∥β不成立，③错误；‎ 对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），‎ ‎∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），‎ 向量=（1，u，t）是平面α的法向量，‎ ‎∴，‎ 即；‎ 则u+t=1，④正确．‎ 综上，以上真命题的序号是①④．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　（1）（3）　．‎ ‎【分析】由题意可得：，化为（x≠±3）．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得=5，即可得出曲线C的焦点坐标；‎ ‎（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，由于∠F1MF2=90°，可得，mn=16；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，可得|F2A|=8，|F1A|=2，解得xA，即可判断出；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a=6，可得|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；‎ ‎（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣xA=8，解得xA=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．‎ 综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知椭圆C的焦点，长轴长6．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），联立，利用韦达定理，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由F1（﹣，0）和F2（，0），长轴长为6‎ 得：c=2，a=3，…．（2分）‎ 所以b=1．…（4分）‎ 所以椭圆方程为．…（5分）‎ ‎（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），由（1）可知椭圆方程为，‎ 与直线AB的方程y=x+2联立…（7分）‎ 化简并整理得10x2+36x+27=0，…（9分）‎ ‎∴x1+x2=，∴，．…（11分）‎ 所以AB的中点的坐标为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；‎ ‎（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即•=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求实数m的值．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±‎ ‎），到抛物线顶点的距离的平方为+p，‎ ‎∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，‎ ‎∴+p=（+）2，‎ ‎∴p=2‎ 抛物线的方程为：y2=4x．…‎ ‎（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，‎ ‎∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0‎ 可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0‎ ‎∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0‎ ‎∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，‎ 解得：m=±．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设AC∩‎ BD=O，连OE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；‎ ‎（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，连PF，设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，则N点到AB的距离即为AP，N点到AP的距离即为AF．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB，‎ ‎∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．‎ 在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，‎ ‎∴cosEOA==．‎ 即AC与PB所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=．‎ 连PF，则在Rt△ADF中DF==，AF=ADtan∠ADF=．‎ 设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，‎ ‎∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．‎ ‎∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=．‎ ‎【点评】本题主要考查了异面直线的所成角，以及点到线的距离的计算，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．‎ ‎（1）证明：D1E⊥A1D；‎ ‎（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；‎ ‎（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎【分析】解法（一）：‎ ‎（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．‎ ‎（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．‎ ‎（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，‎ 则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．‎ 解法（二）：‎ 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．‎ ‎（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．‎ ‎（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．‎ ‎（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎【解答】解法（一）：‎ ‎（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E ‎（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，‎ 故，而．∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．‎ 设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．‎ ‎∵在Rt△ADE中，DE=，‎ ‎∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．‎ ‎∴．‎ ‎∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ 解法（二）：‎ 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1‎ 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）‎ ‎（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．‎ ‎（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，‎ 则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．‎ ‎（3）设平面D1EC的法向量，‎ ‎∴，‎ 由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，‎ ‎∴．‎ 依题意．‎ ‎∴（不合，舍去），．‎ ‎∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎【点评】本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，由椭圆的定义可得所求轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式，两点的距离公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，‎ 根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 即有a=2，c=2，b=2，‎ 则动点P的轨迹C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，‎ 整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，‎ 由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，‎ 根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，‎ 那么|MN|==•‎ ‎=，‎ y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，‎ 线段MN中点H的坐标为（，），‎ 那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），‎ 令y=0，得D（，0），‎ ‎|DH|==，‎ 则=•=•，‎ 由k≠0，可得1+∈（1，+∞），‎ 于是∈（0，）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，中点坐标公式以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎