2021高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示理北师大版

课后限时集训4‎ 函数及其表示 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下列所给图像是函数图像的个数为(　　)‎ ‎①　　　②　　　 ③　　　　④‎ A．1　　 B．‎2　‎　　　‎ C．3　　 D．4‎ B　[①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图像，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图像．]‎ ‎2．(2019·成都模拟)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)‎ A． B． C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪ D　[由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.]‎ ‎3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ A　[令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，‎ 则‎4a－1＝6，解得a＝.]‎ ‎4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，则g(x)的解析式为(　　)‎ A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x 6‎ C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x B　[设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ ‎∵g(1)＝1，g(－1)＝5，‎ 且图像过原点，‎ ‎∴解得 ‎∴g(x)＝3x2－2x.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝且f(x0)＝1，则x0＝(　　)‎ A．0 B．4 ‎ C．0或4 D．1或3‎ C　[当x0≤1时，由f(x0)＝2x0＝1，得x0＝0(满足x0≤1)；当x0＞1时，由f(x0)＝log3(x0－1)＝1，得x0－1＝3，则x0＝4(满足x0＞1)，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．‎ ‎[0,1)　[由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．]‎ ‎7．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．‎ ‎－　[－3，＋∞)　[∵f(2)＝，∴f(f(2))＝f＝－－2＝－.‎ 当x＞1时，f(x)∈(0,1)，‎ 当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，‎ ‎∴f(x)∈[－3，＋∞)．]‎ ‎8．若f(x)对任意x∈R恒有‎2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________.‎ ‎2　[由题意可知 解得f(1)＝2.]‎ 三、解答题 ‎9．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图像．‎ ‎[解]　(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，‎ 6‎ 得 解得所以f(x)＝ ‎(2)函数f(x)的图像如图所示．‎ ‎10．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．‎ ‎(1)求出y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)如果要求刹车距离不超过‎25.2 m，求行驶的最大速度．‎ ‎[解]　(1)由题意及函数图像，‎ 得 解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．‎ ‎(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.‎ ‎∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是‎70 km/h.‎ ‎1．设函数f(x)＝若f ＝2，则实数n的值为(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C． D． D　[因为f ＝2×＋n＝＋n，‎ 当＋n＜1，即n＜－时，f ＝2＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；‎ 6‎ 当＋n≥1，即n≥－时，‎ f ＝log2＝2，即＋n＝4，‎ 解得n＝，符合题意，故选D.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]＞0，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(1，＋∞)‎ B．(2，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ D　[当a＞0时，不等式a[f(a)－f(－a)]＞0化为a2＋a－‎3a＞0，‎ 解得a＞2.‎ 当a＜0时，不等式a[f(a)－f(－a)]＞0化为－a2－‎2a＜0，‎ 解得a＜－2.‎ 综上可得实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]‎ ‎3．设函数f(x)＝若f(x)≥f(1)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[1,2] B．[0,2]‎ C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)‎ A　[若f(x)≥f(1)恒成立，则f(1)是f(x)的最小值，则当x≤1时，f(x)≥f(1)恒成立，又函数y＝(x－a)2－1的图像的对称轴为直线x＝a，所以a≥1.由分段函数性质得(1－a)2－1≤ln 1，得0≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围为1≤a≤2，故选A.]‎ ‎4．(2019·平顶山模拟)已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：‎ ‎①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；‎ ‎③f(x)＝ 其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)‎ ‎①③　[对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f＝ 即f＝ 故f＝－f(x)，满足题意．‎ 6‎ 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]‎ ‎1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)‎ A．2　　 B．‎4　‎　　　‎ C．6　　 D．8‎ ‎ C　[当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝‎2a，‎ ‎∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝‎2a，‎ 解得a＝或a＝0(舍去)．‎ ‎∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.‎ 当a≥1时，a＋1≥2，‎ ‎∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝‎2a，‎ ‎∴2(a－1)＝‎2a，无解．‎ 综上，f＝6.]‎ ‎2．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数．‎ ‎(1)判断函数f(x)＝x2－x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)；‎ ‎(2)已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝x2－x是Ω函数，g(x)＝sin πx不是Ω函数．‎ ‎(2)法一：取k＝1，a＝∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝＝，此时f ＝f ＝f(1)，‎ 所以f(x)是Ω函数．‎ 证明：设k∈N＋，取a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝，则一定有m－[m]＝－k＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．‎ 法二：取k＝1，a＝∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－，此时f ＝f ＝f(－1)，‎ 所以f(x)是Ω函数．‎ 6‎ 证明：设k∈N＋，取a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－，则一定有m－[m]＝－－(－k)＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．‎ 6‎