2020届高考数学一轮复习单元检测（文·新人教A版）九解析几何提升卷

2020届高考数学一轮复习单元检测（文·新人教A版）九解析几何提升卷

单元检测九　解析几何(提升卷)‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间100分钟，满分130分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．直线l经过点(，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是(　　)‎ A．30°B．60°C．150°D．120°‎ 答案　D 解析　由斜率公式k＝＝＝－，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－，故选D.‎ ‎2．直线kx－y－3k＋3＝0过定点(　　)‎ A．(3,0) B．(3,3)‎ C．(1,3) D．(0,3)‎ 答案　B 解析　kx－y－3k＋3＝0可化为y－3＝k(x－3)，所以过定点(3,3)．故选B.‎ ‎3．直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是(　　)‎ A．1B.C．2D．3‎ 答案　D 解析　当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋，因为a>1，所以t>5，且a2＋(3－t)a＋t＝0，则Δ＝(3－t)2－4t≥0，解得t≥9或t≤1(舍去)，所以t的最小值为9，把t＝9代入上述方程解得a＝3.‎ ‎4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)‎ A.B．2C．1D．3‎ 答案　A 解析　圆的圆心为(3,0)，r＝1，圆心到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝2，所以 由勾股定理可知切线长的最小值为＝.‎ ‎5．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是(　　)‎ A．4B．5C．3－1D．2 答案　A 解析　依题意可得，点A关于x轴的对称点A1(－1，－1)，圆心C(2,3)，A1C的距离为＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.‎ ‎6．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则实数a的值为(　　)‎ A．2B．－2C．2或－2D.或－ 答案　C 解析　由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，化简得·＝0，即⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即＝，a＝±2.‎ ‎7．点P(2，－1)为圆(x－3)2＋y2＝25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是(　　)‎ A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0‎ 答案　B 解析　点P(2，－1)为圆(x－3)2＋y2＝25的弦的中点，设圆心为C(3,0)，则该弦所在直线与PC垂直，故弦的斜率为k＝－＝－＝－1，则由直线的点斜式可得弦所在直线的方程为y－(－1)＝－1×(x－2)，即x＋y－1＝0.‎ ‎8．已知直线y＝ax与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1交于A，B两点，且∠ACB＝60°，则圆的面积为(　　)‎ A．6πB．36πC．7πD．49π 答案　A 解析　由题意可得圆心C(a,1)，半径R＝(a≠±1)，‎ ‎∵直线y＝ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，‎ ‎∴圆心C到直线ax－y＝0的距离为 Rsin60°＝×，‎ 即d＝＝，解得a2＝7，‎ ‎∴圆C的面积为πR2＝π(7－1)＝6π.‎ 故选A.‎ ‎9．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)‎ A．3 B.或3‎ C. D.或 答案　B 解析　当m＞5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m－5，e2＝＝，解得m＝；‎ 当0＜m＜5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝＝，解得m＝3.‎ 故选B.‎ ‎10．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　B 解析　由已知条件得直线l的斜率为k＝kFN＝1，‎ 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则有 两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30‎ 得，＝，从而＝1，‎ 即4b2＝5a2，又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B.‎ ‎11．已知直线l：kx－y－2k＋1＝0与椭圆C1：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于C，D两点．若存在k∈[－2，－1]，使得＝，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　直线l过圆C2的圆心，∵＝，‎ ‎∴||＝||，‎ ‎∴C2的圆心为A，B两点的中点．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则两式相减得，‎ ＝－，‎ 化简可得－2·＝k，又∵a>b，∴＝－∈，‎ 所以e＝∈.‎ ‎12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1与e2满足的关系是(　　)‎ A.＋＝2 B.－＝2‎ C．e1＋e2＝2 D．e2－e1＝2‎ 答案　B 解析　由椭圆与双曲线的定义得e1＝，e2＝，所以－＝＝2，故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共70分)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.‎ 答案　2‎ 解析　设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，‎ ‎∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线l：kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．‎ 答案　－ 解析　方法一　圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则符合题意的k的取值范围就是圆C′与l有公共点时k的取值范围，∴≤1，∴－≤k≤0，即k的最小值为－.‎ 方法二　∵M在圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上，‎ ‎∴可设M(2＋cosθ，2＋sinθ)，‎ 可得N(2＋cosθ，－2－sinθ)，‎ 将N的坐标代入kx＋y＋3＝0，‎ 可得sinθ－kcosθ＝2k＋1，|2k＋1|≤，‎ 化简得3k2＋4k≤0，解得－≤k≤0，‎ ‎∴k的最小值为－.‎ ‎15．(2018·河南新乡高三模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，点M，N，射线MO，NO分别交抛物线C于异于点O的点A，B，若A，B，F三点共线，则p的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　直线OM的方程为y＝－x，将其代入x2＝2py，‎ 解方程可得故A.‎ 直线ON的方程为y＝x，将其代入x2＝2py，‎ 解方程可得故B.‎ 又F，所以kAB＝，kBF＝，‎ 因为A，B，F三点共线，所以kAB＝kBF，即＝，解得p＝2.‎ ‎16．已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，两不同点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当＋＋＋ln|m|＋ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为________．‎ 答案　 解析　设点P(x0，y0)，则＋＝1，所以mn＝，从而＋＋＋ln|m|＋ln|n|＝＋＋＋ln，设＝x，令f(x)＝＋lnx(00，‎ 解得b>0)的离心率为，且过点，过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m>a)于点M，已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．‎ 解　(1)因为椭圆C的离心率为，所以a2＝4b2.‎ 又因为椭圆C过点，‎ 所以＋＝1，解得a2＝4，b2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)方法一　设P(x0，y0)，－22，所以m＝.‎ 方法二　①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件．‎ ‎②当AP的斜率存在且不为0时，‎ 设AP的斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，‎ 联立消去y，得 ‎(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，‎ 且Δ＝(16k2)2－4×(16k2－4)(4k2＋1)>0.‎ 设A(xA,0)，P(xP，yP)，‎ 因为xA＝－2，所以xP＝，‎ 所以yP＝，‎ 所以P.‎ 因为PN的中点为B，‎ 所以m＝2－＝. (*)‎ 因为AP交直线l于点M，‎ 所以M(m，k(m＋2))，‎ 因为直线PB与x轴不垂直，‎ 所以≠1，即k2≠.‎ 设直线PB，MB的斜率分别为kPB，kMB，‎ 则kPB＝＝，‎ kMB＝.‎ 因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，‎ 所以·＝－1. (**)‎ 将(*)代入(**)，化简得48k4－32k2＋1＝0，‎ 解得k2＝，‎ 所以m＝＝.‎ 又因为m>2，所以m＝.‎ ‎20．(13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x＋4y－1＝0的距离等于.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点F(点E，F都不在椭圆上)，且＝λ1，＝λ2，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．‎ 解　(1)由椭圆C的长轴长为4知2a＝4，故a＝2，‎ 椭圆的上顶点为(0，b)，则由＝得b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，E(m,0)(m<0，m≠－2)，F(0，n)，‎ 由＝λ1，‎ 得(x1，y1－n)＝λ1(m－x1，－y1)，‎ 所以A.‎ 同理由＝λ2，得B，‎ 把A，B分别代入＋y2＝1‎ 得： 即λ1，λ2是关于x的方程(4－m2)x2＋8x＋4－4n2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝＝－8，‎ ‎∴m＝－，所以直线l恒过定点(－，0)．‎