【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法（Ⅱ）--求空间角与距离学案
1. 【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面内作，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解
【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
2. 【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。
（1）证明：直线 平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。
【答案】(1)证明略；
(2) 。
试题解析：
（1）取的中点，连结，。
因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。
又平面，平面，故平面。
（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，,，
设则，
设是平面ABM的法向量，则
即
所以可取。于是 ，
因此二面角的余弦值为。
【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法
【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与
互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
3. 【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.
【答案】 （1）证明见解析（2） （3）或
试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.
（Ⅲ）依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，
.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，线段AH的长为或.
【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角
【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
向量方法求空间角与距离
B
考点剖析：1.理解直线的方向向量与平面的法向量．
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题．
4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
命题方向：利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查学生的数学应用意识、分析问题解决问题的能力及运算求解能力．题型多为解答题，难度中档.
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
(0，]
[0，π]
求法
cos θ＝
cos β＝
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝.
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
【知识拓展】
利用空间向量求距离(供选用)
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1， 1)，点B(x2，y2， 2)，则|AB|＝||＝.
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
题型一 求异面直线所成的角
例1 (2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明 如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
解题技巧与方法总结
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
【变式训练】如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′，已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小．
【答案】见解析
即DH与CC′所成的角为45°.
题型二 求直线与平面所成的角
例2 (2016·全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【答案】见解析
(2)解 取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，
从而AE⊥AD，AE＝ ＝ ＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axy .
由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)， N，＝(0,2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y， )为平面PMN的法向量，则
即可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
设AN与平面PMN所成的角为θ，则sin θ＝，
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
解题技巧与方法总结
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
【变式训练】在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
【答案】见解析
由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD.
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，，)，
则＝(1,1,0)，＝(0，，)，＝(0,1，－1)．
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0， 0)，
则即
取 0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－ 1,1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
题型三 求二面角
例3 (2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值．
【答案】见解析
(2)解 连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxy .
解题技巧与方法总结
利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【变式训练】(2016·天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
(1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O—EF—C的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
【答案】见解析
【解析】(1)证明 依题意，OF⊥平面ABCD，
如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得
O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，
D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0)．
依题意，＝(2,0,0)，＝(1，－1,2)．
设n1＝(x1，y1， 1)为平面ADF的法向量，
则 即
不妨取 1＝1，可得n1＝(0,2,1)，
又＝(0,1，－2)，可得·n1＝0，
又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF.
(3)解 由AH＝HF，得AH＝AF.
因为＝(1，－1,2)，
所以＝＝，
进而有H，从而＝.
因此cos〈，n2〉＝＝－.
所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.
题型四 求空间距离(供选用)
例4 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．
【答案】见解析
则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)，＝(0，，)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y， )，
由得即
取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，
所以所求距离为d＝＝.
思维升华
求点面距一般有以下三种方法：
(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
(2)等体积法；
(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
【变式训练】
(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，
∴＝(1，－1，－1)．
易证OA⊥平面POC，
∴＝(0，－1, 0)为平面POC的法向量，
cos〈，〉＝＝，
∴PB与平面POC所成角的余弦值为.
∵二面角Q－AC－D的余弦值为，
∴|cos〈m，n〉|＝＝.
整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.
解得λ＝或λ＝3(舍去)，
∴存在，且＝.
1．（广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合）如图，在三棱锥中，平面平面， 与均为等腰直角三角形，且， ．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，
，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。
点睛：解答本题的关键是建立空间直角坐标系，将题设中的异面直线所成角这一条件翻译出来，因为这是求解线段长度范围的先决条件与前提，也是解答本题是突破口。求解由于变量较多，因此运用消元思想和整体代换的数学思想，使得问题的求解有章可循，进而获得答案，本题对计算能力要求较高，具有一定的难度。
2．（2017届福建省泉州市高三3月质量检测）如图，在以为顶点的多面体中， 平面， 平面， ．
（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
显然，以下只需证明平面；
∵，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴.
又平面， 平面，
∴平面.
∵平面， 平面，
∴.
又平面， 平面，
∴平面，
又平面平面，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，即平面.
（2）
设平面的法向量，
由，得，
取，可得平面的一个法向量.
设直线和平面所成角为，
又∵，
∴，
故直线和平面所成角的正弦值为.
3．（河南省郑州一中下期17届高三百校联盟）如图（1），在等腰梯形中， ， ， .将沿直线折起，使点移动到点（如图（2）），且.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.
试卷解析：
（Ⅰ）在等腰梯形中，连接，交于，由， ，
可得，
作于，则， ， ，
,由可得，
由，得.
由翻折不变性知， ， ， ，
所以平面，因为平面，所以.
设平面的一个法向量为，则有，得，取，得， ，所以，
所以 ，
由图象可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.
4．（2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研）如图1， 在直角梯形中， ， ， ， 为线段的中点. 将沿折起，使平面 平面，得到几何体，如图2所示.
（1）求证: 平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。
（2）
（2）建立空间直角坐标系如图所示，
则， ， ， ，
.
设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.
又为面的一个法向量，∴.
∴二面角的余弦值为.
（法二）如图，取的中点， 的中点，连结.
考点：棱锥中的垂直以及二面角的平面角
点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。
5．（2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模）如图，四棱锥中，底面为菱形， 底面.
（1）求证: ；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
试题解析：
(1) 底面为菱形， 底面面面.
(2)设，设到平面的距离为，则由题意， ，在等腰中，可求， ，
.
6．（2017届四川省资阳市高三上学期期末）如图，矩形和等边三角形中， ，平面平面．
（1）在上找一点，使，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示， ，三角形为等边三角形， ．
于是，
设面的法向量，所以，得，
则面的一个法向量，又是线段的中点，
则的坐标为，于是，且，
又设面的法向量，
由，得，取，则，
平面的一个法向量，
所以，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
7．（西藏自治区拉萨中学2017届高三第八次月考）如图，四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）.
试题解析：(1)连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，
∴BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，又PD∩BD＝D，
∴BC⊥平面BDP，∴BC⊥DM.
又PD＝BD＝，PD⊥BD，M为PB的中点，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC＝B，
∴DM⊥平面PBC。
以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D－xy ，
8．（重庆市第一中学2017届高三下学期第二次月考）如图，三棱锥中，，且，点分别是的中点，为的中点，过的动平面与线段交于点，与线段的延长线分别相交于点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当时，求二面角的正弦值。
【答案】(1)见解析；(2) .
（1）
证明：连结，显然，由题易知，而为中点，故，下证明：，又，
于是得证平面；
（2）如图，取的中点,以为轴建立空间直角坐标系，由题得
设，
则，，由于三点共线，
于是，因此，
易求得面的法向量为，面的法向量为，
设二面角的平面角为，于是，则 .
点睛：立体几何问题是高考试题中的常见题型之一，也是高中数学教材中的重要内容之一，这类问题的设置常常有两类问题：其一是线面位置关系的推证问题，这类问题的求解要借助判定定理，及转化与化归的数学思想进行推证；第二类问题就是角度距离的计算问题，这类问题的求解可以通过解三角形，也可以借助空间向量的有关知识进行求解。
9．（湖南师范大学附属中学2017届高三下学期高考模）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.
(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面PBC；
(Ⅱ)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H－PB－C的余弦值．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .
试题解析：
(Ⅰ)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1BD＝，
又BC＝，∴CD＝2，∴BC⊥BD，因为PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.
因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
10．（天津市十二重点中学2017届高三第二次联考）如图，四边形为菱形， ， 与相交于点， 平面， 平面， ， 为中点.
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）当直线与平面所成角为时，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）（3）
（Ⅱ）分别以， ， 为， ， 轴建立空间直角坐标系，
， ， ，
， ，
设平面的法向量，则
得，令， ，所以
设平面的法向量，则
得，令， ，所以
于是，
所以.
所以，二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设， ，
