【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案

‎§4.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．‎ ‎2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．‎ ‎3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ 以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.‎ ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 概念方法微思考 ‎1．怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？‎ 提示　向左平移个单位长度．‎ ‎2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？‎ 提示　x＝＋－(k∈Z)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)‎ ‎(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．‎ ‎(　×　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)‎ ‎(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象向 平移 个单位长度．‎ 答案　右　 ‎3．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为 ．‎ 答案　2，，－ ‎4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，‎ 则这段曲线的函数解析式为 ．‎ 答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]‎ 解析　从题图中可以看出，从6～14时的是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，‎ 所以A＝×(30－10)＝10，‎ b＝×(30＋10)＝20，‎ 又×＝14－6，‎ 所以ω＝.‎ 又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，‎ 所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．‎ 题组三　易错自纠 ‎5．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 ‎ B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 ‎ D．向右平移个单位长度 答案　A 解析　∵y＝sin＝sin，‎ ‎∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度．‎ ‎6．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 ．‎ 答案　y＝2sin 解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即个单位长度，‎ 所得函数为y＝2sin＝2sin.‎ ‎7．(2018·乌海模拟)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 ．‎ 答案　 解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.‎ ‎8．(2018·沈阳质检)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f 的值为 ．‎ 答案　 解析　由题干图象可知A＝2，T＝－＝，‎ ‎∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，‎ 则f ＝2sin＝2cos ＝.‎ 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 (2018·丹东模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．‎ 解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.‎ 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2.‎ 所以A＝2，‎ 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 因为－<φ<，‎ 所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ ‎(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，‎ 列表如下：‎ ‎2x＋ π ‎2π x ‎0‎ π f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点、连线得图象：‎ 引申探究 在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．‎ 解　由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，‎ 又因为m>0，所以m的最小值为.‎ 思维升华 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．‎ ‎(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．‎ 跟踪训练1　(1)(2018·本溪调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　A 解析　y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴2是ω的一个可能值．‎ ‎(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．‎ 答案　y＝sin 解析　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＝sin的图象．‎ 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 (1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝ .‎ 答案　2sin 解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时 x的集合为 ．‎ 答案　 解析　根据题干所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，‎ 再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，‎ ‎∴f＝sin，‎ 当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．‎ 思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法 ‎(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．‎ ‎(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．‎ 跟踪训练2 (2018·满洲里质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意得解得 ＝＝－＝，‎ 故ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋.‎ 又f＝sin＋＝，‎ 故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．‎ 因为|φ|<，故φ＝，‎ 所以f(x)＝sin＋.‎ 将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝sin＋的图象，又函数g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝sin的图象关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)．令k＝2，则m＝.‎ 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 命题点1　图象与性质的综合问题 例3 (2018·锦州模拟)已知函数f(x)＝2sin＋1＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．‎ 解　(1)当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.‎ 又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.‎ 又f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝π，‎ ‎∴ω＝＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin，‎ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 令k＝0，得≤x≤.‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ 命题点2　函数零点(方程根)问题 例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ．‎ 答案　(－2，－1)‎ 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为 m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x ‎＝2sin，x∈.‎ 设2x＋＝t，则t∈，‎ ‎∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．‎ ‎∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：‎ 由图象观察知，的取值范围是，‎ 故m的取值范围是(－2，－1)．‎ 引申探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是 ．‎ 答案　[－2,1)‎ 解析　由上例题知，的取值范围是，‎ ‎∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．‎ 命题点3　三角函数模型 例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为 元．‎ 答案　6 000‎ 解析　作出函数简图如图：‎ 三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，‎ 由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，‎ T＝2×(9－3)＝12，‎ ‎∴ω＝＝.‎ 将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，‎ 则有×3＋φ＝，∴φ＝0，‎ 故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N＋)．‎ ‎∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元)．‎ 故7月份的出厂价格为6 000元．‎ 思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．‎ ‎(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．‎ ‎(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．‎ 跟踪训练3 (1)(2018·赤峰模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为 ．‎ 答案　f(x)＝sin 解析　根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2，可得＝2，解得T＝4，‎ 故ω＝＝，即f(x)＝sin.‎ 又函数图象过点，‎ 故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，‎ 又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin.‎ ‎(2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为 ．‎ 答案　π 解析　∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．‎ 又f(x)在上有且只有一个零点，‎ ‎∴<≤－，∴0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案　B 解析　由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎4．若函数y＝sin(ωx－φ)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 答案　A 解析　由题图可知，T＝2＝π，‎ 所以ω＝＝2，又sin＝0，‎ 所以－φ＝2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝－2kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|<，所以φ＝，故选A.‎ ‎5．将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得f(x)＝2sin，‎ 因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，‎ 所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，‎ 即a＝kπ＋，k∈Z，‎ 又a>0，所以a＝kπ＋，k∈N.‎ 因此正数a的最小值是，故选B.‎ ‎6．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)‎ A. B．2 C．1 D. 答案　C 解析　依题意得，函数f ＝sin(ω>0)的图象过点，‎ 于是有f ＝sin＝sin ωπ＝0(ω>0)，‎ 所以ωπ＝kπ，k∈N＋，即ω＝k，k∈N＋，‎ 因此正数ω的最小值是1，故选C.‎ ‎7.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.‎ 答案　 解析　由题干图象知＝2×＝，所以ω＝2.‎ 因为2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 又|φ|<，所以φ＝，‎ 这时f(x)＝Atan.‎ 又函数图象过点(0,1)，代入上式得A＝1，所以f(x)＝tan.‎ 所以f ＝tan＝.‎ ‎8.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)＝________.‎ 答案　2sin 解析　由已知得＝，∴T＝，‎ 又T＝，∴ω＝3.‎ ‎∵f(0)＝1，∴sin φ＝，‎ 又∵0<φ<，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin(经检验满足题意)．‎ ‎9．(2018·铁岭模拟)已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．‎ 答案　 解析　画出函数的图象如图所示．‎ 由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，‎ 因为f ＝cos ＝－且f ＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是，只要≤m≤，即m∈.‎ ‎10．(2018·包头调研)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．‎ 答案　 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，‎ 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，‎ 所以ω＝.‎ ‎11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，‎ ‎∴ω＝＝2.‎ 故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，‎ ‎∴5sin＝0，‎ 由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|<，∴φ＝－，‎ ‎∴y＝5sin.‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．‎ 解　(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，得ω＝1，‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin ‎＝sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，‎ 可得sin＝0，即sin＝0，‎ 所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，‎ 因为m>0，‎ 所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.‎ 此时，g(x)＝sin.‎ 因为x∈，‎ 所以2x＋∈.‎ 当2x＋∈，‎ 即x∈时，g(x)单调递增，‎ 当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．‎ 综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.‎ ‎13．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为________．‎ 答案　 解析　g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)，‎ 若f(x)，g(x)的图象都经过点P，‎ 所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，‎ 又－<θ<，‎ 所以θ＝，sin＝.‎ 又0<φ<π，所以－<－2φ<，‎ 所以－2φ＝－.即φ＝.‎ ‎14．(2018·大连模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1‎ 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)．‎ 由2sin＝1，‎ 得sin＝，‎ ‎∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)．‎ 令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝，‎ ‎∴x1＝0，x2＝.‎ 由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.‎ 故f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎15．已知函数y＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x＝对称．该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，C＝90°，则f的值为________．‎ 答案　 解析　依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝sin(πx＋φ)．‎ 又f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴f ＝sin＝±.‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，‎ ‎∴φ＝，∴f(x)＝sin，‎ ‎∴f ＝sin＝.‎ ‎16．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，求实数m的取值范围．‎ 解　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，‎ ‎∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.‎ ‎∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin＝，‎ ‎∴A＝，∴f(x)＝sin－.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋＝，‎ 即x＝时，f(x)min＝－－＝－2.‎ 令m2－3m≥－2，解得m≥2或m≤1.‎