2018-2019学年山东省滨州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省滨州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省滨州市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知幂函数的图象过点，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后将代入求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设，将点代入得，解得，则，‎ 所以，答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.‎ ‎2．函数的零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，，，，，故有，所以函数的零点所在的一个区间是．故选D．‎ ‎【考点】零点存在性定理（函数零点的判定）．‎ ‎3．如图，在矩形中，是两条对角线的交点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量加减法的三角形法则即可求解.‎ ‎【详解】‎ 原式=，答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查向量的加减法运算，属于基础题.‎ ‎4．设，，，则的大小顺序是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对应指数函数或对数函数的单调性，分别得到其与中间值0,1的大小比较，从而判断的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为底数2>1，则在R上为增函数，所以有；‎ 因为底数，则为上的减函数，所以有；‎ 因为底数，所以为上的减函数，所以有；‎ 所以，答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题为比较大小的题型，常利用函数单调性法以及中间值法进行大小比较，属于基础题.‎ ‎5．下列四个函数中，与函数相等的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别化简每个选项的解析式并求出定义域，再判断是否与相等.‎ ‎【详解】‎ A选项：解析式为，定义域为R，解析式不相同；‎ B选项：解析式为，定义域为，定义域不相同；‎ C选项：解析式为，定义域为，定义域不相同；‎ D选项：解析式为，定义域为R，符合条件，答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 函数相等主要看：（1）解析式相同；（2）定义域相同.属于基础题.‎ ‎6．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使得有意义，要满足真数大于0，且分母不能为0，即可求出定义域.‎ ‎【详解】‎ 要使得有意义，则要满足，解得.答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 常见的定义域求解要满足：（1）分式：分母0；‎ ‎（2）偶次根式：被开方数0；‎ ‎（3）0次幂：底数0；‎ ‎（4）对数式：真数，底数且；‎ ‎（5）：；‎ ‎7．已知向量，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.‎ B项：利用向量模的公式即可判断.‎ C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.‎ D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.‎ ‎【详解】‎ A选项：因为，，所以与不共线.‎ B选项：，，显然，不正确.‎ C选项：因为，所以，不正确；‎ D选项：因为，所以，正确；答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.‎ ‎8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可以得到周期，然后利用周期公式求，再将特殊点代入即可求得的表达式，结合的范围即可确定的值.‎ ‎【详解】‎ 由图可知，，则，所以，‎ 则.将点代入得，‎ 即 ，解得，‎ 因为，所以.答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 已知图像求函数解析式的问题：‎ ‎（1）：一般由图像求出周期，然后利用公式求解.‎ ‎（2）：一般根据图像的最大值或者最小值即可求得.‎ ‎（3）：一般将已知点代入即可求得.‎ ‎9．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的余弦公式即可求得式子的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 则，答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式的运用.属于基础题.‎ ‎10．已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则（ ）‎ A．4 B．2 C．-2 D．-4‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用周期性将转化为，再利用奇函数的性质将转化成，然后利用时的函数表达式即可求值.‎ ‎【详解】‎ 由可知，为周期函数，周期为，‎ 所以，又因为为奇函数，有，‎ 因为，所以，答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查函数的周期性，奇偶性的应用，属于中档题.‎ 二、多选题 ‎11．设全集，集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．集合的真子集个数为8‎ ‎【答案】AC ‎【解析】利用集合的交并补运算法则，以及集合真子集个数计算公式即可判断.‎ ‎【详解】‎ A选项：由题意，，正确；‎ B选项：，不正确；‎ C选项：，正确；‎ D选项：集合A的真子集个数有，不正确；‎ 所以答案选AC.‎ ‎【点睛】‎ 主要考察集合的交、并、补运算，以及集合子集个数问题：如果集合A含有n个元素，则：（1）子集个数：；‎ ‎（2）真子集个数：；‎ ‎（3）非空子集个数：；‎ ‎（4）非空真子集个数：.‎ ‎12．已知函数，则（ ）‎ A． B．函数的图象与轴有两个交点 C．函数的最小值为-4 D．函数的最大值为4‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】A项：代入求值即可判断.B项：将函数图像与轴的交点问题转化为对应方程根的问题即可判断.C、D项涉及到函数最值问题，将其配方之后便可判断.‎ ‎【详解】‎ A选项：，正确；‎ B选项：因为，令得：‎ ‎，即得或，所以或，‎ 即的图像与有两个交点，正确.‎ C选项：因为，所以当，即时，‎ ‎，正确.‎ D选项：由上可知，没有最大值.‎ 所以答案为ABC.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查函数求值，函数图像与轴交点个数问题以及函数最值问题.对于函数图像与轴交点个数问题，经常利用以下等价条件进行转化：函数零点问题方程根的问题函数图像与轴交点横坐标的问题；对于与二次函数复合的函数最值问题经常利用换元法以及配方法进行求解.‎ ‎13．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）‎ A．把上所有的点向右平移个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线 B．把上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线 ‎【答案】BD ‎【解析】根据左右平移变换以及伸缩变换相关结论即可判断，但要注意变换的顺序引起的变化.‎ ‎【详解】‎ 先平移变换后伸缩变换：先把上所有点向左平移个单位长度得到，又因为，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线，B选项正确.‎ 先伸缩变换后平移变换：因为，所以先将上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到，又因为： ，则再把所得图像上所有点向左平移个单位长度，即可得到，D选项正确.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数图像变换主要包括平移变换、周期变换、振幅变换。‎ 平移变换（左右）：将图像上所有点向左（右）平移个单位长度，得到（）；‎ 周期变换：若，则将上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到；若，则将上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到；‎ 振幅变换：若，则将上各点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到；若，则将上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到；‎ 三、填空题 ‎14．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】逆用两角差的正切公式即可求得.‎ ‎【详解】‎ 原式.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查两角差的正切公式的运用，属于基础题.‎ ‎15．设函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据2的范围确定表达式，求出；后再根据的范围确定表达式，求出.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 分段函数求值问题，要先根据自变量的范围，确定表达式，然后代入求值。要注意由内而外求值，属于基础题.‎ ‎16．一个扇形的中心角为3弧度，其周长为10，则该扇形的面积为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】利用弧长公式以及扇形周长公式即可解出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，弧长为，则，解得，所以，‎ 答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查弧长公式、扇形的周长公式以及面积公式，属于基础题.‎ ‎17．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在上的单调性即可转化为，然后求得的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为为R上偶函数，则，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 因为为上的减函数，，所以，‎ 解得，所以，的范围为.‎ ‎【点睛】‎ ‎1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；‎ ‎（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.‎ ‎2.偶函数的性质：；奇函数性质：；‎ ‎3.若在D上为增函数，对于任意，都有；‎ 若在D上为减函数，对于任意，都有.‎ 四、解答题 ‎18．（1）求值：；‎ ‎（2）已知，，试用表示.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先将小数转化为分数并约简，然后各式化成指数幂的形式，再利用指数运算法则即可化简求值.‎ ‎（2）先利用对数的换底公式，以及相关的运算公式将转化为以表示的式子，然后换成m，n即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 主要考查指数幂运算公式以及对数的运算公式的应用，属于基础题.‎ ‎19．已知向量满足，.‎ ‎（1）若的夹角为，求；‎ ‎（2）若，求与的夹角.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用公式即可求得;‎ ‎（2）利用向量垂直的等价条件以及夹角公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知，得，‎ 所以 ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 所以，‎ 即，‎ 所以.‎ 又，‎ 所以，即与的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查向量模、夹角的求解，数量积的计算以及向量垂直的等价条件的运用.属于基础题.‎ ‎20．（1）写出下列两组诱导公式：‎ ‎①关于与的诱导公式；‎ ‎②关于与的诱导公式.‎ ‎（2）从上述①②两组诱导公式中任选一组，用任意角的三角函数定义给出证明.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】（1）按要求写出对应公式即可.（2‎ ‎）利用任意角定义以及对称性即可证明对应公式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）①，，.‎ ‎②，，.‎ ‎（2）①证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为.‎ 由于角的终边与角的终边关于轴对称，‎ 因此角的终边与单位圆的交点与点关于轴对称，‎ 所以点的坐标是.‎ 由任意角的三角函数定义得，‎ ‎，，；‎ ‎，，.‎ 所以，，..‎ ‎②证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为.‎ 由于角的终边与角的终边关于轴对称，‎ 因此角的终边与单位圆的交点与点关于轴对称，‎ 所以点的坐标是.‎ 由任意角的三角函数定义得，‎ ‎，，；‎ ‎，，.‎ 所以，，.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查对诱导公式的掌握以及推导过程，熟练运用任意角三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎21．已知 的图象上相邻两对称轴的距离为.‎ ‎（1）若，求的递增区间；‎ ‎（2）若时，若的最大值与最小值之和为5，求的值.‎ ‎【答案】(1) 增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z (2) ‎ ‎【解析】试题分析：首先根据已知条件，求出周期，进而求出的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间，，即可求出的递增区间 由确定出的函数解析式，根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到的值 解析：已知 由，则T＝π＝，∴w＝2‎ ‎∴‎ ‎（1）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ则－＋kπ≤x≤＋kπ 故f(x)的增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z ‎ ‎（2）当x∈[0, ]时，≤2x＋≤ ‎ ‎∴sin(2x＋)∈[－, 1] ‎ ‎∴∴‎ 点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题。‎ ‎22．已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用函数单调性的定义证明在上是减函数.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）既可以利用奇函数的定义求得的值，也可以利用在处有意义的奇函数的性质求，但要注意证明该值使得函数是奇函数.‎ ‎（2）按照函数单调性定义法证明步骤证明即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）解法一：因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 解法二：因为函数是定义在上的奇函数，所以，‎ 即，解得.‎ 当时，.‎ 因为 ‎，‎ 所以当时，函数是定义域为的奇函数.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 对于任意的，且，‎ 则 ‎.‎ 因为，所以，则，‎ 而，所以，即.‎ 所以函数在上是减函数.‎ ‎【点睛】‎ 已知函数奇偶性求参数值的方法有：‎ ‎（1）利用定义（偶函数）或（奇函数）求解.‎ ‎（2）利用性质：如果为奇函数，且在处有意义，则有；‎ ‎（3）结合定义利用特殊值法，求出参数值.‎ 定义法证明单调性：（1）取值；（2）作差（作商）；（3）变形；（4）定号（与1比较）；（5）下结论.‎ ‎23．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：10天）的数据如下表：‎ 时间 ‎5‎ ‎11‎ ‎25‎ 种植成本 ‎15‎ ‎10.8‎ ‎15‎ ‎（1）根据上表数据，从下列函数：，，，中（其中），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系；‎ ‎（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.‎ ‎【答案】（1）；（2）该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/）.‎ ‎【解析】（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数.‎ ‎（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）以上市时间（单位：10天）为横坐标，以种植成本（单位/）为纵坐标，画出散点图（如图）.‎ 根据点的分布特征，，，这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，‎ 所以选取函数模型进行描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系.‎ 将表格所提供的三组数据分别代入，‎ 得 解得 所以，描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系的函数为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以当时，的最小值为10，‎ 即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/）.‎ ‎【点睛】‎ 判断模型的步骤：（1）作出散点图；‎ ‎（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；‎ 二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.‎