2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 22平面向量的概念及线性运算

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 22平面向量的概念及线性运算

考点规范练22　平面向量的概念及线性运算 基础巩固组 ‎1.‎ 如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为(　　)‎ A.3e1-2e2‎ B.-3e1-3e2‎ C.2e1+3e2‎ D.3e1+2e2‎ ‎2.在△ABC中,AB=c,AC=b,若点D满足BD=2DC,则AD=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎2‎‎3‎b+‎1‎‎3‎c B.‎5‎‎3‎c-‎2‎‎3‎b C.‎2‎‎3‎b-‎1‎‎3‎c D.‎1‎‎3‎b+‎2‎‎3‎c ‎3.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a‎|a|‎‎=‎b‎|b|‎成立的充分条件是(　　)‎ A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|‎ ‎4.‎ 如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD=λAC+μAE,则λ-μ的值为(　　)‎ A.3 B.2‎ C.1 D.-3‎ ‎5.(2017浙江嘉兴测试)设点M是线段AB的中点,点C在直线AB外,|AB|=6,|CA‎+‎CB|=|CA‎-‎CB|,则|CM|=(　　)‎ A.12 B.6 C.3 D.‎‎3‎‎2‎ ‎6.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题有　　　　　(填序号). ‎ ‎7.(2017浙江绍兴质检)设点P是△ABC所在平面内的一点,且BC‎+‎BA=2BP,则PC‎+‎PA=　　　　　. ‎ ‎8.(2017浙江嘉兴七校联考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=‎1‎‎2‎AB,BE=‎2‎‎3‎BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1=　　　　　,λ2=　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.在△ABC中,N为边AC上一点,且AN‎=‎‎1‎‎3‎NC,P是BN上一点,若AP=mAB‎+‎‎2‎‎11‎AC,则实数m的值为(　　)‎ A.‎9‎‎11‎ B.‎5‎‎11‎ C.‎4‎‎11‎ D.‎‎3‎‎11‎ ‎10.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA‎|CA|‎‎+‎CB‎|CB|‎,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b B.‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b C.‎1‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b D.‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b ‎11.(2017浙江温州八校检测)设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为(　　)‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎12.(2017浙江宁波大学附中)在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=‎2‎‎6‎‎7‎.若动点P满足AP=(1-λ)AB‎+‎‎2λ‎3‎AC(λ∈R),则点P的轨迹与直线BC,AC所围成的封闭区域的面积为(　　)‎ A.5 B.10 C.2‎6‎ D.4‎‎6‎ ‎13.‎ 在Rt△ABC中,∠C是直角,CA=4,CB=3,△ABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若CP=xCD+yCE,则x+y的值可以是(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎14.(2017浙江吴越联考)已知△ABC和点M,满足MA‎+MB+‎MC=0,若存在实数m,使得AB‎+‎AC=mAM成立,则点M是△ABC的　　　　　,实数m=　　　　　. ‎ ‎15.‎ ‎(2017浙江湖州模拟)如图,在△ABC中,AD=2DB,AE=‎1‎‎2‎EC,BE与CD相交于点P,若AP=xAB+yAC(x,y∈R),则x=　　　　　,y=　　　　　. ‎ ‎16.‎ 如图所示,A,B分别是射线OM,ON上的两点(不与O点重合),给出下列向量:①OA+2OB;②‎1‎‎2‎OA‎+‎‎1‎‎3‎OB;③‎3‎‎4‎OA‎+‎‎1‎‎3‎OB;④‎3‎‎4‎OA‎+‎‎1‎‎5‎OB;⑤‎3‎‎4‎OA‎-‎‎1‎‎5‎OB.若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有　　　　　. ‎ ‎17.设两个非零向量a与b不共线.‎ ‎(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.‎ 答案：‎ ‎1.D　由题意,得a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+2e2=3e1+2e2,故选D.‎ ‎2.A　AD‎=AB+BD=AB+‎2‎‎3‎(AC-‎AB)=c+‎2‎‎3‎(b-c)=‎2‎‎3‎b+‎1‎‎3‎c.故选A.‎ ‎3.C　a‎|a|‎‎=b‎|b|‎⇔‎a=‎|a|b‎|b|‎‎⇔‎a与b共线且同向⇔a=λb且λ>0.B,D选项中a和b可能反向.A选项中λ<0,不符合λ>0.故选C.‎ ‎4.D　∵E是DC的中点,‎∴AE=‎1‎‎2‎(AC+‎AD).‎ ‎∴‎AD‎=-AC+2AE‎.∴‎λ=-1,μ=2,λ-μ=-1-2=-3.‎ ‎5.C　∵|CA‎+‎CB|=2|CM|,|CA‎-‎CB|=|BA|,∴2|CM|=|BA|=6,∴|CM|=3,故选C.‎ ‎6.①②③　向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③是假命题.‎ ‎7.0　因为BC‎+‎BA=2BP,由平行四边形法则知,点P为AC的中点,故PC‎+‎PA=0.‎ ‎8.‎ ‎-‎1‎‎6‎‎　‎‎2‎‎3‎　如图所示,DE‎=BE-BD=‎2‎‎3‎BC-‎1‎‎2‎BA=‎2‎‎3‎(AC-‎AB)+‎1‎‎2‎AB=-‎1‎‎6‎AB‎+‎2‎‎3‎AC.‎又DE=λ1AB+λ2AC,且AB与AC不共线,所以λ1=-‎1‎‎6‎,λ2=‎‎2‎‎3‎‎.‎ ‎9.D　由AP=mAB‎+‎‎2‎‎11‎AC,得AP=mAB‎+‎2‎‎11‎×‎4AN=mAB‎+‎8‎‎11‎AN.‎因为点B,P,N三点共线,所以m+‎8‎‎11‎=1,即m=‎‎3‎‎11‎‎.‎ ‎10.A　由题意知,CD是∠ACB的角平分线,‎ 故CD‎=CA+AD=CA+‎2‎‎3‎AB=CA+‎2‎‎3‎(CB-‎CA)‎ ‎=‎2‎‎3‎CB‎+‎1‎‎3‎CA=‎‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b,故选A.‎ ‎11.B　‎∵‎BC=a+b,CD=a-2b,‎ ‎∴BD=BC+‎CD‎=2a-b.‎ 由A,B,D三点共线,知AB‎,‎BD共线.‎ 设AB=λBD,∴2a+pb=λ(2a-b),‎ ‎∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1.‎ ‎12.A　设AD‎=‎‎2‎‎3‎AC,‎ ‎∵‎AP‎=(1-λ)AB‎+‎‎2λ‎3‎AC=(1-λ)AB+λAD,‎ ‎∴B,D,P三点共线.‎ ‎∴P点轨迹为直线BD.‎ 在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=‎2‎‎6‎‎7‎,‎ ‎∴sin C=‎5‎‎7‎‎.∴‎S△ABC=‎1‎‎2‎‎×‎7×6‎×‎‎5‎‎7‎=15,‎ ‎∴S△BCD=‎1‎‎3‎S△ABC=5.‎ ‎13.‎ B　设圆心为O,半径为r,则OD⊥AC,OE⊥BC,∴3-r+4-r=5,解得r=1.‎ 连接DE,则当x+y=1时,P在线段DE上,排除A;‎ 在AC上取点M,在CB上取点N,使得CM=2CD,CN=2CE,连接MN,‎ ‎∴CP=x‎2‎CM+y‎2‎CN.‎ 则点P在线段MN上时,x‎2‎‎+‎y‎2‎=1,故x+y=2.‎ 同理,当x+y=4或x+y=8时,P点不在三角形内部,排除C,D.故选B.‎ ‎14.重心　3　由MA‎+MB+‎MC=0知,点M为△ABC的重心.设点D为底边BC的中点,‎ 则AM‎=‎2‎‎3‎AD=‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎(AB+‎AC)=‎1‎‎3‎‎(AB+‎AC),‎ 所以有AB‎+‎AC=3AM,故m=3.‎ ‎15‎.‎4‎‎7‎　‎‎1‎‎7‎　由题可知AP‎=AD+DP=‎AD+‎λDC ‎=AD+λ(BC‎-‎BD)‎ ‎=‎2‎‎3‎AB+‎λAC‎-AB-‎‎1‎‎3‎BA ‎=‎2‎‎3‎(1-λ)AB+‎λAC.‎ 又AP‎=AE+EP=‎AE+μEB=‎AE+μ(CB‎-‎CE)‎ ‎=‎1‎‎3‎AC+‎μAB‎-AC-‎‎2‎‎3‎CA ‎=μAB+‎‎1‎‎3‎(1-μ)AC,‎ 所以可得‎2‎‎3‎‎(1-λ)=μ,‎‎1‎‎3‎‎(1-μ)=λ,‎解得λ=‎1‎‎7‎,‎μ=‎4‎‎7‎,‎ 故AP‎=‎4‎‎7‎AB+‎‎1‎‎7‎AC,所以x=‎4‎‎7‎,y=‎‎1‎‎7‎‎.‎ ‎16.②④‎ ‎17.(1)证明 ‎∵‎AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),‎ ‎∴BD=BC+‎CD‎=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,‎ ‎∴AB,‎BD共线.‎ ‎∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,‎ ‎∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),‎ 即(k-λ)a=(λk-1)b.‎ 又a,b是两个不共线的非零向量,‎ ‎∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.‎