数学（理）卷·2018届福建省南安第一中学高三上学期期末考试（2018

数学（理）卷·2018届福建省南安第一中学高三上学期期末考试（2018

南安一中2017～2018学年上学期高三年期末考试(理科数学)一、选择题：(每小题5分，共60分)‎ ‎1.已知全集，设集合，集合则=（ ） A． B． C． D．‎ ‎2.如图，将半径为的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分),‎ 现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(　　)‎ A. B. C． D.‎ ‎3.若复数满足，则复数的虚部为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知是公差为的等差数列,为的前项和,若,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知函数，则＋等于(　　)‎ A． B. C． D．‎ ‎6.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B． C． D．‎ ‎7.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图 中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)‎ A． B. C． D．‎ ‎8.如图,给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是(　　)‎ A. B． ‎ C． D．‎ ‎9.已知双曲线 的一条渐近线方程为，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知函数( 均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 11. 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：(每小题5分，满分20分)‎ ‎13.已知向量，,若，则实数的值为 .‎ ‎14. 若实数满足不等式组，则的最大值和最小值之和为 .‎ ‎15. 某运动队对四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛,在选拔结果公布前,‎ 甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是或参加比赛”；乙说：“是参加比赛”；丙说：“都未参加比赛”；丁说：“是参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的,则获得参赛的运动员是 .‎ ‎16．在△中，若，点，分别是，的中点，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)‎ ‎17.(12分）已知数列的前项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎18.(12分）矩形中， ， ，点为中点，沿将折起至，如下图所示，点在面的射影落在上.‎ （1） 求证： ； ‎ （2） 求二面角的余弦值.‎ ‎19．(12分）2018年某市创建文明城市圆满结束，成绩优异.在创建文明城市过程中，为增强市民的节能环保意识,该市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：．‎ ‎（1）求图中的值,并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；‎ ‎（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中随机选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎20.（12分)已知椭圆过点两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，‎ 求证：四边形的面积为定值．‎ ‎21.（12分) 已知函数.‎ ‎(1) 设，求函数的单调区间；‎ ‎(2) 若, 设， 为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明： .‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分。‎ 22. ‎（10分)在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. ‎ ‎(1)求圆的圆心到直线的距离；‎ ‎(2)设圆与直线交于点、.若点的坐标为，求.‎ ‎23.（10分)已知函数错误！未找到引用源。.‎ ‎（1）求错误！未找到引用源。的图象与轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）设错误！未找到引用源。，若对错误！未找到引用源。恒有错误！未找到引用源。成立，求实数的取值范围.‎ 南安一中2017～2018学年上学期高三年期末考试理科数学参考答案 ‎ 一、 选择题：（5×12=60）‎ ‎（1） C （2） A （3） B （4） B （5） D （6） D ‎（7） C （8） C （9） C （10） A （11） B （12） C 二、填空题：（4×5=20）‎ ‎（13）； （14）； (15) ； （16） ． ‎ ‎11.【解析】设直线的方程为，点，直线与轴交点 为∴联立，可得，根据韦达定理得。‎ ‎∵∴，即 ‎∵位于轴的两侧∴ ∴ ‎ 设点在轴的上方，则 ∵‎ ‎∴‎ 当且仅当，即时取等号 ∴的最小值是 12. ‎【解析】由题意可知, ,即, ‎ ‎,设,由,可知,在上为减函数,在上为增函数, 的图象恒过点,在同一坐标系中作出的图象：若有且只有两个整数,使得,且,则,即 ‎,解得.‎ ‎16.【解析】为中点，由得，‎ 同理可得，已知,，，‎ ‎，设，‎ 结合，由.‎ ‎, 故答案为.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）当时, ，……3分 当时， 适合上式， …………………………………………4分 ‎ ． …………………………………………5分 (2) 令， 所以 ， ‎ ‎ ， …………………………………………7分 两式相减得：‎ ‎…………………………………………8分 ‎…………………………………………10分 ‎ …………………11分 故………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由条件，点在平面的射影落在上 平面平面， …………………………1分 ‎…………………………3分 平面，………………………………………………………………5分 而平面…………………………………………6分 ‎（2）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系．‎ 则， ， ， …………………8分 设平面的法向量为 则，即，令，可得 设平面的法向量为 则，即，令，可得…………………10分 ‎ ………………11分 考虑到二面角为钝二面角，则二面角的余弦值为．……12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除外的频率和为0.70，…………(2分)‎ 所以，…………(4分)‎ 所以500名志愿者中，年龄在岁的人数为(人)；…………(5分)‎ ‎（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，‎ 则其中年龄 “低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．…………(6分)‎ 故的可能取值为0,1,2,3，‎ ‎，，‎ ‎，,………… (8分)‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………(11分)‎ 所以．…………(12分)‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意得，，‎ 所以椭圆的方程为，…………(2分)‎ 又,所以离心率…………(5分)‎ ‎（2）设，则，‎ 又，所以直线的方程为，‎ 令，得，…………(7分)‎ 从而，直线的方程为．‎ 令，得，从而，…………(9分)‎ 所以四边形的面积：‎ 从而四边形的面积为定值…………(12分)‎ ‎21.（本小题满分12分） ‎ ‎ 解：(1) , ……………………1分 ‎①时， 定义域为 当 时，故在上单调递减；‎ 当时，故在上单调递增. ………………3分 ‎②时， 定义域为 当 时，故在上单调递增；‎ 当时，故在上单调递减. ………………5分 ‎(2) ‎ ‎ ，故在定义域上单调递增.…………7分 只需证： ，即证 () ‎ 注意到 不妨设. ‎ 令，………9分 则 ，……………11分 从而在上单减，故， 即得()式. ………………12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ 解：（1）.由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，……(1分)‎ 即圆C的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝5。……(2分)‎ 由……(3分)‎ 可得直线l的普通方程为x＋y－－3＝0。……(4分)‎ 所以圆C的圆心(0，)到直线l的距离为＝。………(5分)‎ ‎（2）.将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，可得 t2－3t＋4＝0。…………………………(6分)‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两个实根，‎ 所以当…………(8分)‎ 又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得 ‎|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3。……………………………(10分)‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。…………(2分)，‎ ‎∴错误！未找到引用源。的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，(3分)‎ ‎∴错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。的图象与轴围成的三角形面积是错误！未找到引用源。．…………(5分)‎ ‎（Ⅱ）∵错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，∴当且仅当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。有最小值错误！未找到引用源。．…………(7分)‎ 又由（Ⅰ）可知，对错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．…………(8分)‎ 错误！未找到引用源。恒有错误！未找到引用源。成立，等价于错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，(9分)‎ 等价于错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，∴实数的取值范围是错误！未找到引用源。．………(10分)‎