2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．过点(－4， )和点(－1,0)的直线的倾斜角是(　　)‎ A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】两点构成的直线的斜率为,因为 ‎ 故答案选B.‎ ‎2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知椭圆短轴长为2,所以 又因为，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为6，设点为P则又因为 ， 则由以上条件知椭圆方程为 .‎ 故答案为A.‎ ‎3．直线l1：3kx＋(2－k)y－3＝0和l2：(k－2)x＋(k＋2)y－2＝0互相垂直，则实数k的值是(　　)‎ A. －2或－1 B. 2或1 C. －2或1 D. 2或－1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两条直线垂直的充要条件的到 ‎ 得到 ‎ 故答案选择B.‎ ‎4．已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则实数m的值是(　　)‎ A. 3 B. 5 C. 7 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的长轴在y轴上，‎ 则a2=m﹣2，b2=8﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣10．‎ 由焦距为4，即2c=4，即有c=2．‎ 即有2m﹣10=4，解得m=7．‎ 故答案为：7.‎ ‎5．直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：3x＋(a－2)y＋a2－4＝0平行，则实数a的值是(　　)‎ A. －1或3 B. －1 C. －3或1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由两条直线平行的充要条件的到 ‎ 当 时两条直线重合，所以舍去；所以得到 故答案选择D.‎ ‎6．点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），‎ 又P（-1，1），∴kPC= =1，‎ ‎∴弦AB所在的直线方程斜率为2，又P为AB的中点，‎ 则直线AB的方程为 .‎ 故选：C．‎ ‎7．对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件知，可以整理为 故直线过定点 ，圆的方程为 化简后为.‎ 故答案选A.‎ ‎8．经过点且被圆截得的弦长为的直线方程是（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】设圆心为 ，圆心到直线的距离可以应用圆当中的垂径定理，构造直角三角形得到，‎ ‎ ，设直线方程为 ，整理成一般式为 圆心到直线的距离为 ，解得 ，代入直线方程得.‎ 当直线斜率不存在时， ；综上或；‎ 故答案选D.‎ ‎9．已知M是椭圆上一点，F1、F2、A分别是椭圆的左、右焦点和右顶点，N是MF1的中点， 且4，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. 或 C. D. 或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】F1、F2、A分别是椭圆的左、右焦点和右顶点，N是MF1的中点，所以 是三角形 的中位线， 由条件知道 4，即 ，又因为 ，所以得到 ‎ 解得 ‎ 故答案为C.‎ ‎10．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则的最大值为(　　)‎ A. 5 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0的标准方程为（x+a）2+y2=4；圆C2：x2+y2﹣2bx﹣1+b2=0的标准方程为x2+（y﹣b）2=1∵两圆外切，∴ =3,∵a2+b2≥2ab,∴ab ,‎ 故选：C．‎ ‎11．已知圆，P是轴上的动点，PA、PB分别切圆C于A、B两点，则四边形CAPB的面积的最小值是（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】四边形CAPB的面积等于三角形PBC面积的二倍，三角形PBC面积等于 ‎ ，PC即轴上的动点P到定点圆心的距离，最小为3，代入的到=，故结果选C.‎ 点睛：要计算四边形的面积，首先对四边形的面积进行分割，为两个直角三角形，高为定值 即半径1，底是切线长度PB，将PB转化为，一般和圆上的点的距离有关的都转化为圆心距离，这一点也很重要.‎ ‎12．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画图知道圆的半径为 ，要想圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，需要求圆心到直线的距离的范围为 ，‎ 代入公式得 ，化简为 ，等式两边同除 ‎ 得到 . 直线的斜率为 ，结合 的图像得到.‎ 故选D.‎ 点睛：先由数形结合得到，有三个交点时直线的变化范围，得到圆心到直线的距离的范围为，转化为圆心到直线的距离，得到，而直线的斜率为 因此，在解方程时用到了同除，得到，最终再结合正切的图像得到结果.‎ 二、填空题 ‎13．直线l过点P(2,0)且与直线有相同的纵截距，则直线l的方程为_____________．‎ ‎【答案】3x＋y－6＝0‎ ‎【解析】设直线方程为 ，代入P(2,0)，得到 ，故得到3x＋y－6＝0.‎ 故结果为3x＋y－6＝0.‎ ‎14．已知椭圆的离心率，则的值为________.‎ ‎【答案】1或16‎ ‎【解析】∵椭圆方程为，‎ ‎∴①当椭圆焦点在x轴上时，a2=4，b2=m，可得c= ，‎ 离心率e= = ，解得1；‎ ‎②当椭圆焦点在y轴上时，a2=m，b2=4，可得c=‎ 离心率e= =，解得m=16．‎ 综上所述m=16或m=1‎ 故选：D．‎ 点睛：分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值．最后两种情况.‎ ‎15．若点A（2,0）关于直线的对称点为B，则点B的坐标为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点A（2，0）关于直线对称的对称点为点B（a，b），则AB与直线垂直，且AB的中点 在直线上，故有 ，‎ 解得 ，故点B的坐标为，‎ 故答案为： ．‎ ‎16．当曲线与直线有交点时，实数b的取值范围是 ‎_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线，即x2+（y﹣1）2=9（y≥1），‎ 表示以M（0，1）为圆心，半径等于3的一个半圆．‎ 直线斜率为定值1．‎ 再根据半圆和直线有交点， ‎ 由题意可得，A（﹣3，1）、B（3，1）、C（0，4），‎ 直线过B（3，1），和半圆相较于1个交点．‎ 求得b=-2， ‎ 当直线和圆相切时达到最大值， ‎ 解得 ，故当直线在这两个临界直线之间运动时都和圆有交点，实数b的取值范围；‎ 故选C．‎ 点睛：图像的交点问题，先化简曲线，即x2+（y﹣1）2=9（y≥1）‎ 注意是上半个圆，画出图像，找直线和半圆有交点即可，临界分别是直线过圆的右顶点和直线与圆相切两种情况；‎ 三、解答题 ‎17．已知直线， ， .‎ ‎（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；‎ ‎（2）若//，求与的距离.‎ ‎【答案】(1) P的坐标为或;(2) 与的距离.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出点坐标P（t,t），在上所以将点坐标代入，到直线的距离为，故得到，解方程即可；（2）//，可根据两直线平行的条件求得，再由平行线的距离公式得到.‎ ‎(1)设P（t,t）,由，得 ‎∴或6 ∴P的坐标为或 ‎ ‎（2）由//得 ‎∴， 即 ‎∴与的距离 ‎18．圆满足下列条件：圆心C在直线上，与直线相切于点P,求圆的方程.‎ ‎【答案】圆方程为.‎ ‎【解析】试题分析：圆心C在直线上，可以找到圆心的横纵坐标的关系，与直线相切于点P，即圆心到直线的距离为半径；列出方程组，解出即可；‎ 可设圆的标准方程为： ，则根据题意可得： ‎ ‎，解方程组可得，‎ 即得圆方程为.‎ ‎19．已知直线不过原点.‎ ‎（1）求过点且与直线垂直的直线的方程；‎ ‎（2）直线与两坐标轴相交于A、B两点，若直线与点A、B的距离相等，且过原点，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线垂直，可以求得直线的斜率为-2，再知道过点直线方程为；（2）分别设出直线与两坐标轴的交点分别为，因为直线与点A、B的距离相等，故可以推断出来∥AB 或过AB的中点，即可得出结果；‎ ‎(1)与直线垂直的直线的斜率为， ‎ 因为点在该直线上，所以所求直线方程为，‎ 故所求的直线方程为. ‎ ‎（2）直线与两坐标轴的交点分别为，‎ 则有∥AB或过AB的中点，‎ 当∥AB时， 的斜率为，当过AB的中点时，由于过原点，则斜率为，所以直线的方程为。‎ ‎20．设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(2)点M为该椭圆上任意一点，求|MA|的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 离心率e＝ (2) 的取值范围为[0， ].‎ ‎【解析】试题分析：（1）由△AB1B2是面积为1的等腰直角三角形知|OA|=|OB1|=1，从而求a，b，c即可；（2）求点点距离，设出点坐标M的坐标为(x0，y0)，再二元化一元即可；‎ ‎(1)设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0) (a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝ ，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，‎ 所以离心率e＝ .‎ 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝ ·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.‎ 由题设条件S△AB1B2＝2得b2＝1，从而a2＝5b2＝5，‎ 因此所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）A (0,1)．‎ 设点M的坐标为()，因为点M为椭圆上任意一点，代入椭圆 ＝5－5 .所以 因为－1≤y0≤1，所以 所以的取值范围为[0， ]．‎ ‎21．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝3相交于M、N两点． ‎ ‎(1)求实数k的取值范围； ‎ ‎(2)若点B(2,0)，且＝14，求实数k的值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．‎ ‎（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．‎ ‎（1）依题意得l的方程为，即 圆的圆心为（3,4）,半径为 ‎∵直线l与圆C相交于M、N两点． ‎ ‎∴,得，解得 ‎（2）设 ‎∵＝14 ∴ ‎ 由得 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎，整理得 解得或，∵ ∴‎ 点睛：直线和圆相较于两个不同点，转化为圆心到直线的距离问题；第二问向量坐标化，‎ 转化为两根之和，两根之积，韦达定理求解；‎ ‎22．在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1且关于直线l对称.‎ ‎(1)若圆心在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程；‎ ‎(2)点关于点的对称点为B，若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；‎ ‎（2）设出点C，M的坐标，利用，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．‎ ‎(1)由得圆心C为(1,-4),∵圆C的半径为1‎ ‎∴圆C的方程为: ‎ 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即 ∴∴ ‎ ‎∴所求圆C的切线方程为: 或者 ‎ ‎(2)依题意求得B(-1,1)‎ ‎∵圆C的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,a-5) ‎ 又∵‎ ‎∴设M为(x,y)，则 整理得: 设为圆D ‎ ‎∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点 ‎ ‎∴∴‎ 由得 由得 终上所述,a的取值范围为: ‎ 点睛：第一问，已知圆心在两条直线上，找两条直线的交点即可；再根据相切于直线，可以设出直线的斜率，列出防尘即可；第二问先根据对称性求出点的坐标，再根据|‎ 设出点坐标，找到点坐标的关系即可；‎