【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何第8讲曲线与方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第九章平面解析几何第8讲曲线与方程学案

第8讲　曲线与方程 最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.‎ 知 识 梳 理 ‎1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.‎ ‎2.求动点的轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建系——建立适当的坐标系.‎ ‎(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).‎ ‎(3)列式——列出动点P所满足的关系式.‎ ‎(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x，y的方程式，并化简.‎ ‎(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.‎ ‎3.两曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解.‎ 若此方程组无解，则两曲线无交点.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)‎ ‎(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)‎ 解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是(　　)‎ A.满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上 B.方程f(x，y)＝0是曲线C的方程 C.方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C D.以上说法都正确 解析　曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线的一部分，因此答案C正确.‎ 答案　C ‎3.已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)‎ A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.‎ 答案　C ‎4.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.‎ 解析　连接OP，则|OP|＝2，∴P点轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).‎ 答案　x2＋y2＝4(x≠±2)‎ ‎5.(选修2－1P35例1改编)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________.‎ 解析　曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.‎ 答案　2‎ ‎6.(2017·宁波月考)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，‎ ‎(1)当a＝3时，点P的轨迹是________；‎ ‎(2)当a≠3时，点P的轨迹是________.‎ 解析　∵a＋≥2＝6(a>0).‎ ‎(1)当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F‎1F2|，P点的轨迹为线段F‎1F2，‎ ‎(2)当a≠3，a>0时，|PF1|＋|PF2|>|F‎1F2|.‎ 由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆.‎ 答案　(1)线段F‎1F2　(2)椭圆 考点一　直接法求轨迹方程 ‎【例1】 (2017·义乌模拟)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.‎ ‎(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，‎ 由题意，|O‎1A|＝|O‎1M|，‎ 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点.‎ ‎∴|O‎1M|＝，‎ 又|O‎1A|＝，‎ ‎∴＝，化简得y2＝8x(x≠0).‎ 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx＋b代入y2＝8x中，‎ 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.‎ 其中Δ＝－32kb＋64>0.‎ 由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①‎ x1x2＝，②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③‎ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ>0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0).‎ 规律方法　利用直接法求轨迹方程 ‎(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.‎ ‎(2)运用直接法应注意的问题 ‎①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.‎ ‎②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.‎ ‎【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，‎ 且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为________.‎ 解析　因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).‎ 答案　x2＋3y2＝4(x≠±1)‎ 考点二　定义法求轨迹方程 ‎【例2】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.‎ 解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，‎ 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).‎ 规律方法　(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.‎ ‎(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.‎ ‎(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.‎ ‎【训练2】 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.‎ 解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.‎ 由|O1O2|＝4，得O1(－2，0)，O2(2，0).‎ 设动圆M的半径为r，‎ 则由动圆M与圆O1内切，‎ 有|MO1|＝r－1；‎ 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.‎ ‎∴|MO2|－|MO1|＝3.‎ ‎∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，‎ 实轴长为3的双曲线的左支.‎ ‎∴a＝，c＝2，‎ ‎∴b2＝c2－a2＝.‎ ‎∴点M的轨迹方程为－＝1.‎ 考点三　相关点法(代入法)求轨迹方程 ‎【例3】 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左，右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.‎ 解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0).‎ 设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，‎ 得B(x0，－y0)，‎ 设点M的坐标为(x，y)，‎ 直线AA1的方程为y＝(x＋3).①‎ 直线A2B的方程为y＝(x－3).②‎ 由①②相乘得y2＝(x2－9).③‎ 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④‎ 将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0).‎ 因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0).‎ 规律方法　“相关点法”的基本步骤：‎ ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)；‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.‎ ‎【训练3】 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF‎1F2的重心G的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)‎ C.＋3y2＝1(y≠0) D.x2＋＝1(y≠0)‎ 解析　依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，‎ G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得 即代入＋＝1，‎ 得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0).‎ 答案　C ‎[思想方法]‎ 求轨迹方程的常用方法 ‎1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.‎ ‎2.定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.‎ ‎3.相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.‎ ‎2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. ‎