2018届二轮复习（文） 集合与常用逻辑用语、不等式专题一第2讲学案（全国通用）
第2讲 不等式
1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点．
2．一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．
3．利用不等式解决实际问题．
热点一 不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
例1 (1)(2017届湖南衡阳八中月考)设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为( )
A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1,2)∪(，＋∞) D．(1,2)
答案 C
解析 令2ex－1>2(x<2)，解得1
2(x≥2)，解得x>，则不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(，＋∞)，故选C.
(2)(2017届湖南师大附中月考)若00的解集是________．
答案
解析 原不等式等价于(x－a)<0，
∵01的解集为________________．
答案 (－∞，－e)∪(e，＋∞)
解析 函数f(x)的解析式为f(x)＝
当x>0时，解f(x)＝ln x>1，得x>e，即x的取值范围是(e，＋∞)；当x<0时，解f(x)＝ln(－x)>1，
得x<－e，即x的取值范围是(－∞，－e)．
综上可得f(x)>1的解集为(－∞，－e)∪(e，＋∞)．
热点二 基本不等式的应用
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．
例2 (1)(2017届重庆市第八中学适应性考试)已知a>0，b>0且2ab＝a＋2b，则a＋8b的最小值为( )
A．4 B．9
C．10 D.
答案 B
解析 2ab＝a＋2b两边同除以2ab，得＋＝1，
所以(a＋8b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝时取等号．
(2)(2017届山西临汾一中等五校联考)已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．3
答案 D
解析 由于x，y为正实数，则＋＝＋－1≥2 －1＝3，当且仅当＝时，等号成立，故选D.
思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．
跟踪演练2 (1)(2017届山西晋中榆社中学月考)若实数m，n满足＋＝，则mn的最小值为________．
答案 4
解析 2 ≤＋＝⇒4 ≤⇒mn≥4(当且仅当＝时取等号)．
(2)(2017届河南百校联盟质监)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
答案
解析 因为a＋b＝4，所以a＋1＋b＋3＝8.
所以＋
＝[(a＋1)＋(b＋3)]
＝≥(2＋2)＝，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号．
热点三 简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
例3 (1)(2017·全国Ⅲ)设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
答案 B
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
故选B.
(2)(2017届重庆市第一中学月考)x，y满足约束条件若z＝ax－y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A．－1 B．2 C. D．2或－1
答案 C
解析 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)．由z＝ax－y，得y＝ax－z，即直线的截距最小，z最大．若a＝0，此时y＝－z，此时，目标函数只在B处取得最大值，不满足条件；若a>0，目标函数y＝ax－z的斜率k＝a>0，要使z＝ax－y取得最大值的最优解不唯一，则直线y＝ax－z与直线x－2y－4＝0平行，此时a＝；若a<0，不满足，故选C.
思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．
(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
跟踪演练3 (1)(2017届汕头期末)若实数x，y满足 则使得z＝y－2x取得最大值的最优解为( )
A．(3,0) B．(3,3)
C．(4,3) D．(6,3)
答案 C
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，当目标函数z＝y－2x经过点A(4,3)时取得最大值，所以使得z＝y－2x取得最大值的最优解为(4,3)，故选C.
(2)(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
答案 3
解析 如图，画出可行域，z＝表示可行域内的点和定点F(6,6)连线的斜率，显然直线AF的斜率最大，
又kAF＝＝3，故的最大值为3.
真题体验
1．(2017·北京改编)若x，y满足则x＋2y的最大值为________．
答案 9
解析 作出可行域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，则y＝－x＋z.
作出直线l0：y＝－x，并平移该直线，
可知当直线y＝－x＋z过点C时，z取得最大值．
由得故C(3,3)．
∴zmax＝3＋2×3＝9.
2．(2016·浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是________．(填序号)
①若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；
②若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；
③若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；
④若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100.
答案 ④
解析 对①，当a＝b＝10，c＝－110时，此式不成立；
对②，当a＝10，b＝－100，c＝0时，此式不成立；
对③，当a＝10，b＝－10，c＝0时，此式不成立．
故填④.
3．(2016·上海)设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为__________．
答案 (2,4)
解析 由－10，则的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.
押题预测
1．已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )
A．3 B.
C．4 D.
押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合．
答案 C
解析 由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，
∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x＋y＋，当且仅当x＝y时取等号，
∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，
解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.
2．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－ C. D.
押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式．
答案 D
解析 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，
∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a≤，解得－≤a≤，
则实数a的最大值为.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最小值为( )
A．－6 B．6
C．7 D．8
押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点．
答案 C
解析 由x，y满足的约束条件画出可行域如图所示，当直线z＝4x＋y过点C(1,3)时，z取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.
4．若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－4,2)
B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－2,0)
押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点．
答案 A
解析 不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x2＋2xb2；②|1－a|>|b－1|；③>>.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 由于a|b|>0，a2>b2，故a2＋1>b2，正确；－a>－b>0，－a＋1>－b＋1>0，故|1－a|>|b－1|，正确；a＋b>，正确．故有3个正确．
2．若函数f(x)＝则“00，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是( )
A．2－ B.－1
C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝11⇒圆心C(1，2)，代入直线方程得2a＋2b－2＝0⇒a＋b＝1⇒＋＝(a＋b)＝＋＋3≥2＋3，当且仅当＝时取等号，故选C.
4．(2017·全国Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．
由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.
故选D.
5．(2017届重庆市第一中学月考)设x<0，y<0，且x＋2y＋1＝0，则＋的最大值为( )
A．3＋2 B．6
C．－6 D．－3－2
答案 D
解析 由x＋2y＋1＝0，得－x－2y＝1，
则＋＝(－x－2y)＝－3－
≤－3－2 ＝－3－2，
当且仅当＝时，等号成立，则＋的最大值为－3－2，故选D.
6．(2017届河南南阳一中月考)已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝－2x＋y的最大值不超过4，则实数m的取值范围是( )
A．(－，3) B．[0，]
C．[－，0] D．[－，]
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数z＝－2x＋y可变形为y＝2x＋z，解方程组
可得平移目标直线到经过点A时，目标函数z＝－2x＋y取得最大值，所以(－2)×＋≤4，
解得m∈[－，]，故选D.
7．(2017·武汉市武昌区调研)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a等于( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
答案 B
解析 根据约束条件画出可行域如图所示．
可知可行域为向上开口的V字型，即在顶点处z有最小值，顶点为，代入z＝＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图，
虚线向上移动时z减小，故z可以取无穷小，没有最小值，故只有a＝3满足题意．
8．(2017届唐山期末)设实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为( )
A. B．10
C．8 D．5
答案 B
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为z＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时z＝x2＋y2取得最小值，此时垂直正好在平面区域内．所以zmin＝2＝10，故选B.
9．(2017届上海市实验学校月考)已知x>0，y>0，若不等式≥恒成立，则实数k的最大值为________．
答案 9
解析 ∵x>0，y>0，则不等式≥恒成立等价于k≤＝5＋＋恒成立．
∵5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当＝，即x＝y时“＝”成立．
∴k的最大值为9.
10．(2017·北京)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
答案
解析 方法一 由x＋y＝1，得y＝1－x.
又x≥0，y≥0，所以0≤x≤1，x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝22＋.
由0≤x≤1，得0≤2≤，
即≤x2＋y2≤1.所以x2＋y2∈.
方法二 x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，
已知x≥0，y≥0，x＋y＝1，所以x2＋y2＝1－2xy.
因为1＝x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号．
所以0≤xy≤，
所以≤1－2xy≤1，
即x2＋y2∈.
方法三 依题意，x2＋y2可视为原点与线段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2＋y2)min＝2＝，(x2＋y2)max＝|OA|2＝|OB|2＝1，
故x2＋y2∈.
11．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案 30
解析 一年的总运费为6×＝(万元)，
一年的总存储费用为4x万元，
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2 ＝240，
当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
12．(2017届上饶模拟)甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件．制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元.
奖品收费
(元/件)工厂
一等奖奖品
二等奖奖品
甲
500
400
乙
800
600
答案 4 900
解析 设甲生产一等奖奖品件数为x，二等奖奖品件数为y，x，y∈N，则乙生产一等奖奖品件数为3－x，二等奖奖品件数为6－y，
则满足
设费用为z，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000，
作出不等式组对应的平面区域如图．
平移z＝－300x－200y＋6 000，
由图象知，当直线经过点A时，直线截距最大，此时z最小，由解得即A(3,1)，
组委会定做该工艺品的费用总和最低为z＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙生产，所用费用最低．
B组 能力提高
13．(2017·山东)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B.＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
答案 B
解析 方法一 ∵a＞b＞0，ab＝1，
∴log2(a＋b)＞log2(2)＝1.
∵＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，
又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1.
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2
＝－a－2·2－a(1＋aln 2)＜0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(a)＜f(1)，即＜.
∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
方法二 ∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
14．(2017届安徽淮北一中模拟)若直线l：y＝ax将不等式组表示的平面区域的面积分为相等的两部分，则实数a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 画出可行域如图所示，由图可知，阴影部分总面积为14，要使S△ABC＝7，只需·AC·h＝7，即h＝.
将h＝代入x＋y－6＝0，解得x＝，即a＝＝.
15．已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．
答案 36
解析 ＋＝－5⇒－5≥2 ⇒()2－5－6≥0⇒≥6⇒ab≥36，当且仅当b＝9a时取等号，因此ab的最小值为36.
16．(2017届甘肃天水一中月考)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
答案 4
解析 a2＋＋
＝(a2－ab)＋＋＋ab
≥2＋2＝4
(当且仅当a2－ab＝和＝ab，即时取等号)．
