2017-2018学年湖南省衡阳市祁东县第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 含部分解析

2017-2018学年湖南省衡阳市祁东县第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 含部分解析

祁东二中 2017-2018 学年上学期期中考试试卷 高二理科数学 时量：120 分钟；分值：150 分。命题人：周北桥（2017/10/26） 注意事项： 1、本套试题分为试题卷和答题卷两部分。 2、作答前，请同学们在试卷规定的位置相应地填好自己的班次、姓名、学号及座位号。 3、答题时，请将答案填写在答题卷上指定位置，否则不给分；务必保持字体工整、笔迹清晰，卷面 清洁。 4、考试结束后，请保留好试题卷，只收交答题卷。 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。 1、若 0a b  ，则下列不等式中错误的．．．是 ( ) A. 1 1 a b  B. 1 1 a b a  C. a b D. 2 2a b 2、命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( ) A．不存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在 x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的 x∈R，x3－x2＋1>0 3、已知 p：x2－x<0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是 ( ) A．01，b>1，若 ax＝by＝3，a＋b＝2 3，则1 x ＋1 y 的最大值为 ( ) A．2 B.3 2 C．1 D.1 2 12、跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A．8 种 B．13 种 C．21 种 D．34 种 二．填空题：每小题 5 分，共 20 分，将答案填在指定位置处。 13、已知锐角 ABC 的面积为3 3 ， 4BC  ， 3CA  ，则角C 的大小为_______. 14、若数列{an}满足 1 an＋1 －1 an ＝d(n∈N＋，d 为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数 列 1 xn 为调和数列且 x1＋x2＋…＋x20＝200，则 x5＋x16＝________. 15、某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ________千米处． 16、已知函数 f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的 x1∈[－1,2]都存在 x0∈[－ 1,2]，使得 g(x1)＝f(x0)，则实数 a 的取值范围是________． 三．解答题：共 6 个大题，各大题的分值分配依次为 10 分、10 分、12 分、12 分、13 分、13 分，共 70 分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。 17、已知命题 p：“ ∀ x∈[0，1]，a≥ex”，命题 q：“ ∃ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命 题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围 18、设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB. (1)、求 的值. (2)、若 cosB= ,且△ABC 的周长为 14,求 b 的值. 19、已知函数   2f x a ax x   。 （Ⅰ）、若  xf 的定义域为 R ，试求a的取值范围。 （Ⅱ）、若  xf 在  3,2x 上有意义， 试求 a的取值范围。 20、某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一 种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 m ( )*Nm 个单位的药剂后，经过 x 天该药剂在 水中释放的浓度 y （毫克/升）满足  y m f x ，其中   3log ( 4),0 5 6 , 52 x x f x xx       ，当药剂 在水中释放的浓度不低于 6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不 低于 6（毫克/升）且不高于 18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．. （Ⅰ）、如果投放的药剂质量为 6m  ，试问渔场的水质达到有效净化．．．．一共可持续几天? （Ⅱ）、如果投放的药剂质量为 m ，为了使在 8 天（从投放药剂算起包括第 8 天）之内 的渔场的水质达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 21、已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 满足 Sn＝1 2－1 2an. (1)、求数列{an}的通项公式； (2)、设 f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝1 b1 ＋1 b2 ＋…＋1 bn ，求 T2 012； (3)、若 cn＝an·f(an)，求{cn}的前 n 项和 Un. 22、已知数列{ }na , 1 2 2a a  , 1 12 ( 2)n n na a a n    （1）、证明：数列 1{ }n na a  为等比数列并求数列{ }na 的通项公式 na ； （2）、当 2n  时,求证: 1 2 1 1 1 3... 2na a a     祁东二中 2017-2018 学年上学期期中考试参考答案 高二理科数学 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。 1、若 0a b  ，则下列不等式中错误的．．．是 A. 1 1 a b  B. 1 1 a b a  C. a b D. 2 2a b 【答案】B 2、命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( ) A．不存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在 x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的 x∈R，x3－x2＋1>0 解析 由已知得，对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是特称命题， “任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选 C. 3、已知 p：x2－x<0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是 ( ) A．01，b>1，若 ax＝by＝3，a＋b＝2 3，则1 x ＋1 y 的最大值为 ( ) A．2 B.3 2 C．1 D.1 2 答案 C 解析 由 ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由 a>1，b>1 知 x>0，y>0，1 x ＋ 1 y ＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3 a＋b 2 2＝1，当且仅当 a＝b＝ 3时“＝”成立，则1 x ＋1 y 的 最大值为 1. 12、跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( ) A．8 种 B．13 种 C．21 种 D．34 种 答案 C 解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an，则到达第 n 个格子的方法有两类： ①向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 an－1；②向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法 种数为 an － 2 ，则 an ＝an － 1 ＋an － 2 ，由 数列 的递推 关系 得到数 列的 前 8 项分 别是 1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C. 二．填空题：每小题 5 分，共 20 分，将答案填在指定位置处。 13、已知锐角 ABC 的面积为3 3 ， 4BC  ， 3CA  ，则角C 的大小为_______. 解析：由正弦定理得 1 1 3· ·sin C 3 3 4 3 sin C sin C2 2 2S BC CA        ，注意到其 是锐角三角形，故 C＝60 ° 14、若数列{an}满足 1 an＋1 －1 an ＝d(n∈N＋，d 为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数 列 1 xn 为调和数列且 x1＋x2＋…＋x20＝200，则 x5＋x16＝________. 解析：由题意知，若{an}为调和数列，则 1 an 为等差数列，∴由 1 xn 为调和数列，可得数 列{xn}为等差数列，由等差数列性质，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝200 10 ＝20. 15、某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ________千米处． 【解析】：设仓库建在离车站 d 千米处，由已知 y1＝2＝k1 10 ，得 k1＝20，∴y1＝20 d ， y2＝8＝k2·10，得 k2＝4 5 ，∴y2＝4 5 d，∴y1＋y2＝20 d ＋4d 5 ≥2 20 d ·4d 5 ＝8， 当且仅当20 d ＝4d 5 ，即 d＝5 时，费用之和最小． 16、已知函数 f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的 x1∈[－1,2]都存在 x0∈[－ 1,2]，使得 g(x1)＝f(x0)，则实数 a 的取值范围是________． 解析 当 x0∈[－1,2]时，由 f(x)＝x2－2x 得 f(x0)∈[－1,3]，又对任意的 x1∈[－1,2] 都存在 x0∈[－1,2]，使得 g(x1)＝f(x0)，∴当 x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．当 a ＞0 时， －a＋2≥－1， 2a＋2≤3， 解得 a≤1 2.综上所述，实数 a 的取值范围是 0，1 2 三．解答题：共 6 个大题，各大题的分值分配依次为 10 分、10 分、12 分、12 分、13 分、13 分，共 70 分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。 17、已知命题 p：“ ∀ x∈[0，1]，a≥ex”，命题 q：“ ∃ x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命 题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围 解析 若命题 p：“ ∀ x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则 a≥e；若命题 q：“ ∃ x∈R，x2 ＋4x＋a＝0”为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即 a≤4，所以若命题“p∧q”是真命题， 则实数 a 的取值范围是[e，4]. 18、设△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB. (1)、求 的值. (2)、若 cosB= ,且△ABC 的周长为 14,求 b 的值. 【解析】(1)因为 b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.由正弦定理得, = . 即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C).又 A+B+C=π,所以 sinC=3sinA,因此 = . (2)由 = 得 c=3a.由余弦定理及 cosB= 得 b2=a2+c2-2accosB=a2+9a2-6a2× =9a2.所以 b=3a.又 a+b+c=14.从而 a=2,因此 b=6. 19、已知函数   2f x a ax x   （Ⅰ）、若  xf 的定义域为 R ，试求a的取值范围。 （Ⅱ）、若  xf 在  3,2x 上有意义， 试求 a的取值范围。 解：（Ⅰ）、  xf 的定义域为 R，相当于任意实数 x ，使 2 0a ax x   恒成立，即 0  成立，解得0 4a  （Ⅱ）、  xf 在区间 2,3 上有意义，等价于   2x a ax x    0 在 2,3 上恒成立， 则   22 2 0 a      4a  或   32 3 0 a      a   或 2 32 0 a      a   总之， 4a  20、某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一 种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 m ( )*Nm 个单位的药剂后，经过 x 天该药剂在 水中释放的浓度 y （毫克/升）满足  y m f x ，其中   3log ( 4),0 5 6 , 52 x x f x xx       ，当药剂 在水中释放的浓度不低于 6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不 低于 6（毫克/升）且不高于 18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．. （Ⅰ）、如果投放的药剂质量为 6m  ，试问渔场的水质达到有效净化．．．．一共可持续几天? （Ⅱ）、如果投放的药剂质量为 m ，为了使在 8 天（从投放药剂算起包括第 8 天）之内 的渔场的水质达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）、由题设：投放的药剂质量为 6m  ，渔场的水质达到有效净化．．．． 6 ( ) 6f x  ( ) 1f x  3 0 5 log ( 4) 1 x x      或 5 6 12 x x    0 5x   或 5 8x  ，即： 0 8x  ， 所以如果投放的药剂质量为 6m  ，自来水达到有效净化．．．．一共可持续 8 天. …6 分 （Ⅱ）、由题设： (0,8],6 ( ) 18x mf x    ， 0m  ，   3log ( 4),0 5 6 , 52 x x f x xx        3(0,5],6 log ( 4) 18x m x     ， 且 6(5,8],6 182 mx x     ， 3log 4 6 2 18 m m   且 6 2 18 m m    5 9 6 9m m    且 ， 6 9m   ， 投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9] . 21、已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 满足 Sn＝1 2 －1 2 an. (1)、求数列{an}的通项公式； (2)、设 f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝1 b1 ＋1 b2 ＋…＋1 bn ，求 T2 012； (3)、若 cn＝an·f(an)，求{cn}的前 n 项和 Un. 解 (1)、当 n＝1 时，a1＝1 3 ，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1， 又 Sn＝1 2 －1 2 an，所以 an＝1 3 an－1，即数列{an}是首项为1 3 ，公比为1 3 的等比数列，an＝ 1 3 n (2)、由已知可得 f(an)＝log3 1 3 n＝－n，则 bn＝－1－2－3－…－n＝－n n＋1 2 ， 故1 bn ＝－2 1 n － 1 n＋1 ，又 Tn＝－2 1－1 2 ＋ 1 2 －1 3 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝－2 1－ 1 n＋1 ， 所以 T2 012＝－4 024 2 013 . (3) 、 由 题 意 得 cn ＝ ( － n)· 1 3 n ， 故 Un ＝ c1 ＋ c2 ＋ … ＋ cn ＝ － 1× 1 3 1＋2× 1 3 2＋…＋n· 1 3 n ，则 1 3 Un＝－ 1× 1 3 2＋2× 1 3 3＋…＋n· 1 3 n＋1 ，两式相 减可得 2 3Un＝－ 1 3 1＋ 1 3 2＋…＋ 1 3 n－n· 1 3 n＋1 ＝－1 2 1－ 1 3 n ＋n· 1 3 n＋1＝－1 2＋1 2· 1 3 n＋ n· 1 3 n＋1，则 Un＝－3 4 ＋3 4 · 1 3 n＋3 2 n· 1 3 n＋1. 22、已知数列{ }na , 1 2 2a a  , 1 12 ( 2)n n na a a n    （1）、证明：数列 1{ }n na a  为等比数列并求数列{ }na 的通项公式 na ； （2）、当 2n  时,求证: 1 2 1 1 1 3... 2na a a     分析： (1) 1 12n n na a a   ,两边加 na 得: 1 12( ) ( 2)n n n na a a a n     , 1{ }n na a  是以 2 为公比, 1 2 4a a  为首项的等比数列.…………2 分 1 1 4 2 2 2n n n na a       ---------① ………3 分 由 1 12n n na a a   两边减 2 na 得: 1 12 ( 2 ) ( 2)n n n na a a a n      1{ 2 }n na a  是以 1 为公比, 2 12 2a a   为首项的等比数列. 1 1 2 2 ( 1) 2 ( 1)n n n na a          -----------② ①-②得: 3 2[2 ( 1) ]n n na    所以,所求通项为 2[2 ( 1) ]3 n n na    ……………6 分 (2) 当 n为偶数时, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 2[ ]2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 1 1( )( 2)2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n                                 2 1 2 1 1(1 )1 1 1 3 1 1 1 3 3 1 32 2... ( ... ) 312 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n na a a                 当n为奇数时, 2[2 ( 1) ] 03 n n na     , 1 1 10, 0n n a a     ,又 1n  为偶数 当n为奇数时 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3... ... 2n n na a a a a a a           。 综上可得 当 2n  时,求证: 1 2 1 1 1 3... 2na a a     。 ……………13 分