2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§7-3 基本不等式及不等式的应用（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§7-3 基本不等式及不等式的应用（试题部分）

‎§7.3　基本不等式及不等式的应用 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 基本不等式 了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 ‎2019天津,13,5分 用基本不等式求最值 ‎—‎ ‎★★☆‎ ‎2017山东,12,5分 用基本不等式求最值 直线过定点 ‎2018天津,13,5分 用基本不等式求最值 代数式的化简求值 不等式的应用 综合运用不等式的性质、定理,与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题 ‎2019江苏,10,5分 不等式的应用 点到直线的距离公式 ‎★★☆‎ 分析解读 通过近几年高考题可知,本节内容主要考查了利用基本不等式求最值,在求解过程中,有时需对代数式进行拆分、添项、配凑因式,构造出适合基本不等式的形式;不等式的应用常与函数、数列、向量等综合考查,有时难度较大,分值约占5分.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　基本不等式 ‎1.(2019安徽江南十校第二次大联考,10)已知实数x满足log‎1‎‎2‎x>1,则函数y=8x+‎1‎‎2x-1‎的最大值为(　　)‎ A.-4 B.8 C.4 D.0‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018甘肃河西模拟,9)若两个正实数x,y满足‎1‎x+‎4‎y=1,且不等式x+y‎4‎0,b>0,‎2‎是8a与2b的等比中项,则‎1‎a+‎2‎b的最小值是　　　　. ‎ 答案　5+2‎‎6‎ 考点二　不等式的应用 ‎1.(2018河南八校第一次测评,15)已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则Sn‎+10‎an‎+1‎的最小值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎2.(2018甘肃通渭模拟,15)如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=‎1‎‎2‎‎,x,y,且‎1‎x+ay≥8恒成立,则正实数a的最小值为　　　　. ‎ 答案　1‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　利用基本不等式求最值 ‎1.(2018山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.4 D.4‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,5)已知正项等比数列{an}的公比为3,若aman=9a‎2‎‎2‎,则‎2‎m+‎1‎‎2n的最小值等于(　　)‎ A.1 B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案　C　‎ 方法2　不等式的综合应用 ‎1.(2018天津六校期中,14)定义在R上的运算“*”为x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎ ‎2.(2020届贵州凯里质量检测,15)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|2‎1‎‎2‎,则当x>‎1‎‎2‎时不等式恒成立,不满足条件.‎ 当m≠0时,设f(x)=mx2-2x-m+1,‎ 由于f(x)<0恒成立,所以m<0,‎‎4-4m(1-m)<0,‎解得 m∈⌀.‎ 综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立,即m∈⌀.‎ ‎(2)由题意得-2≤m≤2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),‎ 则g(m)<0,故有g(-2)<0,‎g(2)<0,‎ 即‎-2x‎2‎-2x+3<0,‎‎2x‎2‎-2x-1<0,‎解之得‎-1+‎‎7‎‎2‎0,y>0,x+2y=4,则‎(x+1)(2y+1)‎xy的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎9‎‎2‎ ‎2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+‎1‎‎8‎b的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎3.(2017山东,12,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　. ‎ 答案　8‎ 考点二　不等式的应用 ‎1.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　. ‎ 答案　4‎ 教师专用题组 考点一　基本不等式 ‎1.(2015福建,5,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足‎1‎a+‎2‎b=ab,则ab的最小值为(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.2‎2‎ D.4‎ 答案　C　‎ ‎3.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是(　　)‎ A.6+2‎3‎ B.7+2‎3‎ C.6+4‎3‎ D.7+4‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎4.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为(　　)‎ A.0 B.‎9‎‎8‎ C.2 D.‎‎9‎‎4‎ 答案　C　‎ ‎5.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)‎ A.[0,2] B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 答案　D　‎ ‎6.(2015山东,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y=x‎2‎‎-‎y‎2‎xy(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎ ‎7.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则a+1‎+b+3‎的最大值为　　　　. ‎ 答案　3‎‎2‎ ‎8.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,‎1‎a+‎2‎b+‎4‎c的最小值为　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎9.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则‎1‎‎2|a|‎+‎|a|‎b的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎4‎ ‎10.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. ‎ 答案　36‎ ‎11.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎3‎ 考点二　不等式的应用 ‎1.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　)‎ A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 答案　C　‎ ‎2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎-‎2‎‎2‎,0‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:30分钟　分值:50分 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(命题标准样题,5)设正数m,n满足‎4‎m+‎9‎n=1,则m+n的最小值为(　　)‎ A.26 B.25 C.16 D.9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2020届安徽南陵质量检测,7)若a>0,b>0,a+2b=1,则‎1‎a+a+1‎b的最小值为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019安徽宣城第二次调研,9)已知双曲线x‎2‎m-y‎2‎n=1(m>0,n>0)和椭圆x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎2‎=1有相同的焦点,则‎4‎m+‎1‎n的最小值为(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 答案　B　‎ ‎4.(2020届安徽包河检测,6)已知正数a,b满足a+b=3,则‎1‎a+‎4‎b+1‎的最小值为(　　)‎ A.‎9‎‎4‎ B.‎34‎‎15‎ C.‎7‎‎3‎ D.‎‎9‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018河南安阳调研,5)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则‎1‎x+‎1‎‎3y的最小值是(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.4 D.2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎6.(2020届河南濮阳第二次检测,9)已知a>2,b>2,则a‎2‎b-2‎+b‎2‎a-2‎的最小值为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.16‎ 答案　D　‎ ‎7.(2020届黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为(　　)‎ A.8 B.4+2‎3‎ C.5+2‎3‎ D.4‎‎3‎ 答案　B　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎8.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+‎4‎x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　. ‎ 答案　1‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎9.(2020届安徽铜陵铜官检测,20)已知a,b∈(0,+∞),a(1-b)=b(a-1),f(x)=|2x+1|+|x-2|.‎ ‎(1)求a2+b2的最小值;‎ ‎(2)若对任意a,b∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a2+b2),求实数x的取值范围.‎ 答案　(1)∵a(1-b)=b(a-1),∴a+b=2ab,‎ ‎∵a,b∈(0,+∞),∴‎1‎‎2a+‎1‎‎2b=1,‎ ‎∴a2+b2=(a2+b2)‎1‎‎2a‎+‎‎1‎‎2b‎2‎=‎1‎‎4‎‎2+b‎2‎a‎2‎+a‎2‎b‎2‎+2‎ba‎+‎ab≥‎1‎‎4‎‎2+2b‎2‎a‎2‎‎·‎a‎2‎b‎2‎+2×2‎ba‎·‎ab=2.‎ 当且仅当b‎2‎a‎2‎=a‎2‎b‎2‎且ba=ab,即a=b=1时取等号.‎ ‎∴a2+b2的最小值为2.‎ ‎(2)由(1)知,(a2+b2)min=2,‎ ‎∵对任意a,b∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a2+b2),‎ ‎∴f(x)≤8,即|2x+1|+|x-2|≤8.‎ 当2x+1<0时,-2x-1-x+2≤8,解得-‎7‎‎3‎≤x<-‎1‎‎2‎;‎ 当2x+1≥0且x-2≤0时,2x+1-x+2≤8,解得-‎1‎‎2‎≤x≤2;‎ 当x-2>0时,2x+1+x-2≤8,解得2

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