湖南省长沙市明德中学2020届高三入学检测数学（理）试题

湖南省长沙市明德中学2020届高三入学检测数学（理）试题

明德中学2019年下学期高三年级入学检测 数学(理科)‎ 一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题可知，则．故本题选．‎ ‎2.设, 则 “”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎3.已知为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：首先应用复数的运算法则，将复数化为最简形式，根据复数在复平面内对应的点的坐标，确定其所在的象限即可求得结果.‎ 详解：，‎ 在复平面内对应点为，所以在第四象限，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定出其所在的象限.‎ ‎4.已知函数，若,则实数的取值范围是( )‎ A. (-∞,-1)∪(2,+∞) B. (-∞,-2)∪(1,+∞) C. (-1,2) D. (-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据函数的解析式可知，函数是定义域上的增函数，所以的等价条件是，解得，故选D．‎ 考点：函数的单调性的判段和应用．‎ ‎5.定义运算：．例如，则函数的值域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期的情况即可，设，当时，，当或时，，综合知的值域为，故选D．‎ 考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题．‎ ‎6.已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足 ‎（），则点P一定为三角形ABC的（ ）‎ A. BC边中线的中点 B. BC边中线的三等分点（非重心）‎ C. 重心 D. BC边的中点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是△ABC的重心可得,代入中即可得到,进而判断点位置即可 ‎【详解】是△ABC的重心,,‎ ‎,‎ 点P 是BC边中线的三等分点（非重心）‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量在几何中的应用,考查重心在向量中的应用 ‎7.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，∴方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，∴方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.‎ ‎8.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，a＝3，则△ABC 的周长的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 6 C. D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用均值不等式可得,代入中即可求得的最大值,进而求得三角形周长的最大值 ‎【详解】由题,,即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,即,则,当且仅当时取等,‎ ‎,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查均值不等式在几何中的应用,考查三角形周长最值问题 ‎9.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an﹣3n，则a2019＝（ ）‎ A. ﹣22019﹣1 B. 32019﹣6‎ C 2019 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,；当时,可得,即得到是首项为,公比为的等比数列,可得,将代入求解即可 ‎【详解】由题,当时,,即,；‎ 当时,,,‎ 则,即,,‎ 是首项为,公比为的等比数列,‎ ‎,即,‎ ‎,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的项,考查运算能力 ‎10.已知是圆的直径，是圆的弦上的一动点，，，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，‎ ‎ 设点，则，‎ ‎ 所以 ‎ 则，‎ ‎ 又因为，且在弦上一动点，所以，‎ ‎ 其中当取的中点时取得最小值，所以，故选D．‎ ‎ 点睛：本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解答的关键是建立适当的直角坐标系，表示出向量的坐标，再利用圆的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，对于平面向量的运算问题，通常有两种方法：一是建立平面的基底，利用基底运算；二是建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可．‎ ‎11.由曲线y＝x2和曲线y围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出曲线与的交点为,,则,求解即可 ‎【详解】由题,曲线与的交点为,,‎ 则 故选：A ‎【点睛】本题考查利用定积分求面积,考查微积分基本定理的应用 ‎12.给出定义：设f′（x）是函数y＝（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，已知函数f（x）＝5x+4sinx﹣cosx的“拐点”是M（x0，f（x0）），则点M（ ）‎ A. 在直线y＝﹣5x上 B. 在直线y＝5x上 C. 在直线y＝﹣4x上 D. 在直线y＝4x上 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,令可得,代入可得到,进而可判断所在直线 ‎【详解】由题,,,‎ 令,则,‎ ‎,‎ 在直线上 故选：B ‎【点睛】本题考查导数的计算,属于基础题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知||＝2||，||≠0，且关于x的方程x2+||x0有两相等实根，则向量与的夹角是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由关于的方程有两相等实根,可得,解得,即可求出与的夹角 ‎【详解】∵已知|,,且关于的方程有两相等实根,‎ ‎∴,‎ 设向量与的夹角为,‎ 则可解得 ‎,‎ 则向量与的夹角为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用 ‎14.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系，利用累加法求数列通项.‎ ‎【详解】由an－an＋1＝nanan＋1得＝n，‎ 则由累加法得＝1＋2＋…＋(n－1)＝，‎ 又因为a1＝1，所以，所以an＝.‎ ‎【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，考查基本分析求解能力.‎ ‎15.当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离参数法，可以得到，求出在上的最小值，只要小于其最小值，解不等式即可得出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】由题意可得，可变形为，因为在上单调递减，所以其最小值为2，故，解得，所以 实数m的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，利用分离参数法将恒成立问题转化为最值问题，是常见的解题思路．‎ ‎16.设曲线y=（ax﹣1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，‎ y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数y=（ax﹣1）ex的导数为y′=（ax+a﹣1）ex，‎ ‎∴l1的斜率为，‎ 函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x ‎∴l2的斜率为，‎ 由题设有k1•k2=﹣1从而有 ‎∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3‎ ‎∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，‎ 又a′=，另导数大于0得1＜x0＜5，‎ 故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，‎ x0=0时取得最大值为=；‎ x0=1时取得最小值为1．‎ ‎∴‎ 三、解答题（本大题共7小题，满分70分，解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）．‎ ‎17.如图，D是直角斜边BC上一点，．‎ Ⅰ若，求的大小；‎ Ⅱ若，且，求AD的长．‎ ‎【答案】ⅠⅡ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．‎ ‎【详解】Ⅰ，，‎ ‎， ‎ 在中，由正弦定理可得：， ‎ ‎， ‎ 或， ‎ 又，‎ Ⅱ，‎ ‎，‎ 在中，由勾股定理可得：，可得：，‎ ‎，，， ‎ 令，由余弦定理：‎ 在中，， ‎ 在中，， ‎ 可得：，‎ 解得：，可得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18.在如图所示的多面体ABCDE，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形．AD＝DE＝2AB＝2，EC＝2，F是CD的中点．‎ ‎（1）求证AF∥平面BCE；‎ ‎（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以A为原点,在平面ACD中,过A作AD的垂线为x轴,AD为y轴,AB为z轴，建立空间直角坐标系,求出平面BCE的法向量,再证得即可；‎ ‎（2）求出,利用数量积求得夹角即可 ‎【详解】（1）证明：以A为原点,在平面ACD中,过A作AD的垂线为x轴,AD为y轴,AB为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则A（0,0,0）,C（）,D（0,2,0）,F（,,0）,B（0,0,1）,E（0,2,2）,‎ 所以（,,0）,（）,（0,2,1）,‎ 设平面BCE的法向量（x,y,z）,‎ 则,取y＝1,得（,1,﹣2）,‎ ‎∵0,AF平面BCE,‎ ‎∴AF平面BCE ‎（2）解：（0,2,0）,平面BCE的法向量（）,‎ 设直线AD与平面BCE所成角为，‎ 则 ‎∴直线AD与平面BCE所成角的正弦值为 ‎【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面成角,考查运算能力 ‎19.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：‎ 日期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差x（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？‎ ‎，．‎ ‎【答案】(1)x﹣3；(2) 可靠 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数据求出,代入求解,再求得,即可求出线性回归方程；‎ ‎（2）分别将和代入求出,判断即可 ‎【详解】（1）由表中数据,求得 ‎,,‎ 由公式,可得,,‎ 所以y关于x的线性回归方程为x﹣3‎ ‎（2）当x＝10时,10﹣3＝22,|22﹣23|＜2；‎ 同样,当x＝8时,8﹣3＝17,|17﹣16|＜2；‎ 所以,该研究所得到的回归方程是可靠的 ‎【点睛】本题考查求线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查运算能力 ‎20.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同交点A和B，且，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由两曲线长轴与焦点关系，求出双曲线C2的方程．（2）设A(x1，y1)，B(x2，‎ y2)，直线与双曲线组方程组，得到韦达定理关系，注意判别式控制参数k范围．把向量关系>2，坐标化即x1x2＋y1y2>2，代入韦达可求．‎ 试题解析：(1)设双曲线C2的方程为 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，‎ 故双曲线C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，‎ 得 ‎∴k2<1且k2≠.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又∵>2，即x1x2＋y1y2>2，∴ >2 >2，即>0，‎ 解得

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