2018-2019学年江西省临川二中、临川二中实验学校高二下学期第三次联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省临川二中、临川二中实验学校高二下学期第三次联考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省临川二中、临川二中实验学校高二下学期第三次联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由复数的运算可得，得到，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，则，‎ 则，所以，‎ 所以的虚部为2，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的基本运算，以及共轭复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎2．已知命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可。‎ ‎【详解】‎ 解：令 ，时， ，所以f(x)在 单调递增， ，p真；‎ 令 ， ，‎ ‎ ，所以 在 恒成立，q假；故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数最值，复合命题真假的判断，属于中档题。‎ ‎3．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45cm和9.35cm，则可认为（ ）‎ A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，某工厂生产的零件外直径服从正态分布，可得生产的零件外直径在内生产是正常的，即可作出判定，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，某工厂生产的零件外直径服从正态分布，‎ 根据原则可得，即，‎ 即生产的零件外直径在内生产是正常的，‎ 又由从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45cm和9.35cm，‎ 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的原则，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎4．若随机变量的分布列如下表，且，则的值为（　　）‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据随机变量的分布列性质，可得，解得，‎ 又由，解得，‎ 所以方差，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的应用，其中解答中熟记分布列的性质，合理利用期望与方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎5．若，，，则3个数，，的值( )‎ A．至多有一个不大于1 B．至少有一个不大于1‎ C．都大于1 D．都小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用反证法，假设的值都大于1,则,这与=矛盾,据此即可得到符合题意的选项.‎ ‎【详解】‎ 假设的值都大于1,则,这与==矛盾,‎ ‎∴假设不成立,即的值至少有一个不大于1.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求得函数的导数，再由，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 则，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数运算公式，以及导数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎7．已知，则二项式的二项式系数之和与各项系数之和的积为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】由定积分的运算性质和定积分的几何意义，求得，进而得二项式系数之和，再令，可得展开式的各项之和为，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由定积分的运算性质，可得，‎ 又由表示圆的上半圆的面积，即，‎ 所以，‎ 又由，所以，‎ 所以二项式为的二项式系数之和为 ，‎ 令，可得展开式的各项之和为，‎ 所以二项式系数之和与各项系数之和的积为，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分性质及运算，以及二项式系数之和与项的系数之和的求解及应用，其中呢解答中熟练应用定积分的性质求得的值，以及合理求解二项式系数与项的系数之和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎8．函数在内存在极值点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得函数的导数，要使得函数在内存在极值点，根据二次函数的性质，得到，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 要使得函数在内存在极值点，‎ 由二次函数的性质，可得，即，解得，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的极值求参数问题，其中解答中熟记导数与函数的极值之间的关系，合理列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎9．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由直线与直线的交点为，得到两直线的交点满足，设，则，，进而得到，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的方程，可得其焦点为，‎ 又由直线与直线的交点为，可知两直线经过分别经过定点，且两直线，‎ 所以两直线的交点满足，‎ 设，则，‎ 同理可得，‎ 所以，‎ 当时，取得最小值2，‎ 当时，取得最小值4，‎ 所以的取值范围是，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单的几何性质的应用，以及直线与圆的方程的应用，其中解答中根据直线的方程，得出点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎10．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，设切线与相切的切点为，，即有的导数为，可得，切线方程为，令，可得，由，可得，且，解得，由，可得，令，，在时单调递增，且，，所以有的根，故选D.‎ ‎11．如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点点标5，点处标6，点处标7，以此类推，则格点坐标的标签为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件，寻找计算的规律，归纳处其中奇数平方坐标的位置出现的规律，再按图象的规律，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，观察图象的点可得处标，即；‎ 点处标，即；‎ 点处标，即，‎ ‎ ‎ 由此推断，点处标，‎ 当时，点处标，‎ 所以点位于点向左移动两格，所以点处标，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理的应用，其中归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键在于从特殊的数据入手，找出规律总结所要的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎12．定义在上的函数满足：，．其中表示的导函数，若对任意正数都有，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得，令 ‎，则，利用导数可得函数在区间上单调递减，从而由原不等式可得，解不等式可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，当且仅当且，即时两等号同时成立，‎ ‎∴“对任意正数都有”等价于“”．‎ 由可得，‎ 令，则，‎ ‎∴．‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在区间上单调递减，‎ 故由可得，‎ 整理得，解得或．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题难度较大，涉及知识点较多．解题的关键有两个，一是求出的最小值，在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二是结合条件中含有导函数的等式构造函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用．‎ 二、填空题 ‎13．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的渐近线方程，当时，可得，求得双曲线的离心率为；当时，可得，求得双曲线的离心率为，即可求解得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的渐近线方程为，即，‎ 当时，此时双曲线的焦点在轴上，所以，即，‎ 所以双曲线的离心率为；‎ 当时，此时双曲线的焦点在轴上，所以，即，‎ 所以双曲线的离心率为，‎ 所以双曲线的离心率为或。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，分类讨论、合理运算是解答关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎14．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得命题，又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，‎ 得出不等式组，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，命题，命题.又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，‎ 设，则满足，解得，‎ 经验证当适合题意，‎ 所以的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎15．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数，再分类求得满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为种，‎ 满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：‎ 当第一节是“数”，共有种不同的排法；‎ 当第二节是“数”，共有种不同的排法,‎ 所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的综合应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理分类求解满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎16．设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，设，，利用导数求得函数的单调性与最值，作出函数的图象，结合图象，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，‎ 设，，则，‎ 可得当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以，‎ 则函数的图象，如图所示，‎ 方程有3个不同的解等价于函数的图象与直线由3个的交点，‎ 结合图象可得，实数的取值范围。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数，准确利用导数求得函数的单调性与最值，画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合与转化思想，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在时恒成立，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；‎ ‎（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，则，‎ 可得，又，‎ 所以函数在点处的切线方程为。 ‎ ‎（2）因为，令，解得，‎ 当时，，当时，，‎ 所以函数在单调递增，在单调递减，‎ 所以，‎ 若，在恒成立，即恒成立，所以，‎ 所以的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎18．一个袋中装有形状大小完全相同的球8个，其中红球2个，白球6个，‎ ‎（1）从袋中任取3个球，求恰有1个红球的概率。‎ ‎（2）有放回地每次取1球，直到取到2次红球即停止，求恰好取4次停止的概率。‎ ‎（3）有放回地每次取1球，共取3次，记取到红球的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）由从8个球中不放回地取3个球，基本事件的总数为中不同的取法，其中任取3个球，求恰有1个红球所包含的基本事件的个数为种，即可求解；‎ ‎（2）由恰好取4次停止，即前3次中有一次取到红球，且第4次取到红球，根据相互独立的事件的概率计算公式，即可求解；‎ ‎（3）求得随机变量的可能取值为，求得随机变量取每个值的概率，得出随机变量的分布列，根据二项分布的期望公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，从8个球中不放回地取3个球，基本事件的总数为中不同的取法，‎ 其中任取3个球，求恰有1个红球所包含的基本事件的个数为：种，‎ 所以恰有一个红球的概率. ‎ ‎（2）由题意，恰好取4次停止，即前3次中有一次取到红球，且第4次取到红球，‎ 根据相互独立的事件的概率计算公式，可得概率为. ‎ ‎（3）随机变量的可能取值为，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 因为，所以期望 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎19．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且，，，是中点，是上的点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，是的中点时，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见证明（2）‎ ‎【解析】（1）连接，由是正三角形，是的中点，证得，又，得，利用线面垂直的判定定理得平面，得到，进而得到 平面，最后利用面面垂直的判定定理，即可求解。‎ ‎（2）建立所示空间直角坐标系，令，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可 ‎【详解】‎ ‎（1）连接，因为底面为菱形，，‎ 所以是正三角形，是的中点，平面，‎ 又，，‎ 因为平面，平面，所以，又，‎ 所以平面，又平面，所以平面平面． ‎ ‎（2）建立如图所示空间直角坐标系，令，‎ 则，，，，‎ 则，‎ 设 是平面的一个法向量，则，‎ 得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则， ‎ 化简得：0，解得，∴ ∴，‎ ‎∴时，直线与平面的所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20．某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：‎ 月份 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 价格/平方米（百元）‎ ‎83‎ ‎82‎ ‎80‎ ‎78‎ ‎77‎ ‎（1）研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，求价格/平方米（百元）关于月份的线性回归方程；‎ ‎（2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价差的绝对值记为，即，．现从5个数据，，，，中任取2个，记取到的2个数据和为，求的分布列和数学期望．‎ 注意几点：①可供选择的数据，；‎ ‎②参考公式：回归方程系数公式，；‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）由表格中的数据，求得，根据公式求得，进而得到，即可求得关于的回归方程。‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，求得，得到随机变量的值，进而求得的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表格中的数据，可得，‎ 所以，则，‎ 所以关于的回归方程。‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，‎ 可得，‎ 所以，‎ 所以的可能取值为，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ P 期望。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎21．已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设经过左焦点的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最小值2‎ ‎【解析】（1）由题意得，又由，得，联立方程组解得， 即可求解椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，利用直线与圆锥曲线的弦长公式，求得，‎ 进而化简得，得到，利用基本不等式，即可求解实数的值，得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，即，‎ 又，得，又因为，所以，即，‎ 联立方程组，解得，所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）由题意知直线的斜率不为，设直线，‎ 设，‎ 联立，消去得，‎ 此时，且，，‎ 由弦长公式，得，‎ 整理得，‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴当，即直线的斜率为时，取得最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎ ‎22．已知函数 ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)设，若，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由函数，求得，分类讨论，即可得出函数的单调性；‎ ‎（2）求得函数的导数，令，利用导数得到函数在上单调递增且，再分和分别求解，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，则，‎ ‎①若，，在上单调递增；‎ ‎②若，当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ ‎（2）由，得，‎ 令，则.‎ 所以在上单调递增，且.‎ ‎①当时，，函数单调递增.‎ 由于恒成立，则有.即.‎ 所以满足条件.‎ ‎②当时，则存在，使得，‎ 当时，，则，单调递减；‎ 当时，则，，单调递增.‎ 所以，‎ 又满足，即，‎ 所以，则，‎ 即，得，‎ 又，令，则，‎ 可知，当时，，则单调递减，‎ 所以，此时满足条件，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎