【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第3节　函数的奇偶性、周期性与对称性教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第3节　函数的奇偶性、周期性与对称性教案

第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函 数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应 用简单函数的周期性． (对应学生用书第 13 页) [基础知识填充] 1．函数的奇偶性 (1) 奇偶 性 定义 图象特点 偶函 数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴 对称 奇函 数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点 对称 (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域 内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个 函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 3．函数的对称性常见的结论 (1)函数 y＝f(x)关于 x＝a＋b 2 对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝ 2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x) ＝0； 函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展] 1．函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区 间上具有相反的单调性． (4)y＝f(x＋a)是奇函数，则 f(－x＋a)＝－f(x＋a)； y＝f(x＋a)是偶函数，则 f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a＞0)． (2)若 f(x＋a)＝ 1 fx ，则 T＝2a(a＞0)． (3)若 f(x＋a)＝－ 1 fx ，则 T＝2a(a＞0)． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．( ) (4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( ) (5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a＞0)的周期 函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( ) A．－1 3 B．1 3 C．1 2 D．－1 2 B [依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)， ∴b＝0 且 a＝1 3 ，则 a＋b＝1 3.] 3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( ) A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x D [D 中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．] 4．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，则 f(8)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 B [∵f(x)为定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0， 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.] 5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈(－∞，0) 时，f(x)＝2x3＋x2，则 f(2)＝________. 12 [法一：令 x＞0，则－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)． ∴f(2)＝2×23－22＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.] (对应学生用书第 14 页) 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (2)f(x)＝ln( x2＋1＋x)； (3)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x ； (4)f(x)＝ x2＋x，x＞0， x2－x，x＜0. [解] (1)由 x2－1≥0， 1－x2≥0， 得 x＝±1， ∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， ∴f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)f(x)的定义域为 R， f(－x)＝(ln x2＋1－x)＝ln 1 x2＋1＋x ＝－ln( x2＋1＋x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)由1－x 1＋x ≥0 可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数． (4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x＞0 时， f(x)＝x2＋x， 则当 x＜0 时，－x＞0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x＜0 时，f(x)＝x2－x，则当 x＞0 时，－x＜0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． [规律方法] 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇 ×偶＝奇． [跟踪训练] (1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递 增的是( ) A．y＝cos x B．y＝ x C．y＝2|x| D．y＝|lg x| (2)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下 列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 (1)C (2)C [(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项 B，D；对应函数在 (0,1)上单调递增，可以排除选项 A；y＝2|x|是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选 项 C 正确，故选 C． (2)A：令 h(x)＝f(x)·g(x)，则 h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)， ∴h(x)是奇函数，A 错． B：令 h(x)＝|f(x)|g(x)，则 h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函数，B 错． C：令 h(x)＝f(x)|g(x)|，则 h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x) 是奇函数，C 正确． D：令 h(x)＝|f(x)·g(x)|，则 h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝ h(x)， ∴h(x)是偶函数，D 错．] 函数的周期性 (1)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0log24.1>log24＝2>20.8， ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c. 故选 C． (2)由题意得 f(x＋4)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝ f(x)，∴函数 f(x)以 8 为周期，∴f(2 017)＝f(1)＝1，故选 B． (3)∵函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1) ＝3， 又∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝3.]