2017-2018学年福建省晋江市养正中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年福建省晋江市养正中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018年下学期养正中学高二数学（理科）期中考试卷 班级_________姓名______________座号_________分数_______‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．设复数z满足，则|1＋z|等于(　　) ‎ A．0 B．‎1 C. D．2‎ ‎2．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（　　）‎ A．n=45，p= B．n=45，p= C．n=90，p= D．n=90，p=‎ ‎3．①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；‎ ‎②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；‎ ‎③在某项测量中，测量结果服从正态分布 ，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；‎ ‎④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( )A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③‎ ‎4．《九章算术》勾股章有一问题:今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其意思是:现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽.现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知； .若“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．盒子里共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球个白球，从盒子中任取个球，则恰好取到个红球个白球的概率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎7..已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎8.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递增，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，方程的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（ ）‎ A．114种 B．150种 C．120种 D．118种 ‎12．已知为函数的导函数，当是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在极坐标系中，过点（2， ）且与极轴平行的直线的极坐标方程是________.‎ ‎14.二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是，则展开式中的常数项为 ．‎ ‎15．某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分) 服从正态分布 ，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件,则在事件发生的条件下事件发生的概率______.（结果用分数表示） 附： 满足： ； ； ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，过点P(1, 2)的直线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线C相交于M，N两点，求的值.‎ ‎19．如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是 的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20．伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：‎ ‎（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；‎ ‎（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.①求随机变量的分布列；②求随机变量的数学期望.‎ 参考数据如下：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考格式：，其中 ‎21．已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若函数，试研究函数的极值情况；‎ ‎（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.‎ ‎2017-2018年下学期养正中学高二数学（理科）期中考试卷答案 ‎1-5.C C DA C 6-10. B C C D D 11-12. A B 13.1514 14.【答案】15.‎ ‎17.1．（1）；（2）或.。‎ ‎（1）时，不等式为，等价于 或或，‎ 解得，或或，‎ ‎∴，∴不等式的解集是.‎ ‎（2）由绝对值的三角不等式得，‎ ‎∵对于恒成立，‎ ‎∴，解得或.∴实数的取值范围为．‎ ‎18.（1）由已知得：，消去得，∴化为一般方程为：，即：：.‎ 曲线：得，，即，整理得，即：：.‎ ‎19. (1)连接，因为，底面是等边三角形，‎ 又因为是的中点，所以又因为，所以平面.‎ ‎（2）因为，由（1）可知，而，所以 以为原点，以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，，由题得平面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为所以，即 令得，所以，‎ 所以由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）列联表如下：‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关.‎ ‎（2）①由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列是 ‎②.‎ ‎21.(1)设，由题得又，∴，，由，得，即，∴轨迹的方程为.‎ ‎（2）设点，，由，得，∴，∴直线的方程为，令，可得，∴点的坐标为，‎ ‎∴，（*）‎ 要使方程（*）对恒成立，则必有解得.‎ 即在轴上存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.‎ ‎22. （1）由题意，得，故，‎ 故，.令，得 ① 当时，，‎ 或；,‎ 所以在处取极大值，在处取极小值.‎ ‎②当时，，恒成立，所以不存在极值；‎ ‎③当时，，或；,‎ 所以在处取极大值，在处取极小值.‎ 综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.‎ ‎（2），定义域为，‎ ‎，而，故，即在区间内单调递增 又，，‎ 且在区间内的图象连续不断，‎ 故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.‎ 所以存在，使得，‎ 且当时，；‎ 当时，，‎ 所以 当时，，‎ 由得单调递增；‎ 当时，，‎ 由得单调递减；‎ 若在区间内有两个不等实根（）‎ 则.‎ 要证，即证 又，而在区间内单调递减，‎ 故可证，‎ 又由，‎ 即证，‎ 即 记，其中 记，则，‎ 当时，；‎ 当时，，故 而，故，而，‎ 所以，‎ 因此，‎ 即单调递增，故当时，，‎ 即，故，得证.‎