安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（六）线下考试数学（理）试题

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（六）线下考试数学（理）试题

六安一中 2020 届高三年级自测试卷理科数学（六）‎ 命题人： 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合 A = {x | -1 < x < 3}，集合 B = {x | x(2x - 7) £ 0}，则 A I (CR B) = （ ）‎ A．{x | -1 < x < 0}B．{x | x ³ 3}‎ ‎C．{x | -1 £ x £ 7}‎ ‎2‎ ‎D．{x | 0 £ x £ 7}‎ ‎2‎ ‎2．设复数 z 满足 z - 3 = 2， z 在复平面内对应的点为M (a, b) ，则M 不可能为（ ）‎ ‎3‎ A．（3,2） B．（5,0） C．（2， 3．已知b > a > 0 ，则（ ）‎ ‎） D．（4,1）‎ A． 1- a > 1- b ‎æ 1 öa B． ç 2 ÷ ‎æ 1 öb < ç 2 ÷ ‎C． lg a < lg b ‎D． 1 < 1‎ a b è ø è ø r ‎4．已知向量m = (3, 0), n = (-3, 0), (q - m) ^ (q - n) ，则 q 为（ ）‎ A．7 B．5 C．3 D．1‎ ‎5．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）‎ A.1 - 2‎ π ‎B. 2‎ π ‎C. 2 π2‎ ‎D.1 - 2‎ π2‎ ‎2‎ ‎6．函数 f (x) = sin x + x cos x 在[-2p, 0)U (0, 2p]上的图像大致为 x 20‎ ‎（ ）‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出结果是（ ）‎ A．-2 B．-1 C．2 D．3‎ ‎8．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同 学参加 A, B, C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）‎ A．24 B．36 C．48 D．64‎ ‎9．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1 ;顶部为球O2 ，其直径与正四面体的棱长 a 相等，则球O1 与球O2 的半径之比r1 : r2 = （ ）‎ ‎6‎ A．1: 6 B．1:‎ ‎3‎ C．1: 3 D．1:‎ ìx ³ 0‎ í ‎10．设 x, y 满足约束条件ï y ³ x î ï4x + 3y £ 12‎ ‎2x + 2 y + 4‎ ‎，则 的取值范围是（ ）‎ x +1‎ A．[4,12] B． [4,11] x2 2‎ ‎C． [2, 6] ‎D． [1,5] ‎11．如图，已知椭圆C1 : 4 + y ‎= 1 ，过抛物线C2‎ ‎: x2 = 4 y 焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两 点，连接 NO, MO 并延长分别交C1 于 A, B 两点，连接 AB ， DOMN 与DOAB 的面积分别记为 SDOMN , SDOAB ,则在下列命题中，正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若记直线 NO, MO 的斜率分别为k , k ，则k k 的大小是定值为- 1 ；‎ ‎1 2 1 2 4‎ ‎② DOAB 的面积 SDOAB 是定值 1；‎ ‎③线段OA, OB 长度的平方和 OA 2 + OB 2 是定值 5；‎ ‎④设l= SDOMN ,则l³ 2 ；‎ SDOAB A.4 个 B．3 个 C.2 个 D.1 个 ‎4ax2‎ ‎12．已知函数 f (x) = ln x - 2ax, g(x) = - 2x, 若方程 f (x) = g(x) 恰有三个不相等的实根，‎ ln x 则a 的取值范为（ ）‎ A. æ 0, 1 ö B． (0, e] C. (e, +¥) D. æ 0, 1 ö ç 2e ÷ ç e ÷ è ø è ø 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分.‎ ‎13．若(mx + y)6 展开式中 x3 y3 的系数为-160，则m = ．‎ ‎14．已知 Sn 为公差不为零的等差数列{an }的前n 项和，若 S4 = S3 + 7 ，且a2 , a5 , a14 成等比数列，则 S10 = ．‎ ‎15．已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 的体积为 32， AB = 2BC = 4, E Î 平面ABB1A1 ,若点 E 到直线 AA1 的距离与到直线CD 的距离相等，则 D1E 的最小值 ．‎ x2 y2‎ ‎16．已知双曲线C : a2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,直线l 是双曲线C 过第一、三 象限的渐近线，记直线l 的倾斜角为a，直线l '： y = tan a x, F M ^ l' ，垂足为 M ，若 M 在 • ‎2‎ ‎2‎ 双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为 ．‎ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17—21 题为必考题，‎ 每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共 60 分.‎ ‎17．（本小题满分 12 分）‎ 在DABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a,b, c ，满足bc cos C + c2 cos B = 2ab.‎ ‎（1）求 c 的值；‎ b ‎6‎ ‎（2）若a = ，求DABC 面积的最大值.‎ ‎18．（本小题满分 12 分）‎ 如图，多面体 ABCDE 中，平面 AEC ^ 平面 ABC , AC ^ BC, AE ^ CD ,四边形 BCDE 为平行四边形.‎ ‎（1）证明： AE ^ EC;‎ ‎2‎ ‎（2）若 AE = EC = CB = ,求二面角 D - AC - E 的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分 12 分）‎ ‎2‎ y2 x2‎ 已椭圆 E : a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ‎（1）求椭圆 E 的方程；‎ ‎，且过点C(1, 0).‎ ‎2‎ ‎（2）若过点 (- 1 , 0) 的任意直线与椭圆 E 相交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 M ,求证：恒有 ‎3‎ AB = 2 CM .‎ ‎20．（本小题满分 12 分）‎ 已知函数 f (x) = ex - 2x - cos x.‎ ‎（1）当 x Î (-¥, 0) 时，求证 f (x) > 0;‎ ‎（2）若函数 g(x) = f (x) + ln(x + 1), 求证： g (x) 存在极小值.‎ ‎21．（本小题满分 12 分）‎ 为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市之间建一条直达公路，中间设有至少 8 个的偶数个十字路口，记为2m ，现规划在每个路口处种植杨树 或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 1 ．‎ ‎2‎ ‎（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：‎ 是否有99.9% 的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；‎ ‎（2）若从所有的路口中随机抽取 4 个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及数学期望；‎ ‎（3）在所有的路口种植完成后，选取 3 个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为 M ，求证3M ³ m(m -1)(m - 2) ．‎ ‎(二)选考题：共 10 分请考生在 22,23 两题选一题作答.‎ ‎22.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】‎ í 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为ïì x = 2 cosa （a为参数）．以坐标 ïî y = 2 sina 原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 ‎)‎ 为 2rsin(q+ p = 1．‎ ‎4‎ ‎（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；‎ PA PB ‎（2）设点 P 的直角坐标为（1,0），若直线l 与曲线C 分别相交于 A, B 两点，求 1 + 1‎ ‎‎ 的值.‎ ‎23.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 f (x) = x + x + 1 ．‎ ‎（Ⅰ）求不等式 f (x) ³ 2的解集；‎ ‎（2）若a,b, c Î R+ ，函数 f (x)的最小值为m ，若a + b + c = m ，求证ab + bc + ac £ 1 .‎ ‎3‎ 六安一中 2020 届高三年级自测试卷理科数学（六）参考答案 ‎1. 选 A,因为 B : 0 £ x £ 7 , C B : x < 0或x > 7 , 所以 A I (C B) = {x | -1 < x < 0}‎ ‎ ‎ ‎2 R 2 R ‎2. 选 D，因为 a, b 满足(a - 3)2 + b2 = 4‎ r r r r r 2‎ - r r r r r r 2‎ 3. 选 C，因为 y = lg x 在(0, +¥) 单调增 3. 选 C，因为 ‎(q - m)g(q - n) = q ‎(m + n)gq + mgn = 0, q = 9‎ ‎5.选 A sin(-x) (-x)2 cos(-x) sin x x2 cos x ‎6. 选 A， f (-x) = ‎-x + ‎= + ‎20 x ‎= f (x) 偶函数，故关于 y 轴对称，‎ ‎20‎ p2 p2‎ 排除 C， f (p) = - < 0 排除 B， f (2p) = > 0 ，排除 D ‎20 5‎ ‎7. 选 D， s = 0, n = 2; s = 2, n = 3; s = -1, n = 4; s = 3, n = 5 退出循环 ‎3 3‎ 8. 选 B，先分组再排列，若按照3 :1:1进行分配，则有C1 A3 = 18;若按照 2 : 2 :1进行分配，则有 ‎3 3‎ C 2 A3 = 18 ,共有36种 8. 选 B，设内切球O 的半径 r ，正四面体的高为 h ，利用等体积法得 4 ´ 1 Sr = 1 Sh ，所以4r ‎ ‎ ‎‎ = h ，‎ ‎1 1 3 1 3 1‎ 又 h = ‎= 6 a ，则 r = 6 a ， O 的半径 r = 1 a ，所以 r : r = 1:‎ a2 - ( 3 a)2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎3 1 12 2 2 2 1 2‎ 9. 选 A,‎ ‎2x + 2 y + 4 = 2(x +1) + 2( y +1) = 2+ 2‎ ‎ ‎ ‎y +1‎ ‎‎ ‎，k = ‎y +1‎ ‎‎ 的几何意义为平面区域内的点到 x +1‎ ‎x +1‎ ‎x +1‎ ‎x +1‎ 定点 D(-1, -1) 的斜率，1 £ k £ 5, 4 £ 2k + 2 £ 12‎ 10. 选 A, 记 M , N 两 点 的 坐 标 分 别 为 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 )‎ ‎‎ ‎， 由 抛 物 线 焦 点 的 性 质 可 得 ‎2 p2‎ ‎y y 1‎ x x = - p = -4, y y = = 1 ，则 k1k2 = 1 2 = - ，故①对，设 A, B 两点的坐标分别为 ‎ ‎ ‎1 2 1 2 4‎ ‎x1x2 4‎ A(2 cosa, sina), B(2 cos b, sin b) ，由 k k ‎1 sinasin b = - 可得：‎ ‎= - 1‎ ‎1 2 4‎ ‎4 cosacos b 4‎ ‎( k 则有cosacos b+ sinasin b= 0 ，即cos(a- b) = 0, a- b = kp+ p ‎‎ Î Z)‎ ‎2‎ A' , B' 是 A, B 在 x 轴投影 SDABO = SBB' A ' A - SVOAA' - SVOBB' = = 1 (sina+ sin b)(2 cosa- 2 cos b) - 1 (- sina)(-2 cosa) - 1 (- sin b)2 cos b ，故②正确 ‎2 2 2‎ ‎1 2 cosacos b- 2 sinasin b = sin(a- b) =1 2‎ 而 OA 2 + OB 2 = 4(cos2 a+ cos2 b) + (sin2 a+ sin2 b) = 4 + 1 = 5 ，故③正确 x1x2 xA xB ‎4‎ ‎4 cosacos b ‎2‎ sin 2a 最后，l= = = ³ 2 ，故④正确 8. 选 A，由题意可知方程 f (x) = g(x) 在(0,1) U (1, +¥) 上恰有三个不相等的实根，即 +¥ ‎4ax2‎ ln x - 2ax = - 2x 在(0,1) U (1, ) 上恰有三个不相等的实根，‎ ln x 又Q x > 0，所以两边同时除以 x 可得 ln x - 2a = 4ax - 2 ，‎ ln x ‎x ln x ‎4a 令t(x) = ‎, x Î (0,1) U (1, +¥) ，则上述方程转化为t(x) - 2a - + 2 = 0 ，‎ x t(x)‎ 即[t(x) + 2][t(x) - 2a ]= 0,t(x) = -2 或t(x) = 2a ，‎ Qt' (x) = 1- ln x , 当x Î (0,1) U (1, e)时，t' (x) > 0, 当x Î (e, +¥) 时，t' (x) < 0‎ x2‎ t(x) 在(0,1), (1, e) 上单调递增，且 x ® 0,t(x) ® -¥ 在(e, +¥) 上单调递减，且 x ® +¥,t (x) ® 0‎ x = e t(x) 取得最大值为 1 ，当t(x) = -2 时，仅有一个实数根，‎ e t(x) = 2a ‎应 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ， t(x) = 2a ‎应 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ，‎ < 2a < 1 , a Î (0, 1 )‎ e 2e ‎6‎ ‎13. -2 m3C3 = -160, m = -2‎ ‎14.100 S ‎= S + 7, a = 7 ，设数列{a }的公差为 d (d ¹ 0) ，有ìa1 + 3d = 7 解 ‎4 3 4 n ‎í(a + 4d )2 = (a + d )(a +13d )‎ ìa1 = 1‎ î 得 íd = 2所以 S10 = 10 + ‎‎ ‎10 ´ 9‎ ‎2‎ ‎‎ ´ 2 = 100‎ ‎î 1 1 1‎ ‎1 1 1 1‎ ‎15. 4 因为VABCD - A B C D ‎= 32, AB = 2BC = 4 ,所以 AA1 = 4 ,以 D 为原点， DA, DC, DD1 所在 ‎4 + z 2‎ 直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 E(2, y, z) ，则点 E 到直线 AA1 的距离 ‎4 + z2‎ 为 y ， 点 E 到 直 线 CD 的 距 离 为 ‎， 故 y = ‎， 而 D1 (0, 0, 4), 故 ‎4 + y 2 + (z - 4)2‎ D1E = ‎5‎ ‎16. -1‎ ‎= ‎2z 2 - 8z + 24‎ 设 ÐMOF = a ‎³ 4‎ = c, tana= b , sina = b , sin 2a+ cos 2a= 1 解 得 ‎2 2 , OF2‎ ‎a cosa a ‎, c cos sin ),‎ sina= b , cosa= a ，则 OM = c cosa，故 M (c cos2 a a a 化简得 c c M ( c + a b ‎ ‎ ‎2 2 2 2‎ ‎5‎ ‎, ) 代入双曲线方程可得e = -1 2 2‎ ‎17.解：（ I ） 由 bc cos C + c2 cos B = 2ab ， 得 c(b cos C + c cos B) = 2ab ， 由正弦定理知：‎ c(sin B cos C + sin C cos B) = 2b sin A 即： c sin(B + C) = 2b sin A, c sin A = 2b sin A Qsin A ¹ 0,c = 2b ‎c = 2‎ b ‎‎ ‎…………………………………………………………..5 分 ‎（II）由余弦定理知，‎ ‎a2 = c2 + b2 - 2bc cos A = 5b2 - 4b2 cos A, 则b2 = ‎6‎ ‎5 - 4 cos A S = 1 bc sin A = b 2 sin A = ‎6 sin A ‎………………………………………..8 分 ‎36 +16S 2‎ D 2 5 - 4 cos A 即： 5S - 4S cos A = 6 sin A, ‎36 +16S 2 sin( A - j) = 5S ‎³ 5S ‎…10 分 解得 S £ 2 ,即面积最大值是 2………………………………………………..12 分 ‎（解法二：构造圆，数形结合求斜率最值）‎ ‎19．（I）由题意知b =1， c = a 又因为 a 2 = b 2 + c 2 解得， a = ‎2 .…………………………………………………….…1 分 ‎2‎ ‎2 . ………………………………………………….……3 分 所以椭圆方程为 ‎y2 + 2‎ x ‎2‎ ‎‎ = 1. ……………………………………………………………….4 分 ‎（Ⅱ） 设过点(- 1 , 0) 直线为 x = ty - 1 ，设 A(x , y )， B(x , y )  ‎3‎ ì x = ty - 1‎ ‎3 1 1 2 2‎ 由í y 2 得(9 +18t ) y -12ty -16 = 0，且D> 0.‎ ï 3 2 2‎ ï ï + x2 = 1‎ î 2‎ 则 ì y + y = ‎12t ,‎ ï 1 2‎ í ‎9 +18t 2‎ ‎16‎ ‎¼..............................................................¼6分 ï y y = - ,‎ îï 1 2‎ ‎9 +18t 2‎ 又因为CA = (x1 -1, y1 )， CB = (x2 -1, y2 )，‎ uur uuur ‎æ 4 öæ 4 ö ‎2 4 16‎ CA×CB = (x1 -1)(x2 -1) + y1 y2 = çty1 - è ‎÷çty - ‎3 2‎ øè ‎÷ + y1 y2 = (1+ t ‎3 ø ‎)y1 y2 - ‎t ( y1 + y2 )+ ‎3 9‎ = (1 + t 2 ) -16 - 4t × 12t + 16 = 0 ，……………………………..…10 分 ‎9 + 18t 2 3 9 + 18t 2 9‎ 所以C A ^ C B .‎ 因为线段 AB 的中点为 M，所以| AB|= 2| CM |.…………………………………12 分 ‎20.(I)依题意， f ' (x) = ex - 2 + sin x …………………………………………………1 分ex < e0 = 1, sin x -1 £ 0 故 f ' (x) < 0 ……………………………………………….3 分故函数 f (x) 在(-¥, 0) 上单调递减，故 f (x) > f (0) = 0 ………………………...4 分 ‎(II)解法一：依题意， g(x) = ex - 2x - cos x + ln(x +1), x > -1‎ 令 h(x) = g ' (x) = e x + ‎1‎ x +1‎ ‎+ sin x - 2, h(0) = 0‎ 而 h' (x) = ex - ‎1 + cos x ，可知当 x Î p '‎ ‎‎ > 0 …………………….6 分 故函数 h(x) 在 ‎‎ ‎(x +1)2‎ p ‎(0, ) 上单调递增，故当 x Î ‎2‎ ‎(0, ), h (x)‎ ‎2‎ p ‎(0, ), h(x)‎ ‎2‎ ‎‎ = g '(x) > g '(0) = 0 ……8 分 当 x Î (-1, 0) 时，函数 h' (x) 单调递增，而 h' (0) = 1‎ 又 h' (- ‎9 - 9 9 '‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎) = e 10 + cos(- ) -100 < 0 ，故$x0 Î (- , 0) ，使得 h (x )=0‎ ‎ ‎ ‎10 10 10‎ 故$x Î (x0 , 0) ，使得 h' (x) > 0 ，即函数 h(x) 单调增，使得 g ' (x) 单调递增；‎ ‎0‎ 故当 x Î (x , 0), g ' (x) < g ' (0) = 0 …………………………………………………..11 分 当函数 g(x) 在(x0 , 0) 单调递减，在 ‎p ‎(0, ) 单调递增 ‎2‎ 故当 x = 0 时，函数 g(x) 有极小值 g(0) = 0 ………………………………………12 分解法二：依题意： g(x) = ex - 2x - cos x + ln(x +1), x > -1‎ h(x) = g ' (x) = e x + ‎1‎ x +1‎ ‎+ sin x - 2, h(0) = 0 ………………………………….5 分 而 h' (x) = ex - ‎1 + cos x ，可知当 x Î p '‎ ‎‎ > 0 ,故 h(x) 在 ‎p 上单调递增，故 ‎(x +1)2‎ ‎(0, ), h (x)‎ ‎2‎ ‎(0, )‎ ‎2‎ h(x) > h(0) = 0, g ' (x) > 0‎ 当 x Î (-1, 0) 时，令 s(x) = (x +1)2 e x , t(x) = (x +1)2 cos x 则 s' (x) = (x +1)(x + 3)e x > 0 ，故 s(x) 是(-1, 0) 上的增函数 所以 s(-1) < s(x) < s(0), 0 < s(x) < 1‎ ‎…………………….6 分 故存在区间(x , 0) Ì (-1, 0) ，使 s(x) > 1 , e x > 1‎ ‎‎ ‎……………………………….8 分 ‎1 2 2( x +1)2‎ 又0 < ( x +1)2 < 1, cos1 < cos x < 1, 0 < t( x) < 1‎ 故存在区间(x , 0) Í (-1, 0), t(x) > 1 , cos x > 1‎ ‎‎ ‎…………………………………10 分 ‎2 2 2( x +1) 2‎ 设(x , 0) I (x , 0) = (x , 0) ，则在区间(x , 0) 上 h' (x) = ex - ‎1 + cos x > 0 ，故 h(x) 是(x , 0)‎ ‎1 2 0 0‎ ‎(x +1)2 0‎ ‎0‎ 上的增函数，即在区间(x , 0) 上 g ' (x) = ex + ‎1‎ x +1‎ ‎+ sin x - 2 < 0 ……………11 分 故当 x = 0 时，函数 g(x) 有极小值 g(0) = 0 …………………………………………….12 分