2021届新高考版高考数学一轮复习训练：第十章 第二讲　二项式定理

2021届新高考版高考数学一轮复习训练：第十章 第二讲　二项式定理

第二讲　二项式定理 ‎ ‎ ‎1.[多选题]若‎(1-ax+x‎2‎)‎‎4‎的展开式中x5的系数为-56,则下列结论正确的是(　　)‎ A.a的值为-2 ‎ B.展开式中各项系数之和为0 ‎ C.展开式中x的系数为4 ‎ D.展开式中二项式系数最大的为70‎ ‎2.[2020四川五校联考](3x3+x4)(2-‎1‎x)8的展开式中x2的系数为(　　)‎ A.-1 280 B.4 864 C.-4 864 D.1 280‎ ‎3.[2020安徽省示范高中名校联考]在二项式(x‎+‎‎3‎x)n的展开式中,各项系数和为M,二项式系数和为N,且M+N=72,则展开式中常数项为(　　)‎ A.18 B.12 C. 9 D.6‎ ‎4.[2020山西忻州高三模拟]设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(　　) ‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎5.[2019江西红色七校第一次联考]二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为(　　)‎ A.120 B.135 C.140 D.100‎ ‎6.[2019武汉市高三调研测试]若(x4-‎1‎xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于(　　)‎ A.8 B.10 C.11 D.12‎ ‎7.[2020 重庆南开中学模拟]已知(ax+1)n(n∈N*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a=　　　　. ‎ ‎8.[2020武汉市部分学校质量监测]若(2x+‎1‎‎3‎x)n的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的常数项为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎9.[2020唐山市摸底考试]在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是(　　)‎ A.-10 B.0 C.10 D.20‎ ‎10.[2020深圳高级中学高三适应性考试]已知(1+ax)·(2x -‎ ‎‎1‎x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为(　　)‎ A.-80 B.-40 C.40 D.80‎ ‎11.[2019江淮十校联考]已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x3的项的系数是(　　)‎ A.-40 B.-20 C.20 D.40‎ ‎12.[2019江苏四校联考]已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则 奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A.212 B.211 C.210 D.29‎ ‎13.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为　　　　　. ‎ ‎14.[2019江淮十校联考]若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为　　　　. ‎ ‎15.[2019上海市普陀区模拟]如果(x2-‎ ‎‎1‎‎ 2x)n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是　　　　. ‎ ‎16.[2019闽粤赣三省十校联考]若(x3+‎1‎x‎2‎)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为　　　　. ‎ ‎17.[新角度题](x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为 (　　)‎ A.-136 000　 B.-136 080　 C.-136 160　 D.-136 280‎ ‎18.[多选题]已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,若a0+a‎1‎‎2‎‎+‎a‎2‎‎2‎‎2‎+…+a‎7‎‎2‎‎7‎=-128,则有(　　)‎ A.m=2 B.a3=-280‎ C.a0=-1 D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14 ‎ ‎19. [双空题]若二项式(ax2+‎1‎x)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为　　　　,展开式中所有无理项的系数之和为　　　　. ‎ ‎20.[2019河北衡水质量测评][易错题]二项式(ax+bx)n(a>0,b>0)的展开式中,设所有二项式系数的和为A,所有项的系数的和为B,常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为　　　　. ‎ 第二讲　二项式定理 ‎1.BD　因为(1- ax+x2)4=[(1- ax)+x2]4,C‎4‎‎3‎C‎3‎‎3‎‎(- ax)‎‎3‎x2‎+‎C‎4‎‎2‎C‎2‎‎1‎·(- ax)(x2)2=(- 4a3- 12a)x5,所以- 4a3- 12‎ a=- 56,解得a=2.(1- ax+x2)4=(x- 1)8,令x=1,则展开式中各项系数之和为0,‎ 展开式中x的系数为C‎8‎‎7‎(- 1)7=- 8,展开式中二项式系数最大的为C‎8‎‎4‎=70.故选BD.‎ ‎2.A　由(2- ‎1‎x)8的展开式的通项Tr+1=C‎8‎r28- r(- ‎1‎x)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里取C‎8‎‎1‎×27×(- ‎1‎x),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C‎8‎‎2‎×26×(- ‎1‎x)2,故展开式中的x2项为3x3[C‎8‎‎1‎×27×(- ‎1‎x)]+x4[C‎8‎‎2‎×26×(- ‎1‎x)2],化简得- 1 280x2.故选A.‎ ‎3.C　解法一　令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.‎ 则展开式的通项公式为Tk+1=C‎3‎k(x)3- k(‎3‎x)k=3kC‎3‎kx‎3- 3k‎2‎,令3- 3k=0,得k=1,所以常数项为9.故选C.‎ 解法二　令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.‎ ‎(x‎+‎‎3‎x)3可看作三个(x‎+‎‎3‎x)相乘,其展开式中的常数项为C‎3‎‎1‎‎×‎3‎x×‎‎(x)‎‎2‎=9.故选C.‎ ‎4.B　根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C‎2mm=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C‎2m+1‎m‎=‎C‎2m+1‎m+1‎=b.‎ 又13a=7b,所以13C‎2mm=7C‎2m+1‎m,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.‎ ‎5.B　(1- x)10的展开式的通项Tr+1=C‎10‎r(- x)r=(- 1)rC‎10‎rxr,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为(- 1)4C‎10‎‎4‎‎+‎(- 1)3C‎10‎‎3‎‎+‎(- 1)2C‎10‎‎2‎=135.故选B.‎ ‎6.C　(x4- ‎1‎xx)n的展开式的通项Tr+1=Cnr(x4)n- r(- ‎1‎xx)r=(- 1)rCnrx‎4n- ‎11‎‎2‎r,‎ 当4n- ‎11‎‎2‎r=0,即n=‎11‎‎8‎r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.‎ ‎7.2　依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.‎ ‎8.8　令x=1,得展开式中所有项系数和为3n=81,解得n=4.(2x‎+‎‎1‎‎3‎x)4的展开式的通项公式为Tr+1=C‎4‎r(2x)4- r(‎1‎‎3‎x)r=24- rC‎4‎rx‎4- ‎4‎‎3‎r,‎ 令4- ‎4‎‎3‎r=0,得r=3,所以展开式中的常数项为24- 3C‎4‎‎3‎=8.‎ ‎9.B　解法一　(x- y)5展开式的通项Tk+1=Ck‎5‎x5- k(- y)k=(- 1)kC‎5‎kx5- kyk,所以(x+y)(x- y)5的展开式的通项为(- 1)kC‎5‎kx6- kyk或(- 1)kC‎5‎kx5- kyk+1,‎ 则当k=3时,有(- 1)kC‎5‎kx6- kyk=- 10x3y3,‎ 当k=2时,有(- 1)kC‎5‎kx5- kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0,故选B.‎ 解法二　(x+y)(x- y)5=(x+y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取- y,所以有xC‎5‎‎2‎x2(- y)3=- 10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取- y,所以有yC‎5‎‎3‎x3(- y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.‎ ‎10.D　令x=1,得展开式中各项系数和为(1‎+‎a‎1‎)(2- ‎1‎‎1‎)5=1+a,‎ 所以1+a=2,所以a=1,‎ 所以(1‎+‎ax)(2x- ‎1‎x)5=(1‎+‎‎1‎x)(2x- ‎1‎x)5=(2x- ‎1‎x)5‎+‎‎1‎x(2x- ‎1‎x)5,‎ 所求展开式中常数项为(2x- ‎1‎x)5的展开式中的常数项与含x的项的系数和,‎ ‎(2x- ‎1‎x)5的展开式的通项Tr+1=C‎5‎r(2x)5- r·(- 1)r(‎1‎x)r=(- 1)r25- rC‎5‎rx5- 2r.‎ 令5- 2r=1,得r=2;令5- 2r=0,无整数解.‎ 所以展开式中的常数项为8C‎5‎‎2‎=80.故选D.‎ ‎11.D　已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,‎ 令x=1,得2(2+a)5=2,解得a=- 1.‎ 解法一　因为(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5=(x+1)(32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- 1),‎ 故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.‎ 解法二　由(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5,易知(2x- 1)5的展开式的通项Tr+1=C‎5‎r(2x)5- r(- 1)r=(- 1)rC‎5‎r25- rx5- r.‎ ‎①当x+1中取x时,令r=3,则含x3的项的系数为1×(- 1)3×C‎5‎‎3‎×22=- 40.‎ ‎②当x+1中取1时,令r=2,则含x3的项的系数为1×(- 1)2×C‎5‎‎2‎×23=80.‎ 故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.‎ ‎12.D　因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn‎3‎‎=‎Cn‎7‎,解得n=10.‎ 从而C‎10‎‎0‎‎+C‎10‎‎1‎+C‎10‎‎2‎+‎…‎+‎C‎10‎‎10‎=210,所以奇数项的二项式系数和为C‎10‎‎0‎+C‎10‎‎2‎+…+C‎10‎‎10‎=29.故选D.‎ ‎13.- 320　(x- 2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6- 2y(2x+y)6+(2x+y)6,(2x+y)6的展开式的通项Tr+1=C‎6‎r(2x)6- ryr=C‎6‎r26- r·x6- ryr.‎ x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为C‎6‎‎3‎23=160;- 2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 2×C‎6‎‎2‎×24=- 480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.‎ 综上,(x- 2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 320.‎ ‎14.0或2　因为x+a=(x+1)+(a- 1),所以(x+a)9=[(x+1)+(a- 1)]9,其展开式的通项Tr+1=C‎9‎r(a- 1)9- r(x+1)r,所以a5=C‎9‎‎5‎(a- 1)4=126,所以(a- 1)4=1,解得a=0或2.‎ ‎15.‎1‎‎64‎　因为(x2- ‎1‎‎2x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,‎ 所以展开式中共有2×4- 1=7(项),所以n=6,所以(x2- ‎1‎‎2x)n=(x2- ‎1‎‎2x)6.‎ 令x=1,可得展开式中所有项的系数之和是(1- ‎1‎‎2‎)6=‎1‎‎64‎.‎ ‎16.210　由于(x3‎+‎‎1‎x‎2‎)n的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.‎ 所以(x3‎+‎‎1‎x‎2‎)n=(x3‎+‎‎1‎x‎2‎)10,展开式的通项Tr+1=C‎10‎r‎(x‎3‎)‎‎10- r·x- 2r=C‎10‎rx30- 5r,所以当r=6时,C‎10‎rx30- 5r为常数项,‎ 所以常数项为210.‎ ‎17.B　由(x+2y- 3z)9=[x+(2y- 3z)]9,得其展开式的通项Tr+1=C‎9‎r·x9- r·(2y- 3z)r=C‎9‎r·x9- r·Crt·(2y)r- t·(- 3z)t=C‎9‎r·Crt·2r- t·(- 3)t·x9- r·yr- t·zt(0≤t≤r≤9),‎ 令t=3,‎r- t=2,‎‎9- r=4,‎解得t=3,‎r=5.‎故含x4y2z3项的系数为C‎9‎‎5‎‎×‎C‎5‎‎3‎×22×(- 3)3=- 136 080.‎ ‎18.BCD　令1- x=‎1‎‎2‎,即x=‎1‎‎2‎,可得(2×‎1‎‎2‎- m)7=(1- m)7=a0‎+a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎‎2‎+‎…‎+‎a‎7‎‎2‎‎7‎=- 128,解得m=3,故A错误;令x=1,得a0=(- 1)7=- 1,(2x- 3)7=[- 1- 2(1- x)]7,所以a3=C‎7‎‎3‎×(- 1)4×(- 2)3=- 280,故B,C正确;对(2x- 3)7=a ‎0+a1(1- x)+a2(1- x)2+…+a7(1- x)7两边求导得14(2x- 3)6=- a1- 2a2(1- x)- …- 7a7(1- x)6,令x=2得- a1+2a2- 3a3+4a4- 5a5+6a6- 7a7=14,故D正确.故选BCD.‎ ‎19.2　121　易知(ax2‎+‎‎1‎x)5的展开式的通项Tr+1=C‎5‎r(ax2)5- r·(‎1‎x)r=C‎5‎ra5- rx‎10- ‎‎5r‎2‎.令10- ‎5r‎2‎=0,解得r=4,所以常数项为T5=C‎5‎‎4‎a5- 4=10,解得a=2.由10- ‎5r‎2‎∉Z,且0≤r≤5,可得r=1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T2,T4,T6,其中T2=C‎5‎‎1‎25- 1·x‎10- ‎‎5‎‎2‎=80x‎15‎‎2‎,T4=C‎5‎‎3‎25- 3x‎10- ‎‎15‎‎2‎=40x‎5‎‎2‎,T6=C‎5‎‎5‎25- 5x‎10- ‎‎25‎‎2‎‎=‎x‎- ‎‎5‎‎2‎,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.‎ ‎20.8x6　依题得2n=256,所以n=8.‎ 在(ax‎+‎bx)8的展开式中,令x=1,则有(a+b)8=256,所以a+b=2.‎ ‎(ax‎+‎bx)8的展开式的通项Tr+1=C‎8‎r(ax)8- r·(bx)r=C‎8‎ra8- rbrx8- 2r,‎ 令8- 2r=0,得r=4,可得常数项为C‎8‎‎4‎a4b4=70,解得ab=1或ab=- 1(舍),‎ 则由ab=1,‎a+b=2,‎解得a=1,‎b=1.‎所以Tr+1=C‎8‎rx8- 2r.‎ 令8- 2r=6,得r=1.‎ 所以T2=C‎8‎‎1‎x6=8x6,故展开式中含x6的项为8x6.‎ ‎【易错警示】　解题时易将“二项式系数和”与“所有项的系数和”混淆,解题的关键是弄清两者的概念.二项展开式中二项式系数和为2n,而求解二项展开式中所有项的系数和时常用赋值法.‎