数学理卷·2018届山西省晋中市高三1月高考适应性调研考试（2018

数学理卷·2018届山西省晋中市高三1月高考适应性调研考试（2018

2018 年 1 月高考适应性调研考试 理科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3.下列命题中正确命题的个数是（ ） ①命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”； ②“ ”是“ ”的必要不充分条件； ③若 为假命题，则 ， 均为假命题； ④若命题 ： ， ，则 ： ， ； A． B． C． D． 4.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A． B． C. D． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C. D． { | 1}M x x= < { | 2 1}xN x= > M N = { }| 0 1x x< < { }| 0x x < { }| 1x x < ∅ z (3 4 ) 4 3i z i− = + z 4 5 4 5 − 4− 4 2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 0a ≠ 2 0a a+ ≠ p q∧ p q p 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ 1 2 3 4 x y 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 3 2z x y= − 6− 5− 1 3 − 1 3 3 2 13 6 2 11 6 6.设函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 单调递增，若数列 是等差 数列，且 ，则 的值（ ） A．恒为正数 B．恒为负数 C.恒为 D．可正可负 7.已知函数 ， ， 的零点依次为 ， ， ，若 在如图所示的算法中，令 ， ， 则输出的结果是（ ） A． B． C. D． 或 8.已知函数 （ ），若 是函数 的一条对称轴，且 ， 则 所在的直线为（ ） A． B． C. D． 9.已知双曲线 ： （ ， ）， ， 分别为其左、右焦点， 为坐标原 点，若点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线 的 离心率是（ ） A． B． C. D． 10.如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面 积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估 计值为 ，假设正方形 的边长为 ， 的面积为 ，并向正方形 中随机投掷 个点，用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 ( )f x R 0x ≥ ( )f x { }na 3 0a > 1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a f a+ + + + 0 2( ) logf x x x= + ( ) 2xg x x= + 5( ) logh x x x= + 1x 2x 3x 1a x= 2b x= 3c x= 3x 2x 1x 2x 3x ( ) sin cosf x a x b x= + x R∈ 0x x= ( )f x 0tan 2x = ( )a b， 2 0x y− = 2 0x y+ = 2 0x y− = 2 0x y+ = C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1F 2F O 2F 1F 1OF C 2 3 2 3 S ABCD M M ABCD n n m M M m Sn ABCD 2 M 1 ABCD 10000 M M 内的概率为（ ） 附表： A． B． C. D． 11.已知不等式 在 上恒成立，且函数 在 上单调递 增，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 12.艾萨克·牛顿（1643 年 1 月 4 日——1727 年 3 月 31 日）英国皇家学会会长，英国著名 物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 零点时 给出一个数列 ：满足 ，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 （ ）有两个零点 ， ，数列 为牛顿数列，设 ，已 知 ， ， 的前 项和为 ，则 等于（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公差 为 ． 14.设常数 ，若 的二项展开式中含 项的系数为 ，则 ． ( 0.03 0.03)− ， 10000 10000 0 ( ) 0.25 0.75 k t t t t P k C − = = × ×∑ k 2424 2425 2574 2575 ( )P k 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 0.9287 0.9187 0.9167 0.9147 1 2x m x− < − [ ]0 2， ( ) xf x e mx= − ( )3 + ∞， m ( ) ( )2 5−∞ + ∞， ， ( ) ( 32 5 e −∞ ， ， ( ) ( 22 5 e −∞ ， ， ( ) ( 31 5 e −∞ ， ， ( )f x { }nx ( ) ( )1 n n n n f xx x f x+ = − ′ 2( )f x ax bx c= + + 0a > 1 2 { }nx 2ln 1 n n n xa x −= − 1 1a = 2nx > { }na n nS 2018 1S + 2018 2019 20182 20192 { }na n nS 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na a R∈ 2 5( )ax x + 7x 10− a = 15.已知长方体 中， ， ， ，点 为 的中点，则三 棱锥 的外接球的表面积为 ． 16.已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集 ，当 ， 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 如图，在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， . （1）求 的大小； （2）若 ， 为 外一点， ， ，求四边形 面积的 最大值. 18. 如图，已知四棱锥 ， 平面 ，底面 中， ， ，且 ， 为 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）问在棱 上是否存在点 ，使 平面 ，若存在，请求出二面角 的余弦值；若不存在，请说明理由. 1 1 1 1ABCD A B C D− 5AB = 3AD = 1 4AA = M 1AD 1 1C MB C− OP OQ 1 1 1 mOM OP OQM m = ++ +    { | }FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅ ⋅= =       1F 2F A∈ 3m ≥ 1 2F F k PQ≤  k ABC△ A B C a b c (sin cos )a c B B= + ACB∠ ABC ACB∠ = ∠ D ABC△ 2DB = 1DC = ABDC P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD BC AD∥ AB AD⊥ 2 2PA AD AB BC= = = = M AD PCM ⊥ PAD PD Q PD ⊥ CMQ P CM Q− − 19. 某省高中男生身高统计调查数据显示：全省 名男生的身高服从正态分布 ，现从该生某校高三年级男生中随机抽取 名测量身高，测量发现被测学生 身高全部介于 和 之间，将测量结果按如下方式分成 组：第一组 ，第二组 ，…，第六组 ，下图是按照上述分组方 法得到的频率分布直方图. （1）求该学校高三年级男生的平均身高； （2）求这 名男生中身高在 以上（含 ）的人数； （3）从这 名男生中身高在 以上（含 ）的人中任意抽取 人，该 中身高 排名（从高到低）在全省前 名的人数记为 ，求 的数学期望. （附：参考数据：若 服从正态分布 ，则 ， ， .） 20. 已知抛物线 ： （ ）的焦点是椭圆 ： （ ）的右焦 点，且两曲线有公共点 （1）求椭圆 的方程； （2）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，若过点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相较于点 ，试判断点 是否在一定直线上？若在， 请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 21. 已知函数 ， ，且曲线 在 处的切 线方程为 . 100000 (170.5 16)N ， 50 157.5cm 187.5cm 6 [157.6 162.5， [162.5 167.5)， [182.5 187.5]， 50 177.5cm 177.5cm 50 177.5cm 177.5cm 2 2 130 ξ ξ ξ 2( )N µ σ， ( ) 0.6826P µ σ ξ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P µ σ ξ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9974P µ σ ξ µ σ− < ≤ + = C 2 2y px= 0p > M 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 6( )3 3 ， M M 1A 2A (4 0)B ， l M P Q 1A P 2A Q G G 2( ) xf x e ax= − 2( ) ln ( 1) 1g x x x x e x= − + − + ( )y f x= 1x = 1y bx= + （1）求 ， 的值； （2）求函数 在 上的最小值； （3）证明：当 时， . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直角坐标系中动点 ，参数 ，在以原点为极点、 轴正半 轴为极轴所建立的极坐标系中，动点 在曲线 ： 上. （1）求点 的轨迹 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若动点 的轨迹 和曲线 有两个公共点，求实数 的取值范围. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 ， ， ，函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）当 的最小值为 时，求 的值，并求 的最小值. a b ( )f x [0 1]， 0x > ( ) ( )g x f x≤ (1 cos sin )P α α+ ， [0 2 )α π∈ ， x ( )Q ρ θ， C sin 1cosa θ θ ρ− = P E C P E C a 0a > 0b > 0c > ( )f x c a x x b= + − + + 1a b c= = = ( ) 3f x > ( )f x 3 a b c+ + 1 1 1 a b c + + 2018 年 1 月高考适应性调研考试 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:ABCBD 6-10:ACACD 11、12：BC 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17．解：(1) 在 中，由 ， 又 又 （2）在 中， 由余弦定理可得 又 为等腰直角三角形 当 时，四边形 面积有最大值，最大值为 18．解：方法一:（1）证明：∵ 平面 ， 平面 ， 4 2− 625 16 π 3 4 ABC∆ A B C π+ + = (sin cos )a c B B= + sin sin( ) sin cos cos sin sin (sin cos )A B C B C B C C B B∴ = + = + = + sin cos sin sinB C C B∴ = sin 0B ≠ cos sinC C∴ = (0, )C π∈ 4C π∴ = BCD△ 2, 1DB DC= = 2 2 2 2 cos 5 4cosBC BD CD BD CD D D= + − ⋅ ⋅ = − 4ABC ACB π∠ = ∠ = ABC∴△ 1 1 1 5sin cos sin2 2 2 4ABCD ABC BCDS S S BC BC BD CD D D D∆ ∆∴ = + = ⋅ + ⋅ ⋅ = − + 5 2 sin( )4 4D π= + − ∴ 3 4D π= ABCD 5 24 + PA ⊥ ABCD CM ⊂ ABCD ∴ . ∵ 为 的中点，且梯形 中 ， ， ∴ ∵ 平面 ， 平面 ，且 ∴ 平面 . 平面 ， ∴平面 ⊥平面 （2）存在点 使 平面 ，在 内，过 做 垂足为 由（1） 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 又 平面 ， 平面 知 ， ∵平面 平面 ∴ 为二面角 的平面角. 在 中， ， ， ， 故二面角 的余弦值为 . 方法二: ∴以 为原点，射线 ， ， 分别为 ， ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系如 图 ， ， ， ， ， ， 为 的中点，∴ ， （1） ∴ ， 平面 ， 平面 ，且 ∴ 平面 . 平面 ， ∴平面 ⊥平面 （2）存在点 使 平面 ，在 内，过 做 垂足为 CM PA⊥ M AD ABCD 1 2BC AD= AB AD⊥ CM AD⊥ PA ⊂ PAD AD ⊂ PAD PA AD A= CM ⊥ PAD CM ⊂ PCM PCM PAD Q PD ⊥ CMQ PAD△ M MQ PD⊥ Q CM ⊥ PAD PD ⊂ PAD CM PD∴ ⊥ MQ CM M= PD∴ ⊥ CMQ PM ⊂ PAD MQ ⊂ PAD CM PM⊥ CM MQ⊥ PCM  CMQ CM= PMQ∠ P CM Q− − Rt PAD△ MQ PD⊥ 2 2 5PM PA AM= + = 2 2PD = 2 2 PA MDMQ PD ×= = 10cos 10 MQPMQ PM ∠ = = P CM Q− − 10 10 A AB AD AP x y z 2 2PA AD AB BC= = = = (0 0 0)A ， ， (2 0 0)B ， ， (2 1 0)C ， ， (0 2 0)D ， ， (0 0 2)P ， ， (0 2 0)AD = ， ， (0 0 2)AP = ， ，  M AD (0 1 0)M ， ， (2 0 0)MC = ， ， 0, 0MC AD MC AP⋅ = ⋅ =     CM PA⊥ CM AD⊥ PA ⊂ PAD AD ⊂ PAD PA AD A= CM ⊥ PAD CM ⊂ PCM PCM PAD Q PD ⊥ CMQ PAD△ M MQ PD⊥ Q 由（1） 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 取 . 平面 是平面 的一个法向量. 由图形知二面角 的平面角 是锐角， 故 所以二面角 的余弦值为 19．解：（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为 （2）由频率分布直方图知，后两组频率为 ，人数为 ，即这 名男生身高 在 以上（含 ）的人数为 人 （3）∵ ∴ ，而 ， 所以全省前 名的身高在 以上（含 ），这 人中 以上（含 ）的有 人. CM ⊥ PAD PD ⊂ PAD CM PD∴ ⊥ MQ CM M= PD∴ ⊥ CMQ PCM ( )n x y z= ， ， 2 0 0n MC x x⋅ = = ⇒ =  ( ) (0 1 2) 2 0 2n PM x y z y z y z⋅ = ⋅ − = − = ⇒ =  ， ， ， ， (0 2 1)n = ， ，  PD ⊥ CMQ (0 2 2)PD = − ， ， CMQ P CM Q− − θ 2 10cos 105 8 n PD n PD θ ⋅= = = ⋅⋅     1y bx= + 10 10 160 0.1 165 0.2 170 0.3 175 0.2 180 0.1 185 0.1 171.5cm× + × + × + × + × + × = 0.2 0.2 50 10× = 50 177.5cm 177.5cm 10 (170.5 3 4 170.5 3 4) 0.9974P ξ− × < ≤ + × = 1 0.9974( 182.5) 0.00132P ξ −≥ = = 0.0013 100000 130× = 130 182.5cm 182.5cm 50 182.5cm 182.5cm 5 P A B C DM x y z 随机变量 可取 ， ， ，于是 ， ∴ ． 20．解：（1）将 代入抛物线 得 ∴抛物线的焦点为 ，则椭圆 中 ， 又点 在椭圆 上， ∴ ， 解得 ， 椭圆 的方程为 （2）方法一 当点 为椭圆的上顶点时，直线 的方程为 ，此时点 ， ，则直线 和直线 ，联立 ，解得 ， 当点 为椭圆的下顶点时，由对称性知： . 猜想点 在直线 上，证明如下： 由条件可得直线 的斜率存在， 设直线 ， 联立方程 ， 消 得： 有两个不等的实根， ， ξ 0 1 2 2 1 1 5 5 5 2 2 10 10 10 2 25 5( 0) , ( 1)45 9 45 9 C C Cp PC C ξ ξ= = = = = = = 2 5 2 10 10 2(ξ 2) 45 9 CP C = = = = 2 5 20 1 2 19 9 9Eξ = × + × + × = 2 2 6( )3 3 ， 2: 2C y px= 2p = (1, 0) M 1c = 2 2 6( , )3 3 M 2 2 2 2 1 4 24 19 9 a b a b  − = + = 3,4 22 == ba M 2 2 14 3 x y+ = P l 03443 =−+ yx )3,0(P )5 33,5 8(Q 03223:1 =+− yxl PA 036233:2 =−+ yxl QA    =−+ =+− 036233 03223 yx yx )2 33,1(G P )2 33,1( −G G 1=x PQ : ( 4) ( 0)PQ y k x k= − ≠    =−+ −= 01243 )4( 22 yx xky y 0126432)43( 2222 =−+−+ kxkxk 0)41(916)316)(43(4432 22242 >−⋅=−+⋅−=∆ kkkk 2 10 4k∴ < < 设 ，则 ， 则直线 与直线 联立两直线方程得 （其中 为 点横坐标） 将 代入上述方程中可得 ， 即 ， 即证 将 代入上式可得 ，此式成立 ∴点 在定直线 上. 方法二 由条件可得直线 的斜率存在， 设直线 联立方程 ， 消 得： 有两个不等的实根， ， 设 ，则 ， 由 ， ， 三点共线，有： 由 ， ， 三点共线，有： 上两式相比得 ),(),,( 2211 yxQyxP 2 2 21 43 32 k kxx +=+ )(43 1264 2 2 21 ∗+ −=⋅ k kxx )2(2: 1 1 1 ++= xx yyl PA )2(2: 2 2 2 −−= xx yyl QA )2(2)2(2 2 2 1 1 −−=++ xx yxx y x G 1=x 22 3 2 2 1 1 − −=+ x y x y )2)(4()2)(4(3 1221 +−−=−− xxkxxk 016)(104 2121 =++− xxxx )(∗ 1643 3210 43 )1264(4 2 2 2 2 ++ ×−+ −× k k k k 043 )4320316(16 2 222 =+ ++−−= k kkk G 1=x PQ : ( 4) ( 0)PQ y k x k= − ≠    =−+ −= 01243 )4( 22 yx xky y 0126432)43( 2222 =−+−+ kxkxk 0)41(916)316)(43(4432 22242 >−⋅=−+⋅−=∆ kkkk 2 10 4k∴ < < ),(),,(),,( 332211 yxGyxQyxP 2 2 21 43 32 k kxx +=+ 2 2 21 43 1264 k kxx + −=⋅ 2 2 21 2 2121 43 41124)( k kxxxxxx + −=−+=−∴ 1A P G 22 3 3 1 1 +=+ x y x y 2A Q G 22 2 2 3 3 −=− x y x y )2)(4( )2)(4( )2( )2( 2 2 21 12 21 12 3 3 −− +−=− +=− + xxk xxk xy xy x x ， 解得 ∴点 在定直线 上． 21．解：（1）由题设得 ，∴ ， 解得， ． （2）由（1）知， ， 令函数 ，∴ ， 当 时， ， 递减； 当 时， ， 递增；∴ ，即 ∴当 时， ，且仅当 时 ， 故 在 上单调递增， ∴ ； （3）由题要证：当 时， ， 即证： ， 因为 ，且曲线 在 处的切线方程为 ， 故可猜测：当 且 时， 的图象恒在切线 的上方． 下面证明：当 时， ， 证明：设 ， ， 则 ，令 ， ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 3( ) 8 33( ) ( ) 8 x x x x x x x x x x x x − + + − −= = −− + + − + 13 =x G 1=x ( ) 2xf x e ax′ = − ( )1 2 (1) 1 f e a b f e a b ′ = − = = − = + 1 2a b e= = −， ( ) 2xf x e x= − ( ) 1xh x e x= − − ( ) 1xh x e′ = − 0x < ( ) 0h x′ < ( )h x 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) (0) 0h x h≥ = 1xe x≥ + [ ]0,1x∈ ( ) 2 1 2 1 0xf x e x x x x′ = − ≥ + − = − ≥ 1x = ( ) 0f x′ = ( )f x [ ]0,1 ( ) ( )min 0 1f x f= = 0x > ( ) ( )g x f x≤ ( )1 ln 1 0xe e x x x+ − − − ≥ (0) 1f = ( )y f x= 1x = ( 2) 1y e x= − + 0x > 1x ≠ ( )f x ( 2) 1y e x= − + 0x > ( ) ( 2) 1f x e x≥ − + ( ) ( ) ( 2) 1x f x e xϕ = − − − 0x > ( ) 2 ( 2)xx e x eϕ′ = − − − ( ) ( )F x xϕ′= ( ) 2xF x e′ = − (0,ln 2)x∈ ( ) 0F x′ < ( )xϕ′ (ln 2, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )xϕ′ 又 ， ， ， 所以，存在 ，使得 ， 当 时， ；当 ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增． 又 ，∴ ，当且仅当 时取等号． 故 ． 由（2）知， ，故 ，∴ ，当且仅当 时取等号． 所以， ． 即 ．所以， ， 即 成立，当 时等号成立. 故：当 时， ， 12 分 方法二：要证 ，等价于 ，又 ，可转化为证明 令 ， ， ，因此当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 有最大值 ，即 恒成立，即当 时， 22．解：（1）设点 的坐标为 ，则有 消去参数 ，可得 ，为点 的轨迹 的方程； (0) 3 0eϕ′ = − > (1) 0ϕ′ = 0 ln 2 1< < (ln 2) 0ϕ′ < ( )0 0,1x ∈ ( ) 0xϕ′ = ( ) ( )00, 1,x x∈ +∞ ( ) 0xϕ′ > ( )0 ,1x x∈ ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ ( )00, x ( )0 ,1x ( )1,+∞ ( ) ( )0 1 0ϕ ϕ= = ( ) ( )2 2 1 0xx e x e xϕ = − − − − ≥ 1x = ( )2 1 0 xe e x x xx + − − ≥ >， 1xe x≥ + ( )ln 1x x≥ + 1 lnx x− ≥ 1x = ( )2 1 ln 1 xe e x x xx + − − ≥ ≥ + ( )2 1 ln 1 xe e x xx + − − ≥ + ( )2 1 lnxe e x x x x+ − − ≥ + ( )1 ln 1 0xe e x x x+ − − − ≥ 1x = 0x > ( ) ( )g x f x≤ 2 2ln ( 1) 1 xx x x e x e x− + − + ≤ − ln ( 1) 1 0xx x e x e+ − + − ≤ 0x > 1ln 1 0 xex e x x + − + − ≤ 1( ) ln 1 xeF x x e x x = + − + − 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1)(1 )( ) x xe x x eF x x x x x − − −′ = − − = 0x > (0,1)x∈ ( ) 0F x′ > ( )F x (1,+ )x∈ ∞ ( ) 0F x′ < ( )F x ( )F x∴ (1) 0F = ( ) 0F x ≤ 0x > ( ) ( )g x f x≤ P ( ),x y 1 cos ,sin x y α α = +  = [ )0,2α π∈ α 2 2( 1) 1x y− + = P E 由曲线 ： ，得 ，且 ， 由 ， 故曲线 的方程为： ； （2）曲线 的方程为： ，即 表示过点 ，斜率为 的直线， 动点 的轨迹 是以 为圆心， 为半径的圆 由轨迹 和曲线 有两个公共点，结合图形可得 ． （或圆心到直线的距离小于半径和 去求） 23. 解：（1） 或 或 ， 解得 或 . （2） ． 当且仅当 时取得最小值 ． C sin 1cosa θ θ ρ− = sin cosa aρ θ ρ θ− = 0a ≠ sin yρ θ = cos xρ θ = C 0ax y a− + = ( 0)a ≠ C 0ax y a− + = ( 0)a ≠ ( 1)y a x= + ( 0)a ≠ ( )1 0− ， a P E ( )1,0 1 E C 3 3( ,0) (0, )3 3a∈ −  0a ≠ ( ) 1 1 1f x x x= − + + + 1 1 2 3 x x ≤ −∴ − > 1 1 3 3 x− < <  > 1 2 1 3 x x ≥  + > { | 1x x < − 1}x > ( ) 3f x c a x x b a x x b c a b c a b c= + − + + ≥ − + + + = + + = + + = ( )1 1 1 1 1 1 1 1 33 3 b a c a c ba b ca b c a b c a b a c b c         + + = + + + + = + + + + + +                 ( )1 3 2 2 2 33 ≥ + + + = 1a b c= = = 3