2017-2018学年湖南省岳阳市一中高二下学期期末考试数学理试题（Word版）

2017-2018学年湖南省岳阳市一中高二下学期期末考试数学理试题（Word版）

湖南省岳阳市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题（理科）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎2.若集合，，则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，，，，，，则估计该次数学成绩的中位数是（ ）‎ A．71.5 B．71.8 C．72 D．75 ‎ ‎4.已知等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A．27 B．18 C．9 D．3‎ ‎5.设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）‎ A． B． C．-2 D．2‎ ‎6.在圆中，弦的长为4，则（ ）‎ A．8 B．-8 C．4 D．-4‎ ‎7.如图，点为正方体的中心，点为棱的中点，点为棱的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于、两点，则等于（ ）‎ A． B． C．3 D．-3‎ ‎9.已知函数.若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若实数，满足条件，则的最大值为 ．‎ ‎14.已知数列的前项和，则 ．‎ ‎15.展开式中的常数项为 ．‎ ‎16.已知函数满足条件，对于，存在唯一的，使得，当成立时，则实数 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求及边的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎18.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19.已知椭圆：的左焦点，左顶点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.‎ ‎20.某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：‎ 日销售量 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 天数 ‎10‎ ‎25‎ ‎15‎ 频率 ‎0.2‎ 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立.‎ ‎（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：（为参数），两曲线相交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: ACCAD 6-10: ACBBB 11、12：CD 二、填空题 ‎13. 6 14. 64 15. 24 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）中，，，‎ ‎∴，又，∴，，‎ 解得；‎ 又，，‎ ‎，解得或；‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∴；‎ ‎∴.‎ ‎18.解法一：依条件可知、、两两垂直，‎ 如图，以点为原点建立空间直角坐标系.‎ 根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：∵，，‎ 是平面的一个法向量，且，‎ 所以.‎ 又∵平面，∴平面；‎ ‎（Ⅱ）设是平面的法向量，‎ 因为，，‎ 由，得.‎ 解得平面的一个法向量，‎ 由已知，平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ ‎∴二面角的余弦值是.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，∵平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（Ⅱ）如图，设的中点为，连接，‎ ‎∴，∵底面，∵，，∴，，‎ ‎∴，∴底面，‎ 在平面内，过点做，垂足为，‎ 连接，，，，‎ ‎∴平面，则，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ ‎∵，由，得，‎ 所以，所以，‎ ‎∴二面角的余弦值是.‎ ‎19.解：（Ⅰ）由题意可得，，由，得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）当时，，的斜率之和为0，‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为，‎ 设，，的方程为.‎ 联立消得，‎ 所以，同理，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以的斜率为定值.‎ ‎20.解：（Ⅰ），，‎ 依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率，‎ 设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为4，5，6，7，8，‎ 则：，，，，，‎ ‎∴的分布列为：‎ 的数学期望.‎ ‎21.解：（1）∵在上是减函数，‎ ‎∴在定义域上恒成立，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ 由，得，由，得，‎ ‎∴函数在上递增，在上递减，‎ ‎∴，∴.‎ 故实数的取值范围是.‎ 证明：（2）由（1）知，‎ ‎∵函数在上存在两个极值点，，且，‎ ‎∴，‎ 则，∴，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ 要证，‎ 只需证，只需证，只需证，‎ 构造函数，则，‎ ‎∴在上递增，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎22.解：（Ⅰ）根据、，求得曲线的直角坐标方程为，‎ 用代入法消去参数求得直线的普通方程.‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程为：（为参数），‎ 代入，得到，设，对应的参数分别为，，‎ 则，，∴.‎ ‎23.解：（1）由于，‎ 当时，函数的最大值为，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以.‎ ‎（2）由已知，有，‎ 因为（当取等号），（当取等号），‎ 所以，即，‎ 故.‎