2017-2018学年山西省榆社中学高二4月月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年山西省榆社中学高二4月月考数学（理）试题 Word版

2017-2018 学年山西省榆社中学高二 4 月月考数学试题（理科） 2018.04 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若 ，则 A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 4. 已知 m 为实数，i 为虚数单位，若 ，则 A. i B. 1 C. D. 5. 已知曲线 在点 处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为 A. B. C. D. 2 6. 用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是 A. B. C. D. 7. 设 ，则 的值为 A. B. C. D. 8. 与 的关系为 A. B. C. D. 9. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 10. 观察下列各式： ，则 A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 11. 设点 P 是曲线 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围 是 A. B. C. D. 12. 已知定义在 R 上的偶函数 ，其导函数为 ；当 时，恒有 ，若 ，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 如图所示，图中曲线方程为 ，则围成封闭图形阴影部分的面积是______ ． 14. 若由曲线 与直线 及 y 轴所围成的平面图形的面积 ，则 ______ ． 15. 已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处 的切线方程是______． 16. 已知边长分别为 的三角形 ABC 面积为 S，内切圆 O 的半径为 r，连接 ， 则三角形 的面积分别为 ，由 得 ， 类比得四面体的体积为 V，四个面的面积分别为 ，则内切球的半径 ______ ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17. 已知 ． 求 的单调区间； 求函数 在 上的最值． 18. 已知函数 ，在点 处的切线方程为 ，求 实数 的值； 函数 的单调区间以及在区间 上的最值． 19. 已知曲线 及曲线 上一点 ． 求曲线 在 P 点处的切线方程；Ⅱ求曲线 过 P 点的切线方程． 20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的 能源消耗费用 单位：万元与隔热层厚度 单位： 满足关系： ， 设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．Ⅰ求 的表达式；Ⅱ隔热层修建 多厚对，总费用 达到最小，并求最小值． 21. 已知函数 Ⅰ当 时，求 在区间 上的最大值和最小值； Ⅱ求 在 处的切线方程；Ⅲ若在区间 上， 恒成立，求实数a 的取值范围． 22. 已知函数 ． 讨论 的单调性； 若 有两个零点，求 a 的取值范围． 答案和解析 【答案】 1. D 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9. B 10. B 11. B 12. A 13. 2 14. 3 15. 16. 17. 解：依题意得， ， 定义域是 分 ， 令 0'/>，得 或 ；令 ，得 ， 且函数定义域是 ， 函数 的单调增区间是 ，单调递减区间是 分 令 ，得 舍， 由于函数在区间 上为减函数，区间 上为增函数， 且 ， 在 上的最大值是 ，最小值是 分 18. 解： 因为在点 处的切线方程为 ， 所以切线斜率是 ---------------------- 分 且 ， 求得 ，即点 ---------------------- 分 又函数 ，则 ---------------------- 分 所以依题意得 ---------------------- 分 解得 ---------------------- 分 由 知 所以 ---------------------- 分 令 ，解得 或 当 或 ；当 所以函数 的单调递增区间是 单调递减区间是 ---------------------- 分 又 所以当 x 变化时， 和 变化情况如下表： X 0 2 3 0 0 4 极小值 1 所以当 时， ， ---------------------- 分 19. 解： ， ． 则在 处直线的斜率 ， 所求直线的方程为 ． 设切点坐标为 ， 则直线 l 的斜率 ， ， ， 解得 或 ． ，所求直线的方程为 ，所求直线斜率 ， 于是所求直线的方程为 ，即 ． 综上所述，所求直线的方程为 或 ． 20. 解： 每年能源消耗费用为 ，建造费用为 6x， ． ，令 得 或 舍． 当 时， ，当 时， ． 在 上单调递减，在 上单调递增． 当 时， 取得最小值 ． 当隔热层修建 5cm 厚时，总费用最小，最小值为 70 万元． 21. 解： 当 时， ． 对于 恒成立， 在区间 上单调递增． ． ． ． 在 处的切线方程是 ，即 ； 函数 的定义域为 ． 当 时，恒有 ， 函数 在区间 上单调递减． 要满足在区间 上， 恒成立，则 即可，解得 ． 实数 a 的取值范围是 ． 当 时，令 ，解得 ． 当 时，即 时，在区间 上有 ，此时 在此区间上单调递增， 不合题意，应舍去． 当 时，即 ，在区间 上有 ，此时 单调递增，不合题意． 综上 可知：实数 a 的取值范围是 ． 22. 解： 由 ，求导 ， 当 时， ， 当 单调递减， 当 时， ， 令 ，解得： ， 当 ，解得： ， 当 ，解得： ， 时， 单调递减， 单调递增； 当 时， ，恒成立， 当 单调递减， 综上可知：当 时， 在 R 单调减函数， 当 时， 在 是减函数，在 是增函数； 若 时，由 可知： 最多有一个零点， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 ，且远远大于 和 x， 当 ， 函数有两个零点， 的最小值小于 0 即可， 由 在 是减函数，在 是增函数， ， ，即 ， 设 ，则 ， 求导 ，由 ， ，解得： ， 的取值范围 ． 方法二： 由 ，求导 ， 当 时， ， 当 单调递减， 当 时， ， 令 ，解得： ， 当 ，解得： ， 当 ，解得： ， 时， 单调递减， 单调递增； 当 时， ，恒成立， 当 单调递减， 综上可知：当 时， 在 R 单调减函数， 当 时， 在 是减函数，在 是增函数； 若 时，由 可知： 最多有一个零点， 当 时，由 可知：当 时， 取得最小值， ， 当 ，时， ，故 只有一个零点， 当 时，由 ，即 ， 故 没有零点， 当 时， ， 由 ， 故 在 有一个零点， 假设存在正整数 ，满足 ，则 ， 由 ， 因此在 有一个零点． 的取值范围 ．