2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 三角函数 解三角形 热点跟踪训练2

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 三角函数 解三角形 热点跟踪训练2

www.ks5u.com 热点跟踪训练2‎ ‎1．(2019·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；‎ ‎(2)若＝，求sin的值．‎ 解：(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，‎ 由余弦定理，得cos B＝，‎ 即＝，解得c2＝.所以c＝.‎ ‎(2)因为＝，‎ 由正弦定理＝，得＝，‎ 所以cos B＝2sin B.‎ 从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，‎ 故cos2B＝.‎ 因为sin B＞0，所以cos B＝2sin B＞0，从而cos B＝.‎ 因此sin＝cos B＝.‎ ‎2．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．‎ 解：(1)f(x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)＋.‎ 由题意知－≤x≤m，‎ 所以－≤2x－≤2m－.‎ 要使得f(x)在上的最大值为，‎ 即sin (2x－)在上的最大值为1，‎ 所以2m－≥，即m≥.‎ 所以m的最小值为.‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长．‎ 解：(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin.‎ 所以T＝＝π.所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin，‎ 因为在△ABC中f(A)＝2，所以sin＝1，‎ 所以2A－＝，所以A＝.又cos B＝且B∈(0，π)，‎ 所以sin B＝，‎ 所以sin C＝sin (A＋B)＝×＋×＝，‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，得＝，‎ 所以a＝7，所以BD＝.‎ 在△ABD中，由余弦定理得，‎ AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝‎ ‎52＋－2×5××＝，‎ 因此△ABC的中线AD＝.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由题设得acsin B＝，‎ 即csin B＝.‎ 由正弦定理得sin Csin B＝.‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝.‎ 故A＝.‎ 由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，‎ 由bc＝8，得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎5．(2019·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C.‎ ‎(1)求cos B的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即bsin C＝csin B.‎ 又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.‎ 因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a.‎ 所以cos B＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)可得sin B＝＝，‎ 从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－，‎ cos 2B＝cos2B－sin2B＝－，‎ 故sin＝sin 2Bcos ＋cos 2Bsin ＝－×－×＝－.‎ ‎6．(2020·广州六校联考)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ 解：(1)依题设f(x)＝a·b＝2cos2 x－sin 2x＝1＋cos 2x－‎ sin 2x＝1＋2cos，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数y＝f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)因为f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ 所以cos＝－1，又<2A＋<，‎ 所以2A＋＝π，所以A＝.‎ 因为a＝，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①‎ 因为向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ 所以2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，②‎ 由①②得b＝3，c＝2.‎