【数学】2020届一轮复习（理）通用版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.理解命题的概念．‎ ‎2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．‎ 突破点一　命题及其关系 ‎1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及相互关系 ‎3．四种命题的真假关系 ‎(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－8<0”是命题．(　　)‎ ‎(2)一个命题非真即假．(　　)‎ ‎(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)‎ ‎(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、填空题 ‎1．命题“若x2<4，则－20，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________________．‎ 答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ ‎3．有下列几个命题：‎ ‎(1)“若a>b，则>”的否命题；‎ ‎(2)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎(3)“若|x|<4，则－40‎ C．如果M⊆N，那么M∪N＝M D．在△ABC中，若· >0，则B为锐角 ‎[解析]　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎[方法技巧]‎ 判断命题真假的思路方法 ‎(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．‎ ‎(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：‎ ‎①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；‎ ‎②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．　　‎ 考法二　四种命题的关系　‎ ‎[例2]　(1)(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1‎ D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1‎ ‎(2)(2019·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 ‎[解析]　(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误．选A.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)A ‎[方法技巧]‎ 四种命题的关系及真假判断 ‎(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．‎ ‎(2)命题真假的判断方法 ‎①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．‎ ‎②间接判断法：转化成等价命题，再判断．　　‎ ‎1.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)‎ A．若α≠，则tan α≠1‎ B．若α＝，则tan α≠1‎ C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 解析：选C　否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．‎ ‎2.原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真　　　　　　 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：选B　因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝ －1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.‎ ‎3.定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：‎ ‎①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；‎ ‎②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；‎ ‎③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；‎ ‎④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.‎ 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．‎ 解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，‎ 则ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；‎ 当00”是“a>0，b>0”的________条件．‎ 答案：必要不充分 ‎3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．‎ 解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，‎ ‎∴xy＝1且x>0，y>0.‎ 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，‎ 反之无法得到x>0，y>0.‎ 因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 ‎4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．‎ 解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．‎ 答案：充分不必要　充要 考法一　充分条件与必要条件的判断　‎ ‎[例1]　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　(1)a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．‎ ‎(2)由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，‎ 即“＜”⇒“x3＜1”；‎ 由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，‎ 即“x3＜1” “＜”．‎ 所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A ‎[方法技巧]　　　充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 利用等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 考法二　根据充分、必要条件求参数范围　‎ ‎[例2]　(2019·大庆质检)已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1]　　　　　 B．(－∞，9]‎ C．[1,9] D．[9，＋∞)‎ ‎[解析]　由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎[方法技巧]‎ 根据充分、必要条件求参数范围的思路方法 ‎(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　　‎ ‎1.已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　设m，n的夹角为θ，若<θ<π，则cos θ<0，所以m·n<0；若θ＝π，则m·n＝－|m|·|n|<0.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎2.已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　α＝，β＝均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－，β＝均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.‎ ‎3.设M为实数区间，a>0且a≠1，若“a∈M”是“函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M可以是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(0,1) D. 解析：选D　由函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增可知03(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．‎ 解析：p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－41”是“3a>2a”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为y＝x是增函数，又a>1，所以a>1，所以3a>2a；若3a>2a，‎ 则a>1＝0，所以a>0，所以“a>1”是“3a>2a”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5．已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．‎ 其中真命题的序号为(　　)‎ A．①②③ B．①②‎ C．①③ D．②③‎ 解析：选C　对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；‎ 对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；‎ 对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．‎ ‎6．(2019·咸阳模拟)已知p∶m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.‎ 所以p是q的充分不必要条件．故选A.‎ ‎7．(2019·重庆调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′＝－f′(x)， ∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，‎ C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)‎ A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分 解析：选C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.‎ ‎9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是(　　)‎ A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题 B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题 C．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题 D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件 解析：选D　原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.‎ ‎10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ 解析：选B　由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.‎ ‎11．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．‎ 解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；‎ 否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；‎ 逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．‎ 全为真命题．‎ 答案：4‎ ‎12．已知命题“若m－1a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但qp，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.‎ 答案：(－∞，1)‎ ‎14．(2019·湖南十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的____________条件．‎ 解析：若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列．‎ 如果{an}是等比数列，由a1＝S1＝Aq＋B，得a2＝S2－a1＝Aq2－Aq，a3＝S3－S2＝Aq3－Aq2，‎ ‎∴a1a3＝a，从而可得A＝－B，‎ 故“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 ‎15．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)＝4sin2－2cos 2x－1，p：≤x≤，q：|f(x)－m|<2，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ 解：化简解析式，得f(x)＝4·－2cos 2x－1＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin2x－＋1.‎ 当≤x≤时，≤2x－≤，‎ 则≤sin≤1，所以f(x)∈[3,5]．‎ 当|f(x)－m|<2时，f(x)∈(m－2，m＋2)．‎ 又p是q的充分不必要条件，‎ 所以所以3

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