数学理卷·2018届四川省成都市龙泉第二中学高三1月月考（2018

数学理卷·2018届四川省成都市龙泉第二中学高三1月月考（2018

成都龙泉第二中学2015级高三上学期1月月考试题 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 2.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．9 B．15 C．18 D．36 ‎ ‎3.已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么①和②分别为（ ）‎ A. ①系统抽样，②分层抽样 B. ①分层抽样，②系统抽样 C. ①系统抽样，②简单随机抽样 D. ①分层抽样，②简单随机抽样 ‎5.已知命题p：若a>，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )‎ A.“p∨q”为真命题 B.“p∧q”为真命题 ‎ C.“命题p”为真命题 D.“命题q”为假命题 ‎ ‎6. 定义矩阵，若，则（ ）‎ A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称 ‎ C.在区间上单调递增 D. 周期为的奇函数 ‎7．设函数，且其图象关于直线 对称，则（　　）‎ A.的最小正周期为，且在上为增函数 B.的最小正周期为，且在上为减函数 C.的最小正周期为，且在上为增函数 D.的最小正周期为，且在上为减函数 ‎8. 运行如图程序，则输出的的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2018 D. 2017‎ ‎9.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知都是定义在上的函数，，，且 ‎，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（ ） ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎11.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点，且，为抛物线准线上一点，则的面积为（ ）‎ A. 16 B. 18 C. 24 D. 32‎ ‎12. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的某一点，且，，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数y=Asin(ωx+φ)( A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一个周期内，当x=时， y有最大值2,当x=0时,y有最小值－2,则这个函数的解析式为________. ‎ ‎14. 已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积为__________．‎ ‎15.设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为 ．‎ ‎16.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到的频率分布直方图如图，根据图可得这100名学生中体重在[60.5，64.5]的学生人数是________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及在区间的值域；‎ ‎（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，，求的面积．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图1，在直角梯形中，，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：‎ 时间（分钟）‎ 次数 ‎8‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2‎ 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.‎ ‎（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.‎ ‎（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数,函数在 ‎ 上为增函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值 ；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅲ）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的极坐标方程；‎ ‎（2），是曲线上的两个点，若，求的最大值．　‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若为的最小值，且（，），求的最小值．‎ 成都龙泉第二中学2015级高三上学期1月月考试题 数 学（理科）参考答案 ‎1—5 BCACA 6—10 CBDBB 11—12 AD ‎4.【解析】由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样。‎ 选C。‎ ‎5.【解析】由条件可知命题p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”为真命题，故选A.‎ ‎8.【解析】依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：，不满足条件；‎ 第二次：，不满足条件；‎ 第三次：，不满足条件；‎ 第四次：，不满足条件；‎ 第五次：，不满足条件；‎ 第六次：，满足条件，退出循环。输出2017。选D。‎ ‎13.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示，由条件可得在底面中，。取AB的中点O，AC的中点E，连OC,OE。则.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∴.‎ 又.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴点O为三棱锥外接球的球心，球半径为2.‎ ‎∴。答案：。‎ ‎15.‎ ‎16. 24　[体重在[60.5，64.5]的学生频率为：(0.05＋0.07)×2＝0.24，∴体重在[60.5，64.5]的学生人数为100×0.24＝24.]‎ ‎17.解：（1）， ‎ 所以的最小正周期， ‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以函数在区间的值域为． ‎ ‎（2）由得，‎ 又，，， ‎ 由及余弦定理得：，，‎ 又，代入上式解得，‎ 的面积．‎ ‎18.解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而，故，‎ 取中点连接,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面,‎ ‎∴,‎ 又,,‎ ‎∴平面，‎ ‎（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ 设为面的法向量，‎ 则即解得 令，可得，‎ 又为面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19. 解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 ‎ 依题意的值可能为0，1，2，3，4…………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎……………6分 ‎ 或………8分 ‎（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间（分钟）……………10 分 每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.‎ 一个月的平均用车费用约为542元. ……12分 ‎20.【答案】（1）（2）‎ 解析：（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，‎ 令，解得，故，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴，‎ 解得。‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由题意设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ 设，，‎ 则，， ‎ 假设x轴上的定点为，‎ 则 ‎ ‎ ‎.‎ 要使其为定值，需满足，‎ 解得.‎ 故定点的坐标为.‎ ‎21.解(1)因为，又 只需，且 所以...................3分 ‎(2)当m=0时，（x>0）...................4分 资当02e-1时,‎ ‎.....................7分 ‎....................8分 ‎................9分 ‎ ..........................10分 ‎， ....................12分 ‎22．解：（1）由抛物线的定义得：，‎ 即：．‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，故的最大值为． ‎ ‎23.证明：（Ⅰ），‎ 当且仅当时取“”号．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，，即，即，‎ 则，‎ 当且仅当，时取“”号．‎