东北三校2013届高三第二次高考模拟考试文科数学试题

东北三校2013届高三第二次高考模拟考试文科数学试题

东北三校2013届高三第二次高考模拟考试 文科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合,则集合为 A．[0,3)‎ B．[1,3)‎ C．(1,3)‎ D．(-3,1]‎ ‎2．已知为虚数单位，且则实数的值为 A．1‎ B．2‎ C．1或-1‎ D．2或-2‎ ‎3．双曲线的渐进线方程为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．以下有关线性回归分析的说法不正确的是 A．通过最小二乘法得到的线性回归直线过样本点的中心 B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a、b的值 C．相关系数r越小，表示两个变量相关性越弱 D．与接近1．表示回归的效果越好 ‎5．直角坐标系中坐标原点O关于直线l:的对称点为A（1,1），则的值为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中不恒成立的是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．若Sn是等比数列{an}的前n项和，a‎2 a4= a3, S3 = 7则数列{an}的公比q的值为 A．‎ B．或 C．或 D．‎ ‎8．三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与各三棱柱ABC-A1B‎1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为 A．‎ B．‎ C．1‎ D．‎ ‎9．下列判断中正确的是 A．命题“若，则”是真命题 B．“”的必要不充分条件是“”‎ C．命题“若，则”的逆否命题是“若则”‎ D．命题“”的否定式“”‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．已知圆M过定点（2,0），且圆心M在抛物 线上运动，若y轴截圆M所得弦为AB，则弦长|AB|等于 A．4‎ B．3‎ C．2‎ D．与点M位置有关 ‎12．当时，函数的图像大致是 第II卷（非选择题，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据需求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．若动点P（m，n）在不等式组表示的平面区域内及其边界上运动，则的取值范围是__________。‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。‎ ‎15．已知数列{an}满足点Ai（i，ai）在x轴上的射影为点Bi 若，则Sn=__________。‎ ‎16．已知实数，函数，则，则a的值为_________。‎ 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数的图象可有函数的图象向左平移个单位得到。‎ ‎（1）求函数的的解析式和最小正周期；‎ ‎（2）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，求得值；‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。‎ 两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）‎ ‎（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；‎ ‎（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；‎ ‎（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = ，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。‎ ‎（1）求证：MN⊥EA；‎ ‎（2）求四棱锥M – ADNP的体积。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 设椭圆C：的两个焦点为F1、F2，点B1为其短轴的一个端点，满足，。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点M 做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B，l2与椭圆交于点C、D，求的最小值。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；‎ ‎（2）若a > 0，对任意x > 0不等式恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 1：集合证明选讲 如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。‎ ‎（1）求证：CE2 = CD · CB；‎ ‎（2）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知点P ，曲线C的参数方程为（φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。‎ ‎（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；‎ ‎（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值。‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 5：不等式选讲 设函数。‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。‎ ‎2013年三省三校第二次联合考试文科数学答案 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎　1．B　　　2．D　　　3．A　　　4．C　　　5．B　　　6．A ‎　7．C　　　8．C　　　9．D　　　10．B　　11．A　　　12．B 二．填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 　　　14. 　　　15. 7　　　16. ‎ 三．解答题 ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由条件， ……2分 ‎ 所以， 函数的最小正周期为 ……4分 ‎（Ⅱ）由得， ……8分 ‎，, ……10分 ‎ ……12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，由甲图知，甲组有（人），∴乙组有20人．‎ 又∵，∴甲组有1人、乙组有人符合要求，‎ ‎（人），即估计1000名学生中保持率大于等于60%的人数为180人．……4分 ‎ ‎（Ⅱ）乙组准确回忆音节数在范围内的学生有=1人，记为，范围内的学生有人，记为,范围内的学生有2人，记为 ‎ 从这五人中随机选两人，共有10种等可能的结果：‎ ‎ 记“两人均能准确记忆12个（含12个）以上”为事件, 则事件包括6种可能结果： ‎ ‎ 故,即两人均准确回忆12个（含12个）以上的概率为 ……10分 ‎（Ⅲ）甲组学生准确回忆音节数共有：个 故甲组学生的平均保持率为 乙组学生准确回忆音节数共有：‎ 故乙组学生平均保持率为 ‎ 所以从本次实验结果来看，乙组临睡前背单词记忆效果更好. ……12分 ‎（回答等，也可给分）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 解： （Ⅰ） ……2分 又平面，平面，‎ 为的中点，为的中点，‎ ‎， ……4分 又平面 ‎ ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,且 ‎,,,‎ ‎, ……8分 ‎，,‎ 又为直角梯形 ……10分 ‎，,‎ 四棱锥的体积 ……12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）不妨设 ……1分 ‎ ……3分 所以椭圆方程为 ……4分 ‎（Ⅱ）①当直线与轴重合时，‎ 设，则 ……5分 ‎②当直线不与轴重合时，设其方程为，设 由得 ……6分 由与垂直知：‎ ‎ ……10分 ‎ ‎ 当且仅当取到“=”. ‎ 综合①②, ……12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） ‎ 由题设知，且，即， ……2分 ‎ ‎ 因为上式对任意实数恒成立， ……4分 故，所求 ……5分 ‎（Ⅱ）即，‎ 方法一：在时恒成立，则在处必成立，即，‎ 故是不等式恒成立的必要条件. ……7分 另一方面，当时，记则在上，‎ ‎ ……9分 时，单调递减；时，单调递增 ‎，，即恒成立 故是不等式恒成立的充分条件. ……11分 综上，实数的取值范围是 ……12分 方法二：记则在上，‎ ‎ ……7分 ① 若，，时，，单调递增，，‎ 这与上矛盾； ……8分 ② 若，，上递增，而，‎ 这与上矛盾；……9分 ‎③若，，时，单调递减；时，单调递增 ‎，即恒成立 ……11分 综上，实数的取值范围是 ……12分 ‎22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 ‎ (Ⅰ)证明：连接BE.‎ ‎∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC＝90°‎ ‎∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB＝90° ……2分 ‎∴∠DBE＋∠OBE＝90°,∠AEO＋∠OEB＝90°‎ ‎∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB　∴∠DBE＝∠AEO ……4分 ‎∵∠AEO＝∠CED ∴∠CED＝∠CBE,‎ ‎∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE ，‎ ‎∴ ∴CE＝CD·CB ……6分 ‎(Ⅱ)∵OB＝1,BC＝2 ，∴OC＝， ∴CE＝OC－OE＝－1 ……8分 由(Ⅰ)CE ＝CD•CB得(－1)＝2CD，∴CD＝3－ ……10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)直线，即，‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 点在直线上. ……5分 ‎(Ⅱ)直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，‎ 有，，设方程的两根为，‎ ‎ ……10分 ‎24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：(Ⅰ)原不等式等价于 ‎ 当时，，解得不存在；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得. ‎ 综上，不等式的解集为 ……5分 ‎(Ⅱ) 方法一：由函数与函数的图象可知，‎ 当且仅当时，函数与函数的图象有交点，‎ 故存在使不等式成立时，的取值范围是 ……10分 方法二：即 ，‎ ‎（ⅰ）当，，‎ 若，则， 满足条件；‎ 若，则,由解得： . ‎ ‎ ……7分 ‎（ⅱ）当时，，‎ 若 ，则在时就有，满足条件； ‎ 若，则，不满足条件；‎ 若，则，由，解得.‎ ‎ . ……9分 综上， . ‎ 即的取值范围是 ……10分