高中数学 2_1_2 演绎推理同步练习 新人教A版选修2-2

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高中数学 2_1_2 演绎推理同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 ‎2.1.2‎ 演绎推理 一、选择题 ‎1.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是(  )‎ A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 ‎[答案] B ‎[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边形.故应选B.‎ ‎2.“①一个错误的推理或者前提不成立,或者推理形式不正确,②这个错误的推理不是前提不成立,③所以这个错误的推理是推理形式不正确.”上述三段论是(  )‎ A.大前提错       ‎ B.小前提错 C.结论错 ‎ D.正确的 ‎[答案] D ‎[解析] 前提正确,推理形式及结论都正确.故应选D.‎ ‎3.《论语·学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是(  )‎ A.类比推理 ‎ B.归纳推理 C.演绎推理 ‎ D.一次三段论 ‎[答案] C ‎[解析] 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.‎ ‎4.“因对数函数y=logax(x>0)是增函数(大前提),而y=logx是对数函数(小前提),所以y=logx是增函数(结论)”.上面推理的错误是(  )‎ A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 ‎[答案] A ‎[解析] 对数函数y=logax不是增函数,只有当a>1时,才是增函数,所以大前提是错误的.‎ ‎5.推理:“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是(  )‎ A.① ‎ B.②‎ C.③ ‎ D.①②‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由①②③的关系知,小前提应为“三角形不是平行四边形”.故应选B.‎ ‎6.三段论:“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是(  )‎ A.① ‎ B.②‎ C.①② ‎ D.③‎ ‎[答案] B ‎[解析] 易知应为②.故应选B.‎ ‎7.“10是5的倍数,15是5的倍数,所以15是10的倍数”上述推理(  )‎ A.大前提错 ‎ B.小前提错 C.推论过程错 ‎ D.正确 ‎[答案] C ‎[解析] 大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.故应选C.‎ ‎8.凡自然数是整数,4是自然数,所以4是整数,以上三段论推理(  )‎ A.正确 ‎ B.推理形式正确 C.两个自然数概念不一致 ‎ D.两个整数概念不一致 ‎[答案] A ‎[解析] 三段论的推理是正确的.故应选A.‎ ‎9.在三段论中,M,P,S的包含关系可表示为(  )‎ ‎[答案] A ‎[解析] 如果概念P包含了概念M,则P必包含了M中的任一概念S,这时三者的包含可表示为;‎ 如果概念P排斥了概念M,则必排斥M中的任一概念S,这时三者的关系应为.故应选A.‎ ‎10.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(  )‎ A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 ‎[答案] D ‎[解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错误.‎ 二、填空题 ‎11.求函数y=的定义域时,第一步推理中大前提是有意义时,a≥0,小前提是有意义,结论是________.‎ ‎[答案] log2x-2≥0‎ ‎[解析] 由三段论方法知应为log2x-2≥0.‎ ‎12.以下推理过程省略的大前提为:________.‎ ‎∵a2+b2≥2ab,‎ ‎∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.‎ ‎[答案] 若a≥b,则a+c≥b+c ‎[解析] 由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了a2+b2,故大前提为:若a≥b,则a+c≥b+c.‎ ‎13.(2010·重庆理,15)已知函数f(x)满足:f(1)=,‎4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 令y=1得‎4f(x)·f(1)=f(x+1)+f(x-1)‎ 即f(x)=f(x+1)+f(x-1) ①‎ 令x取x+1则f(x+1)=f(x+2)+f(x) ②‎ 由①②得f(x)=f(x+2)+f(x)+f(x-1),‎ 即f(x-1)=-f(x+2)‎ ‎∴f(x)=-f(x+3),∴f(x+3)=-f(x+6)‎ ‎∴f(x)=f(x+6)‎ 即f(x)周期为6,‎ ‎∴f(2010)=f(6×335+0)=f(0)‎ 对‎4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得 ‎4f‎(1)f(0)=‎2f(1),‎ ‎∴f(0)=即f(2010)=.‎ ‎14.四棱锥P-ABCD中,O为CD上的动点,四边形ABCD满足条件________时,VP-AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可).‎ ‎[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等 ‎[解析] 设h为P到面ABCD的距离,VP-AOB=S△AOB·h,‎ 又S△AOB=|AB|d(d为O到直线AB的距离).‎ 因为h、|AB|均为定值,所以VP-AOB恒为定值时,只有d 也为定值,这是一个开放型问题,答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等.‎ 三、解答题 ‎15.用三段论形式证明:在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,则∠B=∠C.‎ ‎[证明] 如下图延长AB,DC交于点M.‎ ‎①平行线分线段成比例大前提 ‎②△AMD中AD∥BC小前提 ‎③=结论 ‎①等量代换大前提 ‎②AB=CD小前提 ‎③MB=MC结论 在三角形中等边对等角大前提 MB=MC小前提 ‎∠1=∠MBC=∠MCB=∠2结论 等量代换大前提 ‎∠B=π-∠1 ∠C=π-∠2小前提 ‎∠B=∠C结论 ‎16.用三段论形式证明:f(x)=x3+x(x∈R)为奇函数.‎ ‎[证明] 若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数 大前提 ‎∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x)小前提 ‎∴f(x)=x3+x是奇函数结论 ‎17.用三段论写出求解下题的主要解答过程.‎ 若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),求实数a的值.‎ ‎[解析] 推理的第一个关键环节:‎ 大前提:如果不等式f(x)<0的解集为(m,n),且f(m)、f(n)有意义,则m、n是方程f(x)=0的实数根,‎ 小前提:不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),且x=-1与x=2都使表达式|ax+2|-6有意义,‎ 结论:-1和2是方程|ax+2|-6=0的根.‎ ‎∴|-a+2|-6=0与|‎2a+2|-6=0同时成立.‎ 推理的第二个关键环节:‎ 大前提:如果|x|=a,a>0,那么x=±a,‎ 小前提:|-a+2|=6且|‎2a+2|=6,‎ 结论:-a+2=±6且‎2a+2=±6.‎ 以下可得出结论a=-4.‎ ‎18.设A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.‎ ‎(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;‎ ‎(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.‎ ‎[解析] (1)F∈l⇔|FA|=|FB|⇔A、B两点到抛物线的准线的距离相等.‎ ‎∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意,y1,y2不同时为0.‎ ‎∴上述条件等价于 y1=y2⇔x=x⇔(x1+x2)(x1-x2)=0.‎ ‎∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1+x2=0,即当且仅当x1+x2=0时,l经过抛物线的焦点F.‎ ‎(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b;过点A、B的直线方程为y=-x+m,所以x1,x2满足方程2x2+x-m=0,得x1+x2=-.‎ A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=+‎8m>0,即m>-.设AB的中点N的坐标为(x0,y0),则 x0=(x1+x2)=-,‎ y0=-x0+m=+m.‎ 由N∈l,得+m=-+b,于是 b=+m>-=.‎ 即得l在y轴上截距的取值范围是.‎ ‎ ‎
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