2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：小题专题练（四）

2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：小题专题练（四）

小题专题练(四)　立体几何 ‎1．下列命题中，正确的是(　　)‎ A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 ‎2．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－2　　　 B．－　　　‎ C.　　　　 D．2‎ ‎3.‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)‎ ‎4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是(　　)‎ A．4∶3 B．2∶1 ‎ C．5∶3 D．3∶2‎ ‎5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)‎ A．30° B．60° ‎ C．120° D．150°‎ ‎6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎7．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎8．已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则(　　)‎ A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β D．若m∥n，m⊂α，则n∥α ‎9．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为(　　)‎ A．29 cm B．30 cm ‎ C．32 cm D．48 cm ‎10．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为(　　)‎ A．1 B. ‎ C. D. ‎11．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，‎ 几何体中最长棱的长是________．‎ ‎　　‎ 第11题图　　　　　　第12题图 ‎12．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比为________，三棱锥PABC 的体积是________．‎ ‎13．已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．‎ ‎14．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．‎ ‎15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，∠ABE＝20°，∠CDF＝30°.将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为________．‎ ‎　‎ 第15题图　　　　　　　第16题图 ‎16．如图，在四边形ABCD中，CD⊥BD，∠ABD＝，AB＝BD＝4，CD＝2，现将△BCD沿BD折起，当二面角ABDC的大小处于[，]的过程时，线段AC长度的最小值是________，最大值是________．‎ ‎17．已知△ABC在平面α内，∠ACB＝90°，点P∉α，PA＝PB＝PC＝7，AB＝10，AC＝6，则点P到平面α的距离等于________，PC与平面PAB所成角的正弦值为________．‎ 小题专题练(四)‎ ‎1．解析：选D.直棱柱的侧棱与底面垂直，底面形状不定，故选项A，C都不够准确；选项B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故B不正确．‎ ‎2．解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.‎ ‎3．解析：选C.如图，取DD1的中点F，连接AF，FC1，则过点A，E，C1的平面即为面AEC1F，所以剩余几何体的侧视图为选项C.‎ ‎4．解析：选A.圆锥的侧面积＝π×12×＝，圆锥的底面半径＝2π×1×÷2π＝，圆锥的底面积＝π·＝，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.‎ ‎5．解析：选A.由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°.所以直线l与α所成的角为30°.‎ ‎6．解析：选B.由三视图得，该几何体是从四棱锥PABCD中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形，高是2，圆锥的底面半径是1，高是2，则所求几何体的体积V＝×2×2×2－×π×12×2＝.‎ ‎7.‎ 解析：选B.如图，可得·＝(＋)·＝·＝4×2×＝12＝5×2×cos θ(θ为与的夹角)，所以cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，‎ 所以所求角的正切值为.‎ ‎8．解析：选A.由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选A.‎ ‎9．解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y，则⇒所以h＝29.‎ ‎10.‎ 解析：选A.将长方体中含有ABD1的平面取出，过点A作AM⊥BD1，延长AM，使MP＝AM，则P是A关于BD1的对称点，如图所示，过P作PE⊥BC1，垂足为E，依题意AB＝1，AD1＝，BD1＝2，∠ABD1＝60°，∠BAM＝30°，∠PBE＝30°，PE＝，BE＝，所以PC1＝1，故选A.‎ ‎11．解析：‎ 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥MA1B1N，如图所示，M是棱AB上靠近点A的一个三等分点，N是棱C1D1的中点，所以VMA1B1N＝××2×2×2＝.又A1B1＝2，A1N＝B1N＝＝，A1M＝＝，B1M＝＝，MN＝＝，所以该几何体中最长棱的长是.‎ 答案：　 ‎12．解析：作三棱锥PABC的正视图时，点A的正投影是D，点P的正投影在C1D1上，‎ 因此三棱锥PABC正视图的面积S正＝×12＝，作三棱锥PABC的侧视图时，点A的正投影是B，点P的正投影在C1B1上，因此三棱锥PABC的侧视图的面积S侧＝×12＝，故S正∶S侧＝1∶1，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·AA1＝.‎ 答案：1∶1　 ‎13．解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝h，则V′＝6－h2，由V′>0，得02，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，Vmax＝8.‎ 答案：2‎ ‎14．解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，‎ 使得DT＝，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝，‎ 故NT＝2－－＝1，‎ 因为M为CC1的中点，‎ 故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，‎ 同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝，连接BQ′，TQ′，‎ 则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，‎ 即Q′与Q重合，故AQ＝.‎ 答案： ‎15．解析：AB不动，因为AB∥CD，故无论直线DF运动到哪里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为30°.若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF 不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．因此，本题正确答案是70°.‎ 答案：70°‎ ‎16.‎ 解析：设二面角ABDC的平面角为α，如图，取BD的中点E，连接AE，则AE＝2.因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋4＋4＋0＋0＋2×2×2×cos(π－α)＝20－8cos α，‎ 因为α∈[，]，所以cos α∈[－，]，所以2∈[8，32]，故线段AC长度的取值范围是[2，4]．‎ 答案：2　4 ‎17.‎ 解析：如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD，因为PA＝PB，所以PD⊥AB，又△ABC为直角三角形，所以AD＝CD，又PA＝PC，所以△APD≌△CPD，所以∠CDP＝∠ADP＝90°，所以PD⊥DC.又AB∩DC＝D，则PD⊥α，PD为点P到平面α的距离，又PA＝7，AB＝10，所以AD＝5，PD＝＝2.‎ 法一：设点C到平面PAB的距离为d，PC与平面PAB所成角的大小为θ，由VPABC＝VCPAB得PD·S△ABC＝d·S△PAB，即×2××6×8＝d××10×2，所以d＝.故sin θ＝＝.‎ 法二：过点C作CE⊥AB于点E，连接PE，因为PD⊥α，PD⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，所以CE⊥平面PAB，则∠CPE为PC与平面PAB所成的角，在Rt△ABC中，易得CE＝，所以sin ∠CPE＝＝.‎ 答案：2