2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§4-3 三角函数的图象与性质（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§4-3 三角函数的图象与性质（试题部分）

‎§4.3　三角函数的图象与性质 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角函数 的图象 ‎①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象;②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响 ‎2016课标全国Ⅱ,3,5分 由三角函数图象求解析式 三角函数的性质 ‎★★☆‎ ‎2016课标全国Ⅰ,6,5分 三角函数图象的平移变换 三角函数的周期 ‎2016课标全国Ⅲ,14,5分 三角函数图象的平移变换 ‎—‎ 三角函数 的性质 ‎①了解三角函数的周期性;②理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等),理解正切函数的单调性 ‎2018课标全国Ⅰ,8,5分 三角函数的周期性、最值 三角恒等变换 ‎★★★‎ ‎2019课标全国Ⅰ,15,5分 三角函数的最值 诱导公式,‎ 二倍角公式 ‎2018课标全国Ⅱ,10,5分 三角函数的单调性 辅助角公式 ‎2018课标全国Ⅲ,6,5分 三角函数的周期性 三角恒等变换 及同角关系式 ‎2019课标全国Ⅱ,8,5分 三角函数的周期性 函数的图象 分析解读 从近几年的高考试题来看,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,往往结合三角公式化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值问题,且常以客观题的形式考查,分值一般为5分或12分,难度不大,属于中档题目.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sinx+‎π‎3‎的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动π‎3‎个单位长 B.向右平行移动π‎3‎个单位长度 C.向上平行移动π‎3‎个单位长度 D.向下平行移动π‎3‎个单位长度 答案　A　‎ ‎2.(2019湖北重点中学开学测试,7)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin‎2x+‎‎2π‎3‎,则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移‎2π‎3‎个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎3‎个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移‎2π‎3‎个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎2‎个单位长度,得到曲线C2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019广西南宁二中高三摸底考试,7)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asin ωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.向左平移π‎3‎个单位长度 B.向左平移π‎12‎个单位长度 C.向右平移π‎3‎个单位长度 D.向右平移π‎12‎个单位长度 答案　B　‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎的最小正周期为(　　)‎ A.4π B.2π C.π D.‎π‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019贵州贵阳联考,10)已知函数f(x)=sinωx+‎π‎3‎(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　)‎ A.关于点π‎3‎‎,0‎对称 B.关于直线x=π‎3‎对称 C.关于点π‎4‎‎,0‎对称 D.关于直线x=π‎4‎对称 答案　A　‎ ‎3.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.kπ-‎1‎‎4‎,kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z B.‎2kπ-‎1‎‎4‎,2kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z C.k-‎1‎‎4‎,k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z D.‎2k-‎1‎‎4‎,2k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z 答案　D　‎ ‎4.(2020届河南、河北两省重点中学摸底考试,15)已知函数f(x)=2cos2x,将f(x)的图象上所有的点向左平移π‎4‎个单位长度得到g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最小正周期是　　　　,最大值是　　　　. ‎ 答案　π;2+‎‎2‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　由三角函数图象确定函数解析式的方法 ‎1.(2020届陕西合阳中学9月月考,4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则φ=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.-π‎6‎ D.-‎π‎3‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)‎ A.y=2sin‎2x-‎π‎6‎ B.y=2sin‎2x-‎π‎3‎ C.y=2sinx+‎π‎6‎ D.y=2sinx+‎π‎3‎ 答案　A　‎ 方法2　三角函数的周期与对称轴(对称中心)的求解方法 ‎1.(2017山东,7,5分)函数y=‎3‎sin 2x+cos 2x的最小正周期为(　　)‎ A.π‎2‎ B.‎2π‎3‎ C.π D.2π 答案　C　‎ ‎2.(2019辽宁辽南协作体一模,6)将函数f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度,得到的函数g(x)是奇函数,则下列结论正确的是(　　)‎ A.t的最小值为π‎6‎,g(x)图象的对称中心为kπ‎2‎‎+π‎12‎,0‎,k∈Z B.t的最小值为π‎6‎,g(x)图象的对称轴为x=kπ‎2‎+π‎3‎,k∈Z C.t的最小值为π‎12‎,g(x)的单调增区间为kπ-π‎4‎,kπ+‎π‎4‎,k∈Z D.t的最小值为π‎12‎,g(x)的周期为π 答案　D　‎ ‎3.(2019河北邯郸摸底考试,17节选)已知f(x)=‎3‎cos 2x+2sin‎3π‎2‎‎+xsin(π-x),x∈R.求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程.‎ 答案　f(x)=‎3‎cos 2x+2sin‎3π‎2‎‎+xsin(π-x)=‎3‎cos 2x-2cos x·sin x=‎3‎cos 2x-sin 2x=-2sin‎2x-‎π‎3‎,‎ ‎∴f(x)的最小正周期为π.‎ 令2x-π‎3‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),得x=kπ‎2‎+‎5π‎12‎,k∈Z.∴f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ‎2‎+‎5π‎12‎(k∈Z).‎ 方法3　三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 ‎1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin‎2x+‎π‎5‎的图象向右平移π‎10‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上单调递增 B.在区间‎-π‎4‎,0‎上单调递减 C.在区间π‎4‎‎,‎π‎2‎上单调递增 D.在区间π‎2‎‎,π上单调递减 答案　A　‎ ‎2.(2020届河南重点中学摸底考试,5)已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+sin x的值域为(　　)‎ A.‎0,‎‎9‎‎8‎ B.[0,1) C.(0,1) D.‎‎0,‎‎9‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎3.(2017课标全国Ⅱ,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)将函数y=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象向右平移‎1‎‎4‎个周期后,所得图象对应的函数为(　　)‎ A.y=2sin‎2x+‎π‎4‎ B.y=2sin‎2x+‎π‎3‎ C.y=2sin‎2x-‎π‎4‎ D.y=2sin‎2x-‎π‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案　‎π‎3‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2019课标全国Ⅱ,8,5分)若x1=π‎4‎,x2=‎3π‎4‎是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(　　)‎ A.2 B.‎3‎‎2‎ C.1 D.‎‎1‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　　)‎ A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018课标全国Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是(　　)‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.‎3π‎4‎ D.π 答案　C　‎ ‎4.(2018课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=tanx‎1+tan‎2‎x的最小正周期为(　　)‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.π D.2π 答案　C　‎ ‎5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cosπ‎2‎‎-x的最大值为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案　B　‎ ‎6.(2019课标全国Ⅰ,15,5分)函数f(x)=sin‎2x+‎‎3π‎2‎-3cos x的最小值为　　　　. ‎ 答案　-4‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若gπ‎4‎=‎2‎,则f‎3π‎8‎=(　　)‎ A.-2 B.-‎2‎ C.‎2‎ D.2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin‎4x-‎π‎3‎的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(　　)‎ A.向左平移π‎12‎个单位 B.向右平移π‎12‎个单位 C.向左平移π‎3‎个单位 D.向右平移π‎3‎个单位 答案　B　‎ ‎3.(2016山东,17,12分)设f(x)=2‎3‎sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π‎3‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,求gπ‎6‎的值.‎ 答案　(1)f(x)=2‎3‎sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2‎ ‎=2‎3‎sin2x-(1-2sin xcos x)‎ ‎=‎3‎(1-cos 2x)+sin 2x-1‎ ‎=sin 2x-‎3‎cos 2x+‎3‎-1‎ ‎=2sin‎2x-‎π‎3‎+‎3‎-1.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎5π‎12‎(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间是kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z).‎或kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z)‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin‎2x-‎π‎3‎+‎3‎-1.‎ 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到y=2sinx-‎π‎3‎+‎3‎-1的图象,‎ 再把得到的图象向左平移π‎3‎个单位,‎ 得到y=2sin x+‎3‎-1的图象,‎ 即g(x)=2sin x+‎3‎-1.‎ 所以gπ‎6‎=2sinπ‎6‎+‎3‎-1=‎3‎.‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2019上海,15,5分)已知ω∈R,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a∈R,使得f(x+a)为偶函数,则ω的值可能为(　　)‎ A.π‎2‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f‎5π‎8‎=2,f‎11π‎8‎=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则　(　　)‎ A.ω=‎2‎‎3‎,φ=π‎12‎ B.ω=‎2‎‎3‎,φ=-‎‎11π‎12‎ C.ω=‎1‎‎3‎,φ=-‎11π‎24‎ D.ω=‎1‎‎3‎,φ=‎‎7π‎24‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016天津,8,5分)已知函数f(x)=sin2ωx‎2‎+‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎8‎ B.‎0,‎‎1‎‎4‎∪‎‎5‎‎8‎‎,1‎ C.‎0,‎‎5‎‎8‎ D.‎0,‎‎1‎‎8‎∪‎‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　-‎π‎6‎ ‎5.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;‎ ‎(2)求函数y=fx+‎π‎12‎‎2‎+fx+‎π‎4‎‎2‎的值域.‎ 答案　本题主要考查三角函数及三角恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.‎ ‎(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x,都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),‎ 即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,‎ 故2sin xcos θ=0,‎ 所以cos θ=0.‎ 又θ∈[0,2π),因此θ=π‎2‎或‎3π‎2‎.‎ ‎(2)y=fx+‎π‎12‎‎2‎+‎fx+‎π‎4‎‎2‎ ‎=sin2x+‎π‎12‎+sin2‎x+‎π‎4‎ ‎=‎1-cos‎2x+‎π‎6‎‎2‎+‎‎1-cos‎2x+‎π‎2‎‎2‎ ‎=1-‎‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎cos2x-‎3‎‎2‎sin2x ‎=1-‎3‎‎2‎cos‎2x+‎π‎3‎.‎ 因此,函数的值域是‎1-‎3‎‎2‎,1+‎‎3‎‎2‎.‎ ‎6.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+‎3‎sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)在区间‎-π‎3‎,m上的最大值为‎3‎‎2‎,求m的最小值.‎ 答案　(1)f(x)=‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x ‎=sin‎2x-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.‎ 所以f(x)的最小正周期为T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.‎ 由题意知-π‎3‎≤x≤m.‎ 所以-‎5π‎6‎≤2x-π‎6‎≤2m-π‎6‎.‎ 要使得f(x)在‎-π‎3‎,m上的最大值为‎3‎‎2‎,‎ 即sin‎2x-‎π‎6‎在‎-π‎3‎,m上的最大值为1.‎ 所以2m-π‎6‎≥π‎2‎,‎ 即m≥π‎3‎.‎ 所以m的最小值为π‎3‎.‎ C组　教师专用题组 考点一　三角函数的图象 ‎1.(2013课标Ⅱ,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π‎2‎个单位后,与函数y=sin‎2x+‎π‎3‎的图象重合,则φ=　　　　. ‎ 答案　‎‎5π‎6‎ ‎2.(2015湖北,18,12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎3‎ ‎5π‎6‎ Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π‎6‎个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.‎ 答案　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π‎6‎.数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎12‎ π‎3‎ ‎7π‎12‎ ‎5π‎6‎ ‎13‎‎12‎π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎,‎ 因此,g(x)=5sin‎2x+‎π‎6‎-‎π‎6‎=5sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 令2x+π‎6‎=kπ,k∈Z,解得x=kπ‎2‎-π‎12‎,k∈Z.‎ 即y=g(x)图象的对称中心为kπ‎2‎‎-π‎12‎,0‎,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为‎-π‎12‎,0‎.‎ 考点二　三角函数的性质 ‎1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=‎1‎‎5‎sinx+‎π‎3‎+cosx-‎π‎6‎的最大值为(　　)‎ A.‎6‎‎5‎ B.1 C.‎3‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　A　‎ 答案　B ‎3.(2014课标Ⅰ,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos‎2x+‎π‎6‎,④y=tan‎2x-‎π‎4‎中,最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ 答案　A　‎ ‎4.(2011课标,11,5分)设函数f(x)=sin‎2x+‎π‎4‎+cos‎2x+‎π‎4‎,则(　　)‎ A.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递增,其图象关于直线x=π‎4‎对称 B.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递增,其图象关于直线x=π‎2‎对称 C.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递减,其图象关于直线x=π‎4‎对称 D.y=f(x)在‎0,‎π‎2‎单调递减,其图象关于直线x=π‎2‎对称 答案　D　‎ ‎5.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎6.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,最小值是　　　　. ‎ 答案　π;‎‎3-‎‎2‎‎2‎ ‎7.(2015湖南,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2‎3‎,则ω=　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎8.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎9.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 答案　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),a∥b,‎ 所以-‎3‎cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.‎ 于是tan x=-‎3‎‎3‎.‎ 又x∈[0,π],所以x=‎5π‎6‎.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-‎3‎)=3cos x-‎3‎sin x=2‎3‎cosx+‎π‎6‎.‎ 因为x∈[0,π],所以x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ 从而-1≤cosx+‎π‎6‎≤‎3‎‎2‎.‎ 于是,当x+π‎6‎=π‎6‎,即x=0时, f(x)取到最大值,为3;‎ 当x+π‎6‎=π,即x=‎5π‎6‎时, f(x)取到最小值,为-2‎3‎.‎ ‎10.(2017北京,16,13分)已知函数f(x)=‎3‎cos‎2x-‎π‎3‎-2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求证:当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时, f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎ 答案　(1)f(x)=‎3‎‎2‎cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x-sin 2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x ‎=sin‎2x+‎π‎3‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)证明:因为-π‎4‎≤x≤π‎4‎,‎ 所以-π‎6‎≤2x+π‎3‎≤‎5π‎6‎.‎ 所以sin‎2x+‎π‎3‎≥sin‎-‎π‎6‎=-‎1‎‎2‎.‎ 所以当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时, f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎ ‎11.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2‎3‎sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f‎2π‎3‎的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 答案　(1)由sin‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎,cos‎2π‎3‎=-‎1‎‎2‎,‎ f‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎-2‎3‎×‎3‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 得f‎2π‎3‎=2.‎ ‎(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-‎3‎sin 2x=-2sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 解得π‎6‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ 所以, f(x)的单调递增区间是π‎6‎‎+kπ,‎2π‎3‎+kπ(k∈Z).‎ ‎12.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间.‎ 答案　(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx=‎2‎sin‎2ωx+‎π‎4‎,(3分)‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2ω=πω.(4分)‎ 依题意,πω=π,解得ω=1.(6分)‎ ‎(2)由(1)知f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ 因为函数y=sin x的单调递增区间为‎2kπ-π‎2‎,2kπ+‎π‎2‎(k∈Z),(8分)‎ 所以2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎(k∈Z).(12分)‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎(k∈Z).(13分)‎ ‎13.(2015安徽,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎0,‎π‎2‎上的最大值和最小值.‎ 答案　(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1.‎ 当x∈‎0,‎π‎2‎时,2x+π‎4‎∈π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎,‎ 由正弦函数y=sin x在π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎上的图象知,‎ 当2x+π‎4‎=π‎2‎,即x=π‎8‎时, f(x)取得最大值,最大值为‎2‎+1;‎ 当2x+π‎4‎=‎5π‎4‎,即x=π‎2‎时, f(x)取得最小值,最小值为0.‎ 综上,f(x)在‎0,‎π‎2‎上的最大值为‎2‎+1,最小值为0.‎ ‎14.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin x-2‎3‎sin2x‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎0,‎‎2π‎3‎上的最小值.‎ 答案　(1)因为f(x)=sin x+‎3‎cos x-‎‎3‎ ‎=2sinx+‎π‎3‎-‎3‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤‎2π‎3‎,所以π‎3‎≤x+π‎3‎≤π.‎ 当x+π‎3‎=π,即x=‎2π‎3‎时, f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间‎0,‎‎2π‎3‎上的最小值为f‎2π‎3‎=-‎3‎.‎ ‎15.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最小值;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈π‎2‎‎,π时,求g(x)的值域.‎ 答案　(1)f(x)=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎cos2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎(1+cos 2x)‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎cos 2x-‎3‎‎2‎=sin‎2x-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-‎2+‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)由已知可得g(x)=sinx-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎.‎ 当x∈π‎2‎‎,π时,有x-π‎3‎∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎,‎ 从而sinx-‎π‎3‎∈‎1‎‎2‎‎,1‎,‎ 那么sinx-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎∈‎1-‎‎3‎‎2‎‎,‎‎2-‎‎3‎‎2‎.‎ 故g(x)在区间π‎2‎‎,π上的值域是‎1-‎‎3‎‎2‎‎,‎‎2-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎16.(2015福建,21,12分)已知函数f(x)=10‎3‎sinx‎2‎cosx‎2‎+10cos2x‎2‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.‎ ‎(i)求函数g(x)的解析式;‎ ‎(ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.‎ 答案　(1)因为f(x)=10‎3‎sinx‎2‎cosx‎2‎+10cos2‎x‎2‎ ‎=5‎3‎sin x+5cos x+5=10sinx+‎π‎6‎+5,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=2π.‎ ‎(2)(i)将f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象.‎ 又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13.‎ 所以g(x)=10sin x-8.‎ ‎(ii)证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>‎4‎‎5‎.‎ 由‎4‎‎5‎<‎3‎‎2‎知,存在0<α0<π‎3‎,使得sin α0=‎4‎‎5‎.‎ 由正弦函数的性质可知,当x∈(α0,π-α0)时,均有sin x>‎4‎‎5‎.‎ 因为y=sin x的周期为2π,‎ 所以当x∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k∈Z)时,均有sin x>‎4‎‎5‎.‎ 因为对任意的整数k,(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>π‎3‎>1,‎ 所以对任意的正整数k,都存在正整数xk∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0),使得sin xk>‎4‎‎5‎.‎ 亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:60分 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2020届广西玉林高级中学8月月考,8)将函数y=sin‎2x-‎π‎6‎的图象向左平移π‎4‎个单位长度,所得函数图象的一条对称轴的方程为(　　)‎ A.x=π‎3‎ B.x=‎π‎6‎ C.x=π‎12‎ D.x=-‎π‎12‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π‎6‎个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(　　)‎ A.π‎3‎ B.π‎6‎ C.0 D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2020届河南新乡调研,8)已知P‎1‎‎4‎‎,1‎,Q‎5‎‎4‎‎,-1‎分别是函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎的图象上相邻的最高点和最低点,则ω-φ=(　　)‎ A.-‎5π‎4‎ B.‎5π‎4‎ C.-‎3π‎4‎ D.‎‎3π‎4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2020届湖北名师联盟8月调研,9)将函数f(x)=2sin 2x的图象向左平移φ‎0<φ<‎π‎4‎个单位长度后得到g(x)的图象,且gπ‎12‎=‎3‎,则函数g(x)图象的一个对称中心的坐标是(　　)‎ A.‎-π‎6‎,0‎ B.‎-π‎12‎,0‎ C.π‎12‎‎,0‎ D.‎π‎6‎‎,0‎ 答案　B　‎ ‎5.(多选题)(命题标准样题,7)设函数f(x)=cosx+‎π‎3‎,则下列结论正确的是(　　)‎ A. f(x)的一个周期为2π B.y=f(x)的图象关于直线x=‎8π‎3‎对称 C. f(x+π)的一个零点为x=‎π‎6‎ D. f(x)在π‎2‎‎,π上单调递减 答案　ABC　‎ ‎6.(2020届河北邯郸重点中学第一次联考,10)将函数y=sin‎2x-‎π‎4‎的图象向左平移π‎4‎个单位,所得图象对应的函数在区间(-m,m)上无极值点,则m的最大值为(　　)‎ A.π‎8‎ B.π‎4‎ C.‎3π‎8‎ D.‎π‎2‎ 答案　A　‎ ‎7.(2019广东广州高中毕业班综合测试(一),9)函数f(x)=sinx+‎π‎12‎+sinx+‎‎5π‎12‎的最大值是(　　)‎ A.2 B.‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎8.(2019江西南昌外国语学校高考适应性测试,8)将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移π‎4ω个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为(　　)‎ A.π‎2‎ B.‎3‎π‎2‎ C.π‎4‎ D.‎‎3π‎2‎ 答案　A　‎ ‎9.(2020届湖南长沙第一次联考,11)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)的图象,若对于满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π‎3‎,则φ=(　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ 答案　D　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎10.(2019山西3月高考考前适应性测试,16)已知函数f(x)=cos ωx+sinωx+‎π‎6‎(ω>0)在[0,π]上恰有一个最大值点和两个零点,则ω的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎3‎‎,‎‎13‎‎6‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎11.(2020届西南地区名校联盟8月联考,17)已知函数f(x)=‎1‎‎2‎sin 2xcos φ+sin2xsin φ+‎1‎‎2‎cosπ‎2‎‎+φ+‎1‎‎2‎‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎,其图象过点π‎6‎‎,1‎.‎ ‎(1)求f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,求函数g(x)在‎0,‎π‎2‎上的最大值和最小值.‎ 答案　(1)f(x)=‎1‎‎2‎sin 2xcos φ+sin2xsin φ-‎1‎‎2‎sin φ+‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2xcos φ+‎1-cos2x‎2‎×sin φ-‎1‎‎2‎sin φ+‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2xcos φ-‎1‎‎2‎cos 2xsin φ+‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin(2x-φ)+‎1‎‎2‎.‎ ‎∵f(x)的图象过点π‎6‎‎,1‎,∴‎1‎‎2‎sinπ‎3‎‎-φ+‎1‎‎2‎=1,‎ 即sinπ‎3‎‎-φ=1,∴π‎3‎-φ=2kπ+π‎2‎(k∈Z),∴φ=-2kπ-π‎6‎(k∈Z).‎ ‎∵-π‎2‎<φ<π‎2‎,∴φ=-π‎6‎.‎ 则f(x)=‎1‎‎2‎sin‎2x+‎π‎6‎+‎1‎‎2‎,由2x+π‎6‎=kπ(k∈Z)得x=kπ‎2‎-π‎12‎(k∈Z),故其图象的对称中心为kπ‎2‎‎-π‎12‎,‎‎1‎‎2‎,k∈Z.‎ ‎(2)将y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,所得图象对应的函数解析式为y=‎1‎‎2‎sinx+‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.‎ 又将所得图象各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,‎ 则g(x)=sinx+‎π‎6‎+1.由x∈‎0,‎π‎2‎得x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎,‎ 当x+π‎6‎=π‎2‎,即x=π‎3‎时,g(x)取最大值2;‎ 当x+π‎6‎=π‎6‎,即x=0时,g(x)取最小值‎3‎‎2‎.‎