北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

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‎2019~2020学年临川学校高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得集合M，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】求解二次不等式可得，‎ 结合交集的定义可得：或.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.复数的虚部是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.‎ ‎【详解】由复数的运算法则可知：，‎ 则复数的虚部是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3. ，使 ，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，问题转化为的问题，设函数，利用该函数的单调性即可求出参数范围 ‎【详解】由题意可知：，使，则.‎ 由于函数是定义域内的单调递增函数，‎ 故当时，函数取得最小值，‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数的取值范围；‎ ‎2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立；(2)恒成立.‎ ‎4.设向量，满足，，则( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量的运算法则求解其模即可.‎ ‎【详解】由题意结合向量的运算法则可知：‎ ‎.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.设为等差数列，，为其前项和，若，则公差( )‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列的性质和前n项和的定义求解公差即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 则，等差数列的公差.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的前n项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.在的二项展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为,可得时，的系数为，C正确.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为( )‎ A. B. C. 8 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可.‎ ‎【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图所对的几何体为图中的四棱锥，‎ 其体积.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎8.已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线 的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出，的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，‎ 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程，‎ 解得，可得，‎ 为等边三角形，可得，即有，‎ 则．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．‎ ‎9.将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意概率值即可.‎ ‎【详解】由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为：，所有的分组组数为：，‎ 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ ‎10.若函数的图像关于点对称，且在上单调递减，则( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定的值，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，‎ 函数在x轴右侧的第一个最高点横坐标为，‎ 由于函数的图像关于点对称，故，‎ 据此可得：，结合题意可知：，‎ 从而，解得.‎ 本题选择C选项 ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数图像的变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的特征可确定为锐角，因此只需求出的正切值的最大值即可.‎ ‎【详解】设，因为为中点，所以，所以，‎ 因为点在圆上，则,不妨令，‎ 则，‎ 令，则 所以当且仅当时，取最大值，故.故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.‎ ‎12.已知，若成立，则满足条件的的个数是( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式分类讨论确定满足条件的的个数即可.‎ ‎【详解】分类讨论：‎ 很明显当时，恒成立，‎ 当时，应有，此方程的根即函数与函数在区间上的交点的个数，‎ 注意到过坐标原点的切线方程为，且，故函数与函数在区间上有2个交点，函数图象如图所示.‎ 当时，不存在满足题意的实数，‎ 综上可得，满足条件的的个数是3.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，导函数研究函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ ‎【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎14.已知函数则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】结合函数的解析式分类讨论：‎ 当时，，解得：，此时，‎ 当时，，解得，此时，‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15.已知是数列的前项和，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得，然后结合递推关系求解即可.‎ ‎【详解】由题意可知：，‎ 且：，整理可得：，‎ 由于，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.已知圆锥的顶点为，为底面中心，，，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，，为的中点.设直线与平面所成角为，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论和均值不等式确定的最大值即可.‎ ‎【详解】以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则：‎ ‎，如图所示，由对称性不妨设且，‎ 则，易知平面SAB的一个法向量为，‎ 据此有： ‎ ‎ ，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 综上可得：的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量及其应用，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分 ‎17.如图，在梯形中，，，为上一点，，.‎ ‎（1）若为等腰三角形，求；‎ ‎（2）设，若，求.‎ ‎【答案】（1）3（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合几何性质和余弦定理求解BC的长度即可；‎ ‎(2)由题意结合正弦定理得到关于的等式，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】（1）由，可得，，‎ 又为等腰三角形，所以，‎ 从而，，‎ 所以.‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎ ，‎ 即.‎ ‎（2）因为，所以，.‎ 在中，由正弦定理得，；‎ 在中，由正弦定理得，，‎ 由，得，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18.在三棱柱中，，为中点，底面，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可；‎ ‎(2)结合几何图形的特征建立空间直角坐标系，然后利用法向量求解二面角的余弦值即可.‎ ‎【详解】（1）∵底面，平面，‎ ‎∴，又，，‎ ‎∴平面，‎ 而平面，∴，‎ 又，则有，‎ 又，，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴，‎ ‎（2）连接，如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 因，且，所以，‎ 又底面，有，所以，‎ 设，则，，，，‎ 由（1）可知平面的法向量为， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，‎ 可取，‎ ‎，‎ 而二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 工业增加值 ‎13.2‎ ‎13.8‎ ‎16.5‎ ‎19.5‎ ‎20.9‎ ‎22.2‎ ‎23.4‎ ‎23.7‎ ‎24.8‎ ‎28‎ 依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎5.5‎ ‎20.6‎ ‎82.5‎ ‎211.52‎ ‎129.6‎ ‎（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值（万亿元）与年份序号的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数，其拟合指数；研究人员乙采用函数，其拟合指数；研究人员丙采用线性函数，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数与拟合指数满足关系）.‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.‎ 附：样本 的相关系数，‎ ‎，，.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）2019‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1），.‎ 因为越大，拟合效果越好，所以丙的拟合效果最好．‎ ‎（2），‎ ‎.‎ 因此关于的线性回归方程为．‎ ‎（3）从2008年开始计数，‎ ‎2018年是第11年，其工业增加值的预报值：‎ ‎.‎ ‎2019年是第12年，其工业增加值的预报值：‎ ‎.‎ 故可以预测到2019年的工业增加值能突破30万亿元大关．‎ ‎【点睛】本题主要考查回归方程的求解与应用，相关系数的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由离心率得到的关系，再由题中轴时，，即可求出，进而可得结果;‎ ‎(2)分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆的方程，由根与系数关系，表示出直线的斜率，从而可证明结论成立.‎ 详解】解：（1）由可得，所以，‎ 即，从而椭圆．‎ 当轴时，，由，不妨取，，‎ 代入椭圆，得，‎ 故椭圆．‎ ‎（2）依题意，．‎ 当的斜率存在时，设，，，‎ 将代入的方程，得， ‎ 当时，‎ ‎，． ‎ ‎，‎ 因为，，‎ 所以 ‎ ‎． ‎ 由（1）得，当的斜率不存在时，，，‎ 所以．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的几何性质，通常情况下联立直线与椭圆方程，由根与系数关系，结合题意求解，属于中档试题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，当变化时，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；‎ ‎(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为单变量函数的问题，然后结合导函数研究函数的最值即可.‎ ‎【详解】（1），．‎ ‎(ⅰ)当时， ，在上单调递增；‎ ‎(ⅱ)当时，的根为， ，‎ 所以在，上单调递增；‎ 在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）得， ， ，‎ 所以， ，‎ 从而 ‎ ‎．‎ 令，则，‎ 令，则， ‎ 因为，所以，所以在上单调递减，又，‎ 从而时， ， ，单调递增；‎ 时， ， ，单调递减，‎ 所以时，取得最大值1．‎ 故的最大值为1．‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)‎ 考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在极坐标系中，直线，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；‎ ‎（2）已知点在圆上，到和轴的距离分别为，，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线直角坐标方程为：；圆的参数方程为（为参数，且）；（2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；‎ ‎(2)结合(1)中的结论得到关于的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.‎ ‎【详解】（1）由得，；‎ 所以直线的直角坐标方程为：；‎ 由圆得， ，因为， ，，‎ 所以圆直角坐标方程为：‎ 由得，‎ 圆的参数方程为（为参数，且），‎ ‎（2）设点坐标为，‎ 则 ，．‎ 那么，‎ 当时，取得最大值7．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意零点分段确定不等式的解集即可；‎ ‎(2)结合(1)中的结论绘制函数和的图象，结合函数图像可知题中的不等式成立.‎ ‎【详解】（1）不等式等价于 或或 解得， ，或，或．‎ 所以，不等式的解集是．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以 ‎ ‎ 如图所示，画出函数和的图象，‎ 观察图象，可得．‎ ‎【点睛】绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎