北京市附属中学2019届高三下学期5月考试卷数学（理）试卷

北京市附属中学2019届高三下学期5月考试卷数学（理）试卷

清华附中高三2019年5月月考试卷 数学（理）‎ 一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式化简的表示，运用集合交集的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了集合交集的运算定义，属于基础题.‎ ‎2.设为的共轭复数，则其虚部为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数除法的运算法则化简复数，利用共轭复数的定义求出，最后求出它的虚部.‎ ‎【详解】因为，所以由题意可知：，该复数的虚部为：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数虚部的定义，考查了数学运算能力.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 95 B. 47‎ C. 23 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行框图，直至时，退出循环体，输出值.‎ ‎【详解】初始条件为：，因为成立，所以；‎ 因为成立，所以；‎ 因为成立，所以；‎ 因为成立，所以，因为不成立，所以退出循环体，输出.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了根据程序框图求输出变量的值，考查了当型循环结构，属于基础题.‎ ‎4.已知等比数列满足，则（ ）‎ A. 64 B. ‎81 ‎C. 128 D. 243‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，∴，∴．‎ 考点：等比数列的通项公式．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知，，是三个向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分性、必要性的定义，结合平面向量模的性质、平面向量的数量积定义直接判断即可.‎ ‎【详解】当成立时，例如当时，，显然两个平面向量的模相等，这两个平面向量不一定相等，因此由成立时，不一定能得到；‎ 当时，显然成立，所以“”是“”的必要而不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了平面向量的定义及加法的运算性质，属于基础题.‎ ‎6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）‎ A. 27 B. ‎30 ‎C. 32 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，‎ 其中底面是边长为的正方形，平面平面平面，∴，．∴四棱锥的侧面积．‎ 考点：由三视图求面积、体积．‎ ‎7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 千位8用横式表示为, 百位3用纵式表示为,十位3用横式表示为, 个位5用纵式表示为,因此选B.‎ ‎8.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元，占全球GDP的；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的；对外贸易总额（进口额＋出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的.‎ ‎2016年“一带一路”沿线国家情况 人口（万人）‎ GDP（亿美元）‎ 进口额（亿美元）‎ 出口额（亿美元）‎ 蒙古 ‎301.4‎ ‎116.5‎ ‎38.7‎ ‎45.0‎ 东南亚11国 ‎63852.5‎ ‎25802.2‎ ‎11267.2‎ ‎11798.6‎ 南亚8国 ‎174499.0‎ ‎29146.6‎ ‎4724.1‎ ‎33085‎ 中亚5国 ‎6946.7‎ ‎2254.7‎ ‎422.7‎ ‎590.7‎ 西亚、北非19国 ‎43504.6‎ ‎36467.5‎ ‎9675.5‎ ‎8850.7‎ 东欧20国 ‎321619‎ ‎26352.1‎ ‎9775.5‎ ‎113884‎ 关于“一带一路”沿线国家2016年状况，能够从上述资料中推出的是（ ）‎ A. 超过六成人口集中在南亚地区 B. 东南亚和南亚国家GDP之和占全球的以上 C. 平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元 D. 平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用表中所给的数据对四个选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】A：南亚地区人口总数为174499.0万人，“一带一路”沿线国家人口总数为：321266.1万人，所以，故本选项说法不正确的；‎ B：东南亚和南亚国家GDP之和54948.8亿美元，“一带一路”沿线国家GDP之和120139.6亿美元，所以，所以东南亚和南亚国家GDP之和占“一带一路”沿线国家GDP之和的，因此东南亚和南亚国家GDP之和占全球的，故本选项说法是不正确的；‎ C：南亚国家对外贸易额的平均值为：，故本选项说法是正确的；‎ D：平均每个东欧国家的进口额为：，平均每个西亚、北非国家的进口额为：，故本选项说法是不正确的.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了根据数据对一些说法进行判断，考查了平均数的求法，考查了数学阅读能力.‎ 二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9.在极坐标系中，圆被直线所截得的弦长为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得圆 ，直线 ，所以交点为 ，弦长为 ‎ ‎10.已知椭圆的离心率是，则双曲线的两条渐近线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的焦距为，根据椭圆的离心率公式可得椭圆中之间的关系，再利用椭圆中的关系求出之间的关系，最后根据双曲线的渐近线方程求出双曲线的两条渐近线方程.‎ ‎【详解】设椭圆的焦距为，由题意可知：‎ ‎，所以双曲线的两条渐近线方程为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力.‎ ‎11.已知函数的定义域和值域都是，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；‎ 若，则在上为减函数,所以，解得，所以.‎ 考点：指数函数的性质.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 作出可行域如图：‎ 由 解得，由得，平移直线，结合图象知，直线过点A时，，故填5.‎ ‎13.在中，，，，则______.‎ ‎【答案】1或2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦直接求解即可.‎ ‎【详解】由余弦定理可知：，解得或2.‎ 故答案为：1或2‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎14.对于各数互不相等的整数数组（其中是不小于3的正整数），若，当时，有，则称，为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组的逆序数等于2.‎ ‎（1）数组的逆序数等于______.‎ ‎（2）若数组的逆序数为，则数组的逆序数为______.‎ ‎【答案】 (1). 8 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据逆序数的定义直接求解即可；‎ ‎（2）对于含有个数字的数组中，首先考虑任意两个数可以组成一对数对，送到逆序的个数即可.‎ ‎【详解】（1）根据逆序数的定义可知：数组的逆序有：，一共8个，故数组的逆序数等于8；‎ ‎（2）数组可以组成个数列，而数组的逆序数为，所以数组的逆序数为.‎ 故答案为：8；‎ ‎【点睛】本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，考查了组合的应用，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题：（共6小题，共80分）‎ ‎15.已知.‎ ‎（1）求函数在上最大值和最小值；‎ ‎（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； .（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用降幂公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式，把函数解析式化为正弦型函数解析式形式，由正弦函数的单调性求出函数的最值；‎ ‎（2）根据正弦型函数的解析式求出对称轴，根据题意求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎，‎ 由正弦函数的性质知：‎ 当，即时，，‎ 当，即时，.‎ ‎（2）由，，‎ 得，，‎ 时，，时，，‎ 时，.‎ 又对称轴只有一条在上，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的最值问题，考查了降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，考查了正弦型函数的单调性和对称性，考查了数学运算能力.‎ ‎16.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：‎ 专家 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ 评分 ‎ ‎9.6 ‎ ‎9.5 ‎ ‎9.6 ‎ ‎8.9 ‎ ‎9.7 ‎ ‎（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；‎ ‎（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；‎ ‎（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；‎ ‎（2）计算概率可得分布列和期望．‎ ‎（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．‎ ‎【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是． ‎ ‎（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ P 所以E（X）=2×．‎ 由题意可知，，所以E（Y）=np=．‎ ‎（3）．‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．‎ ‎17.如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，.、分别为和的中点.平面与棱所在直线交于点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）判断点是否与点重合.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）与重合.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在平面中，利用菱形的性质可以证明出 ‎，结合直棱柱的性质、线面垂直的性质定理可以证明出，这样利用线面垂直、面面垂直的判定定理证明出平面平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）通过空间向量数量积公式可得，利用线面的相交关系，可以证明出点与点重合.或者通过设点的坐标，通过空间向量数量积公式，由，可以求出的坐标，这样就可以证明出点与点重合.‎ ‎【详解】证明：（1）如图所示，连结，，‎ ‎∵四边形为菱形，‎ 且，∴，‎ 又为等边的边的中点，‎ ‎∴.‎ 又直四棱柱中，平面，‎ 平面，‎ ‎∴.‎ 又，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）法1：‎ ‎∵，，三线垂直，‎ ‎∴以为原点，，，所在的直线为，，轴建系，则 ‎，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，‎ 令得.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则 ‎.‎ ‎∴直线与平面所成角正弦值为.‎ 法2：‎ 如图所示，连结，交于点.连接，交于，‎ ‎∵四边形为菱形，∴，‎ 又，底面，∴平面.‎ 易得，，三线垂直，如图所示.‎ 以为原点，，，所在直线为，，轴建系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令得，‎ ‎∴，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则.‎ ‎（3）法1：，，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 又平面，∴平面，‎ 即平面，‎ 由已知平面，‎ 且平面，‎ ‎∴与点重合.‎ 法2：设.‎ 则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，又，‎ 即与重合.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求线面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.‎ ‎18.已知抛物线：经过点，过点作直线交于，两点，、分别交直线于，两点.‎ ‎（1）求的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）抛物线：，焦点（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把的坐标代入抛物线方程中求出的方程，写出焦点坐标即可；‎ ‎（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据判别式求出直线方程中的参数取值范围，设出直线的方程，与联立，求出点坐标，同理求出点坐标，求出的表达式，结合根与系数的关系，最后计算的结果是常数即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵抛物线经过点，‎ ‎∴，∴，‎ 抛物线：，焦点.‎ 证明：（2）∵过点且与抛物线交于两点，‎ ‎∴的斜率存在且不为0.‎ 设：，‎ ‎，‎ 由得，即或，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎：，‎ 令得，‎ ‎∴，‎ 同理得，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 其中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 将以上3式代入上式得 为定值.‎ ‎（或时，）‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线中定值问题，考查了数学运算能力.‎ ‎19.已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数图像在点处的切线；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）若函数的在区间的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）①当时，无减区间；‎ ‎②当时，减区间为.‎ ‎③当时，减区间为.‎ ‎④当时，减区间为；‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后求出切线方程即可；‎ ‎（2）对函数进行求导，让导函数为零，根据导函数为零的根的正负性、两根之间的大小关系进行分类讨论求出函数的单调区间；‎ ‎（3）根据（2）中的结论，结合已知求出的值.‎ ‎【详解】解：（1）时，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 切线：.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎①当即时，恒成立，‎ ‎∴在递增，无减区间；‎ ‎②当即时，‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎∴减区间.‎ ‎③当，即时，‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎∴减区间为.‎ ‎④当即时，‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎∴减区间为.‎ 综上所述：‎ ‎①当时，无减区间；‎ ‎②当时，减区间为.‎ ‎③当时，减区间为.‎ ‎④当时，减区间为；‎ ‎（3）由（2）问结论知，时，‎ 在上单调递增，∴‎ 合题意，‎ 由（2）知，当时，在处或处取到，‎ 又时，且最大也不成立.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线的切线方程，考查了利用导数求函数的减区间，考查了数学运算能力.‎ ‎20.无穷数列满足：，且对任意正整数，为前项，，…，中等于的项的个数.‎ ‎（1）直接写出，，，；‎ ‎（2）求证：该数列中存在无穷项的值为1；‎ ‎（3）已知，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析过程；‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意直接求解即可；‎ ‎（2）运用反证法证明即可；‎ ‎（3）先求出前若干项发现规律，分类讨论求亲解即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以由题意可得：；‎ ‎（2）假设中只出现有限个1，当妨设最后出现1的项是第项，即.‎ 当时，显然，若是数列中，最大的项，所以数列中存在无数项是相等的，不妨设下标由小及大的这些项为：，‎ 设数列中，等于的项共有项，到，所以有 ‎，这与相矛盾，故假设中只出现有限个1不成立，即该数列中存在无穷项的值为1；‎ ‎（3）通过计算可求出数列前30项值如下：‎ 通过上表可知：从第11项起有以下规律：‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ 当时，‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查数学阅读能力，考查了分类讨论思想，考查了反证法