2020届二轮复习微专题5　立体几何中体积的求解策略课件（21张）（江苏专用）

2020届二轮复习微专题5　立体几何中体积的求解策略课件（21张）（江苏专用）

微专题 5 立体几何 中体积的求解策略 微专题5　立体几何中体积的求解策略 题型 一　等积转换法求体积 例1     (2019如皋期末,9)如图,在正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,若 AA 1 =3, AB =2,点 D 是 棱 CC 1 的中点,点 E 在棱 AA 1 上,则三棱锥 B 1 - EBD 的体积为 　　　     . 解析 　取 BC 的中点 H ,连接 AH .在正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,△ ABC 为正三角形, 所以 AH ⊥ BC ,又 BB 1 ⊥平面 ABC , AH ⊂ 平面 ABC ,所以 BB 1 ⊥ AH ,而 BB 1 ∩ BC = B , 所以 AH ⊥平面 BCC 1 B 1 ,即 AH ⊥平面 DBB 1 ,所以点 A 到平面 DBB 1 的距离就是 AH 的长.在正三角形 ABC 中, AB =2,所以 AH =   ,又 AA 1 =3,点 D 是 CC 1 的中点,所以   =     =   × 2 × 3=3,所以   =   =     · AH =   × 3 ×   =   . 【方法归纳】　①所谓等积法就是利用转化思想,把要求的几何体体积转化 为另一个同体积几何体来求. ②变换观察角度是计算体积常用的转化策略之一.变换的基本依据是变化前 后等体积,变换的标准是看相应的底面和高是否容易求解. 1-1     (2019苏州3月检测,9)四棱锥 P - ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是 矩形, AB =2, AD =3, PA =   ,点 E 为棱 CD 上一点,则三棱锥 E - PAB 的体积为 　     　     . 答案        解析　∵ 底面 ABCD 是矩形, E 在 CD 上, ∴ S △ ABE =   AB · AD =   × 2 × 3=3. 由 PA ⊥平面 ABCD 可得 V E - PAB = V P - ABE =   S △ ABE · PA =   × 3 ×   =   . 1-2 　如图,已知多面体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 a 的正方体, E , F 分别是棱 AA 1 和 CC 1 的中点,求四棱锥 A 1 - EBFD 1 的体积. 解析 　∵ EB = BF = FD 1 = D 1 E =   =   a , ∴四棱锥 A 1 - EBFD 1 的底面 EBFD 1 是菱形. 连接 EF ,则△ EFB ≌△ EFD 1 , ∵三棱锥 A 1 - EFB 与三棱锥 A 1 - EFD 1 等底同高, ∴它们的体积相等. ∵ CC 1 ∥平面 ABB 1 A 1 ,∴三棱锥 F - EBA 1 的高就是 CC 1 到平面 ABB 1 A 1 的距离,即 棱长 a . 又△ EBA 1 的边 A 1 E 上的高是 BA = a , ∴三棱锥 A 1 - EFB 的体积等于三棱锥 F - EBA 1 的体积=   ×   ·   · a · a =   a 3 . ∴四棱锥 A 1 - EBFD 1 的体积=2 ×   a 3 =   a 3 . 题型二　割补法求体积 例2     (2019海安期中,9)如图,在棱长为2的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, O 为底面 ABCD 的中心,则三棱锥 O - A 1 BC 1 的体积为 　　　     . 答案        解析 　连接 AC ,因为 O 为正方形 ABCD 的中心,所以 AC 必过点 O , 所以   =     -   -   -   =   × 8-   ×   ×   ×   × 2 × 2-   ×   × 2 × 2 × 2 =4-   -   =   . 【方法归纳】　①割补法是求体积、表面积、距离的基本方法,常常将一个 不太容易求体积的几何体转化为易求体积的规则几何体求解,是一种常用的 技巧. ②在解题中遇到三侧棱两两垂直的三棱锥,通常将它补成长方体,便于解决问 题.特别地,若三棱锥的三侧棱两两垂直且相等,则可将它补成正方体. 2-1 　在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD 是边长为1的正方形,且△ ADE , △ BCF 均为正三角形, EF ∥ AB , EF =2,则该多面体的体积为 　　　     . 答案        解析 　如图,分别过点 A , B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G , H ,连接 DG , CH ,容易求得 EG = HF =   , AG = GD = BH = HC =   ,且 EG ⊥平面 ADG , FH ⊥平面 BHC , ∴ S △ ADG = S △ BHC =   ×   × 1=   , ∴ V ABCDEF = V E - ADG + V F - BHC + V ADG - BCH =2 V E - ADG + V ADG - BCH =   ×   ×   × 2+   × 1=   . 题型三　置入法求体积 例3 　已知一四面体各面都是边长为13,14,15的全等三角形,求此四面体的体 积. 解析 　如图甲,不妨设 BC =13, AB =14, AC =15,将图甲中的四面体置入图乙所示 的长方体中.   由此,该四面体的体积就转化成长方体的体积与四个全等的四面体的体积之 差.设长方体的棱 BE = x , CE = y , AE = z , 则   解得   ∴ V 长方体 = xyz =   ×   ×   =126   . ∵ V C - ABE =   ×   ×   ×   ×   =21   , ∴ V D - ABC = V 长方体 -4 V C - ABE =42   . 【方法归纳】　①所谓置入法就是依据各种几何体形状之间的联系,把几何 体放入一个比较规则的几何体中来求体积的方法. ②将不太容易求体积的几何体置入熟悉的几何体中,使图形结构更完整、更 充实,便于体积的计算. 3-1 　如图,在多面体 ABCDE 中, AE ⊥平面 ABC , BD ∥ AE ,且 AC = AB = BC = BD =2, AE =1,求多面体 ABCDE 的体积. 解析 　将多面体 ABCDE 置入如图所示的直三棱柱 ABC - A ' DC '中,由已知条件 不难得出多面体的体积为直三棱柱体积的一半,则 V ABCDE =   V ABC - A ' DC ' =   ×   ×   × 2 × 2=   . 1.如图,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,侧棱 AA 1 与侧面 BCC 1 B 1 的距离为2,侧面 BCC 1 B 1 的面积为4,此三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的体积为 　　　     . 答案 　4 解析 　如图,将三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 补成四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 ,记 A 1 到平面 BCC 1 B 1 的距离为 d ,则 d =2,   则   =     =     · d =   × 4 × 2=4. 2.(2019江苏七市第二次调研,10)设 P , A , B , C 为球 O 表面上的四个点, PA , PB , PC 两两垂直,且 PA =2 m, PB =3 m, PC =4 m,则球 O 的表面积为 　　     m 2 . 答案 　29π 解析 　如图,将三棱锥 P - ABC 置于长方体中,该长方体的外接球就是经过 P , A , B , C 四点的球,∵ PA =2 m, PB =3 m, PC =4 m,∴长方体的体对角线的长为   =   m,即外接球的直径2 R =   m,可得 R =   m, 因此,球 O 的表面积 S =4π R 2 =4π ×   =29π(m 2 ).